课件34张PPT。第一章 集合与函数的概念1．1 集 合1．1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
1．自然数的集合包含：零和______； 有理数的集合包含：整数和_____．
2．到一个定点的距离等于定长的点的集合是___．
正整数分数圆1．集合
(1)一般地，我们把__________统称为元素，把一些元素 组成的_____叫做集合．
(2)集合相等
只要构成两个集合的元素是_____的，我们就称这两个 集合是相等的．
(3)集合与元素的表示
通常用_____________A，B，C，…表示集合．
通常用______________a，b，c，…表示集合中的元素．
研究对象总体一样大写拉丁字母小写拉丁字母2．元素与集合的关系
a∈Aa?A3.常用数集及表示符号
有理数集整数集1．下列对象能构成集合的是( )
A．2011年高考数学试卷中所有的难题
B．平面直角坐标系中，坐标轴上的一些点
C．北京大学建校以来毕业的所有学生
D．上海所有的高楼解析： A中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；B中“平面直角坐标系中，坐标轴上的一些点”，元素不明确，故不能组成一个集合；C中的对象都是确定的而且是不同的，因而能构成集合；D中的对象高楼标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合．
答案: C
4．以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有多少个元素？
解析：∵方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3，
方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2，
∴以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1,2,3，
共有3个元素[解题过程]
[题后感悟] 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．1.下列所给对象不能构成集合的是________．
(1)高一(6)班所有帅哥；
(2)某一班级16岁以下的学生；
(3)某学校身高超过1.80米的学生；
(4)1,2,3,1.
解析： (1)不能构成集合．“帅哥”的概念是模糊 的，不确定的，无明确的标准，故不能构成集合．
(2)能构成集合，其中的元素是某班级16岁以下的学生．
(3)中的对象具备确定性，因此，能构成集合．
(4)虽然(4)中的对象具备确定性，但有两个元素1相同，不符合元素的互异性，所以(4)不能组成集合．
答案： (1)(4)
[题后感悟] (1)对于正整数集、自然数集、整数集、有理数集、实数集，在数学上分别用N*(N＋)N，Z，Q，R来表示，这些符号是我们学习高中数学的基础，它大大简化了数学的表示方法，应当熟练掌握．
(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．已知集合A含有三个元素1,0，a，若a2∈A，试求实数a的值．[解题过程]： (1)若a2＝1，则a＝±1，2分
当a＝1时，集合A中有两个相同元素1，舍去；
当a＝－1时，集合A中有三个元素1,0，－1，符合.6分
(2)若a2＝0，则a＝0，
此时集合A中有两个相同元素0，舍去.8分
(3)若a2＝a，则a＝0或1，不符合集合元素的互异性，都舍去.10分
综上可知：a＝－1.12分
[题后感悟] 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略．另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用．3.设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，
(1)求元素x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.
对集合中元素三个特性的认识
(1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．如方程(x－1)2＝0的解构成的集合为{1}，而不能记为{1,1}．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合{a，b，c}与{b，a，c}是相等的集合．这个特性通常用来判断两个集合的关系．
◎写出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解组成的集合．
【错解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a，则解集为{1，a}．
【错因】 错解没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．
【正解】 x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为1，a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；
若a≠1，则方程的解集为{1，a}.
练规范、练技能、练速度课件28张PPT。第2课时 集合的表示下列集合的元素有何特点，可以用什么样的方法表示这些集合？
(1)中国的直辖市．
(2)24的所有正因数．
(3)不等式x－1≥5的解集．
(4)所有奇数的集合．
集合的表示方法
一一列举共同特征1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
解析： 集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根为1，故可表示为{1}．故选B.
答案： B
2．集合{x∈N|x＜5}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
答案： A
4．用适当的方法表示下列集合：
(1)由所有非负偶数组成的集合；
(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；
(3)x2－9的一次因式组成的集合；
(4)方程(x－1)(x－2)(x2－5)＝0的解组成的集合；
(5)平面直角坐标系内第三象限的所有点组成的集合；
(6)两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的交点的集合；
(7)不等式3x≥4－2x的解集．
[解题过程] (1)由x2－5x＋6＝0得x＝2或x＝3
所以方程x2－5x＋6＝0的解集为：{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}；
(2){x|x＝2k＋1，k≥5，k∈N}；
(3)由2－x＞6得x＜－4，
所以不等式2－x＞6的解的集合为{x|x＜－4}；
(4)绝对值小于3的整数有±2，±1,0，所以绝对值小于3的整数的集合为{－2，－1,0,1,2}
[题后感悟] (1)用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的类型，是数集、点集还是其他的类型．描述法多用于元素个数无限的集合．
(2)使用描述法表示集合时，要注意以下几点：
①写明该集合的代表元素及所属范围；
②表达清楚该集合中元素的共同属性；
③多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；
④所有描述的内容都要写在花括号内；
⑤用于描述的语句力求简明、准确．
已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0}．
(1)若A中没有任何元素，求a的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求a的取值范围．
[策略点睛]切入点---集合A的含义是什么？
思考点---A中元素个数由什么来决定？[题后感悟] 已知集合中元素的个数，求参数的值或取值范围时，关键是对集合的表示方法的正确理解．本例中，由于集合A是方程的解集，所以转化为对方程根的讨论问题．2.(1)本例中，若1∈A，求a的值并用列举法表示集合A；
(2)本例中，若A中至少有一个元素，求a的取值范围；
(3)本例中，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【错解】 A练规范、练技能、练速度课件46张PPT。1．1.2 集合间的基本关系
1．子集、真子集、集合相等的概念
任意一个包含??x∈B，且x?AA?B且B?A=2.空集
(1)定义：_____________的集合，叫做空集．
(2)用符号表示为：___.
(3)规定：空集是任何集合的_____．
不含任何元素?子集3．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的______，即_____.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，B?C，那么 _____.
子集A?AA?C1．已知集合A＝{x|－1A．A>B B．A B
C．B A D．A?B
答案： C
2．下列四个集合中，是空集的是( )
A．{x|x＋3＝3}
B．{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C．{x|x2≤0}
D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}解析： 选项A所代表的集合是{0}并非空集；选项B中的属性x2＋y2＝0?x＝0，且y＝0，
选项B所代表的集合是{(0,0)}并非空集；选项C中属性x2≤0，而x2≥0，即得x2＝0?x＝0，选项C所代表的集合是{0}并非空集，
选项D中的方程x2－x＋1＝0的Δ＝1－4＝－3＜0，
即无实数根．
答案： D
3．下列各式正确的是________．
(1){a}?{a}；(2){1,2,3}＝{3,1,2}；(3)? {0}；
(4)0?{0}；(5){1} {x|x≤5}；(6){1,3} {3,4}．
解析：
答案： (1)(2)(3)(5)4．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解析： ∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N＋}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N＋}，试判断M与P的关系．[解题过程] 方法一：(1)对于任意x∈M，
则x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，
∵a∈N＋，∴a＋2∈N＋，
∴x∈P，由子集定义知M?P.
(2)∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，
即a＝2∈N＋，而1?M，
因1＋a2＝1在a∈N＋时无解．
综合(1)、(2)知，M P.
方法二：取a＝1,2,3,4，…，
可得M＝{2,5,10,17，…}，P＝{2,1,5,10,17，…}．
∴M?P.
[题后感悟] 要判断两个集合之间的关系，主要看两个集合元素之间的关系，本例中集合M中的任一元素x＝1＋a2都可以写成集合P中的元素所具有的形式(a＋2)2－4(a＋2)＋5，从而证明M?P，但要说明集合M是P的真子集，还必须在P中找到一个不在M中的元素．1.已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，试判断M与P的关系．
解析： ∵a∈R，∴x＝1＋a2≥1，
x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1.
∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}．
∴M＝P.写出满足{a，b} A?{a，b，c，d}的所有集合A.[解题过程] 由题设可知，一方面A是集合{a，b， c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a， b，c，d}．
[题后感悟] (1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写避免发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意?和集合本身易漏掉．2.本例中条件改为{a，b}?A {a，b，c，d}，求满足条件的所有集合A.
解析： 由题意知{a，b}是A的子集，A中至少有两 个元素a，b，又A是{a，b，c，d}的真子集，则A中 含有c，d两个元素中的一个．
故满足条件的集合有{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}．
已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}， 若A＝B，求c的值．
[策略点睛] 欲求c的值需建立关于c的方程，而集 合B中的元素含有c，集合B中的元素满足互异性， 只能建立不等关系(可求c的范围)，不能建立方程． 而条件中还有A＝B，根据集合相等则元素相同， 可建立方程，进而求c.[题后感悟] 如何根据集合相等求参数值？
①根据含参集合中元素的互异性确定参数的范围；
②根据集合相等，即元素完全相同，列出关于参数的方程(组)；
③解方程(组)；
④结合①③，确定参数的值．
3.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y的值．
解析： ∵A＝B，∴x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足互异性，舍去．
②当y＝0时，x＝x2，
解得x＝1或x＝0(舍去)，此时A＝{1,0}＝B，满足条件．
综上可知x＝1，y＝0.
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．
[题后感悟] (1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为是非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的． 4.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
5．已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．
解析： A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
∵B?A，
∴B＝?或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}．
(1)当B＝?时，
方程x2＋2(a＋1)x＋a2＝0无实根，
则Δ＜0，即4(a＋1)2－4(a2－1)＜0.
∴a＜－1.
1．子集、空集的概念的理解
(1)集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合．如A＝?，则集合A不含B中的任何元素．
(2)如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}．
2．∈与?、a与{a}、{0}与?的区别
(1)∈与?的区别：∈表示元素与集合之间的关系，因此，有∈Q，?Q等；?表示集合与集合之间的关系，因此，有Q?R，??R等．
(2)a与{a}的区别：一般地，a表示一个对象，而{a}表示由一个元素组成的集合(常称单元素集)，a是集合{a}的一个元素．因此有2∈{2}，不能写成2＝{2}．
(3){0}与?的区别：{0}是含有一个元素的集合，?是不含任何元素的集合．因此，有??{0}，不能写成?＝{0}，?∈{0}．
3．两集合相等的证明
若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，说明两个集合的元素完全相同，从而A＝B；若A、B是无限集时，欲证A＝B，只需证A?B与B?A都成立即可．
◎若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且B A，求m的值．【错因】 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及B?A，忽略了集合为?的可能，而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现?的可能．
练规范、练技能、练速度课件41张PPT。1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集1．集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的 __________元素都是集合B的元素．
2．若A?B，同时B?A，则A与B的关系是______.
3．空集是任何非空集合的________．
任何一个A＝B真子集1．并集、交集的概念及表示法
所有属于A或属于B{x|x∈A或x∈B}属于集合A且属于集合B的所有{x|x∈A且x∈B}2.并集与交集的运算性质
＝AAB＝A?A1．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|－2＜x＜2}，则A∪B＝( )
A．{x|x＞－2} B．{x|x＞－1}
C．{x|－2＜x＜－1} D．{x|－1＜x＜2}
解析： 画出数轴，如下图所示，则A∪B如阴影部分所示，故选A.
答案： A
2．设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N＝( )
A．{2,4} B．{1,2,4}
C．{2,4,8} D．{1,2,4,8}
答案： C
3．已知集合A＝{x|x2＋x＝0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝________.
解析： A＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，
∴A∩B＝{0，－1}∩{x|x≥0}＝{0}．
答案： {0}
4．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.[题后感悟] 此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心圈”表示．1.①若本例(1)中问题改为求A∪B；
②本例(2)中，问题改为求M∩N.
解析： ①由例1中的数轴表示知A∪B＝{x|x≥1}．故选B.
②由例1中的数轴表示知M∩N＝{x|－3＜x＜5}，故选C.
答案： ①B ②C
由题目可获取以下主要信息：
①集合B非空；
②集合A不确定，且A∩B＝?.
解答本题可分A＝?和A≠?两种情况，结合数轴求解．[题后感悟] 出现交集为空集的情形，应首先考虑集合中有没有空集，即分类讨论．其次，与不等式有关的集合的交、并运算中，数轴分析法直观清晰，应重点考虑．2.设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．解析： 如下图所示，
由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知1＜a≤3.
3．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解析： 由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，
C＝{－1,7}且A∩B＝C得：
7∈A,7∈B且－1∈B，
∴在集合A中x2－x＋1＝7，
解得：x＝－2或3.
当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2，
已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－x＋2m＝0}．若A∩B＝B，求m的取值范围．
[策略点睛] 欲求a值需求B，而求B需先化简A，又A∩B＝B的含义是什么？即B?A，讨论集合B，列方程求解．
[题后感悟] (1)已知方程解集之间的关系，如何求有关参数值？
①明确参数满足的条件，需求哪个集合，设为M；
②化简每个集合；
③由集合间的关系求出集合M，或确定某一元素属于集合M.
④求参数值．
(2)解决上述问题时需注意什么问题？
求出参数值后，务必代入集合中检验是否满足元素的互异性及其它条件．
(3)常见集合间关系的等价转换
①? (A∩B)?A∩B≠?，? (A∪B)?A∪B≠?；
②A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A；
③A∩B＝??A，B中没有公共元素，且A，B都有可能为?.4.设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．
5．已知集合A＝{x|－3≤x≤7}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
1．对并集概念的理解
“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x?B”；“x∈B，但x?A”；“x∈A，且x∈B”．Venn图如图．另外，在求两个集合的并集时，它们的公共元素只出现一次．
2．对交集概念的理解必须注意
(1)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?.如图．
(2)概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
(3)特别地，还有如图所示的三种情形：
3．集合的交、并运算
(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．
?(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．
◎设集合A＝{x∈R|x2＋2x＋2－p＝0}，且A∩{x|x>0}＝?，求实数p的取值范围．
【错解】 依题意，方程x2＋2x＋2－p＝0没有实数解，
因此Δ＝22－4(2－p)<0，解得p<1.
所以实数p的取值范围为{p|p<1}．【错因】 A∩{x|x>0}＝?，表示方程x2＋2x＋2－p＝0没有正实数解，此时等价于方程没有实数解或有非正实数解，只有正确理解这一集合语言，才能正确求解．
练规范、练技能、练速度课件37张PPT。第2课时 补集及综合应用1．已知集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝5－x2，x∈R}，则A∪B等于________．答案： R2．设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝________.
解析： Q＝{x|－2＜x＜2}，
∴P∩Q＝{x|－2＜x＜1}．
答案： {x|－2＜x＜1}
1．全集
如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_____ _____，那么就称这个集合为全集，通常记作___.
所有元素U{x|x∈U，且x?A}?UA不属于集合A1．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，则?UM＝( )
?
A．{x|－2＜x＜2} B．{x|－2≤x≤2}
C．{x|x＜－2或x＞2} D．{x|x≤－2或x≥2}
解析： M＝{x|－2≤x≤2}
则?UR＝{x|x＜－2或x＞2}，故选C.
答案： C
2．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则?UA ＝( )
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
答案： D
3．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
解析： ∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}
而A＝{x∈U|x(x＋m)＝0}，故m＝－3.
答案： －3
4．设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
求?R(A∪B)及(?RA)∩B.
解析： 把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵?RA＝{x|x＜3或x≥7}，
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}.已知全集U、集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B.
[解题过程]
借助Venn图，
如右图所示，
得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，
∴B＝{2,3,5,7}．
[题后感悟] 在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，而利用A∪?UA＝U求全集U是利用定义解题的常规性思维模式，故进行补集运算时，要紧扣补集定义及补集的性质来解题．1.(1)已知全集U＝{x|x≥－2}，集合A＝{x|x＞1}，求?UA.解析： (1)如图所示：
由图可知?UA＝{x|－2≤x≤1}．
(2)设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x＜3或x＞4}，求a，b的值．
解析： ∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴?UA＝{x|x＜a或x＞b}，
又?UA＝{x|x＜3或x＞4}，
∴a＝3，b＝4.
设U＝R，已知集合A＝{x|－5＜x＜5}，B＝{x|0≤x＜7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(?UB)；(4)B∩(?UA)；(5)(?UA)∩(?UB)．(4)如下图．
?UA＝{x|x≤－5或x≥5}，
?UB＝{x|x＜0或x≥7}
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x≤－5或x≥7}．
[题后感悟] (1)如何求不等式解集的补集？
①将不等式的解集在数轴上标出；
②取数轴上剩余部分即为补集．
(2)求不等式解集的补集时需注意什么问题？
①实点变虚点、虚点变实点．
如A＝{x|－1≤x＜5}，则?RA＝{x|x＜－1或x≥5}；
2.(1)本例中，若将条件“A＝{x|－2解析： 把全集U和A、B集合在数轴上表示如下：
由图可知?UA＝{x|x<－4或2A∩B＝{x|－3?U(A∩B)＝{x|x≤－3或2(?UA)∩B＝{x|2(2)设全集U＝{x∈N*|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,4} B．{1,5}
C．{2,4} D．{2,5}
解析： U＝{x∈N*|x＜6}＝{1,2,3,4,5}
A∪B＝{1,3,5}，?U(A∪B)＝{2,4}．故选C.
答案： C
[题后感悟] 解答本题的关键是利用A??RB，对A＝?与A≠?进行分类讨论，转化为等价不等式(组)求解，同时要注意区域端点的问题．解析： B＝{x|x＋a＜0}＝{x|x＜－a}，
?UA＝{x|x≤1}．
∵B??UA，∴－a≤1，∴a≥－1.
1．全集与补集概念的理解
(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
(2)若x∈U，则x∈A和x∈?UA二者必居其一，不仅如此，结合Venn图及全集与补集的概念，不难得到如下性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A.
2．交集、并集、补集的关系
(1)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)(如下图所示)
(2)?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)(如下图所示)
◎设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，求实数a的值．
【错解】 因为?UA＝{5}，所以5∈U且5?A，所以a2＋2a－3＝5，且|2a－1|≠5，解得a＝2或a＝－4，即实数a的值是2或－4.
【错因】 本题解答错误在于忽略了集合A的元素|2a－1|是由a确立的，事实上，当a＝2时，|2a－1|＝3，A＝{2,3}，符合题意，而当a＝－4时，A＝{9,2}，不是U的子集．
【正解】 因为?UA＝{5}，则5∈U且5?A，且|2a－1|＝3.
解得：a＝2，即a的取值是2.也可以采用错解中的步骤，最后加上错因中的验证一步.
练规范、练技能、练速度课件47张PPT。1．2 函数及其表示
1．2.1 函数的概念1．函数的概念
(1)函数的定义
设A，B是非空的_____，如果按照某种确定的对 应关系f，使对于集合A中的____________，在集 合B中都有_________________和它对应，那么就 称__________为从集合A到集合B的一个函数，记 作____________.
函数y＝f(x)中，x叫自变量，_____________叫函 数的定义域，与x的值相对应的y值叫做_______， 函数值的集合___________叫做函数的值域．显 然，值域是集合B的_____．数集任意一个数x唯一确定的数f(x)f：A→By＝f(x)，x∈Ax的取值范围函数值{f(A)|x∈A}子集2．区间与无穷的概念
(1)区间定义及表示
设a，b是两个实数，而且a＜b.(2)无穷概念及无穷区间3.函数的三要素
(1)函数的三要素是函数的__________________和 _____．
(2)函数相等：由于函数的值域是由_________和 ________确定的，所以，如果两个函数的______ 相同，并且________完全一致，就称这两个函数 相等．定义域、对应关系值域定义域对应关系定义域对应关系解析： 对于A、C，函数定义域不同；对D，两函数对应关系不同，故选B.
答案： B答案： A3．用区间表示下列数集：
(1){x|x≥1}＝________.
(2){x|2(3){x|x>－1且x≠2}＝________.
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)[解题过程]
[题后感悟] 判断一个对应关系是否为函数要依据函数的定义，把握3个要点：
①两集合是否为非空数集；
②对集合A中的每一个元素，在B中是否都有元素与之对应；
③A中任一元素在B中的对应元素是否唯一．简单地说，函数是两非空数集上的单值对应．(3)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有对应元素与之对应，虽然B中有很多元素在A中无元素与之对应，但依函数的定义，仍能构成函数．
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝1，在集合B中都有唯一一个确定的数1与它对应，故是集合A到集合B的函数．[题后感悟] 定义域的求法：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；
(3)如果f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．
(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况．函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．[策略点睛] ：[题后感悟] (1)已知f(x)定义域为A，如何求f(g(x))的定义域？
①将g(x)放入f(x)的定义域之内，即g(x)∈A；
②解不等式g(x)∈A，求x范围．
如：已知f(x)定义域为[1,2]，求f(2x－1)定义域，只需解不等式1≤2x－1≤2；
③结论．[注意] f(g(x))中的g(x)相当于f(x)中的x.
(2)已知f(g(x))定义域为A，如何求f(x)定义域？
①由x∈A，求g(x)范围；
②f(x)的定义域就是g(x)的范围．
[注意] f(g(x))定义域为A，指的是x∈A，而不是g(x)∈A.
(3)经过分类讨论求变量的取值范围，如何判断分类的结果是取交集还是并集，还是既不取交集也不取并集？①明确求的量，如本例求的是x的范围，而不是m的范围；
②明确是对哪个量进行的分类讨论，如本例是对m进行分类，而不是对x分类；
③如果求的量与分类的量是同一个量，则结果取并集，如在解|x－1|＋|2x＋1|≤5时，求的是x范围,也是对x进行分类，因此最后是将各种分类结果取并集；
④如果求的量与分类的量不是同一个量，如本例,则最后既不取交集也不取并集．
[注意] 分类讨论的问题最后需进行总的概括．解析： (1)∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴f(x－1)的自变量满足0≤x－1≤2.
∴1≤x≤3，
∴f(x－1)的定义域为[1,3]．
(2)∵f(x＋1)的定义域为[－1,1]
∴－1≤x≤1，∴0≤x＋1≤2，
∴f(x)的定义域为[0,2]．[解题过程] (1)两个函数的定义域相同，都是R，但f(x)＝|x|，g(x)＝x，它们的对应关系不同，故不是相等函数．
(2)函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，函数g(x)的定义域为R，定义域不同，故不是相等函数．
(3)函数f(x)，g(x)定义域，对应关系，值域都相同，故是相等函数．[题后感悟] (1)如何判断两个函数是否相同？
①判断定义域是否相同；
②判断对应法则是否相同；
③结论：如果①和②都肯定，则两个函数相同；如果①和②中有一个否定，则两个函数不同．(2)判断两个函数是否相同的注意事项：
①如果两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数不一定相同，如f(x)＝x2＋1与g(x)＝|x|＋1，两个函数的定义域、值域分别相同，都是[1，＋∞)，但它们的对应法则不同，因此它们不是同一函数．
②因为函数是两个数集之间的对应关系，所以至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则是无关紧要的，如f(x)＝3x＋4与f(t)＝3t＋4表示同一函数． , 解析： (1)两个函数的定义域显然不同，故两个函数不是相等函数；
(2)定义域不相同，故两个函数不是相等函数；
(3)定义域、对应关系、值域均相同，故两个函数是相等函数；
(4)两个函数的定义域相同，都是R；
∵f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3，对应关系，值域均不同，故两个函数不是相等函数．1．函数符号的理解
(1)对应关系f是表示定义域和值域的一种对应关系，与所选择的字母无关．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系所施加的对象；f是对应关系，它既可以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述．y＝f(x)仅仅是函数符号，不能理解为“y等于f与x的乘积”．
(2)虽然f(x)＝x2和f(x－1)＝x2等号右边的表达式都是x2，但是，由于f施加的对象不同(一个为x，而另一个为x－1)，因此两个函数的解析式是不同的．2．正确使用区间符号
区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．应用时一定要弄清各种区间的含义及它们的区别，如[－1,1]表示{x|－1≤x≤1}，而[－1,1)表示{x|－1≤x＜1}等．
[注意] (1)无穷大是一个符号，不是一个具体的数．因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]；
(2)若[a，b]是确定区间，则一定有a＜b.练规范、练技能、练速度课件34张PPT。1．2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法1．函数的概念及对应关系“f”的理解
2．函数的三要素是______________________．
3．函数图象的画法——①列表，②描点，③连线定义域、对应关系、值域1．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( )
答案： C2．已知函数f(x－1)＝x2－3，则f(2)的值为( )
A．－2 B．6
C．1 D．0
解析： 方法一：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝(t＋1)2－3，
∴f(2)＝(2＋1)2－3＝6.
方法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2，
∴f(2)＝22＋2×2－2＝6.
方法三：令x－1＝2，
∴x＝3，∴f(2)＝32－3＝6.故选B.
答案： B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，(3,3)则此二次函数的解析式为________．答案： f(x)＝x2－2x4．作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
解析： (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如图1所示：(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图2所示.
由题目可以获取以下主要信息：①对应关系f对自变量x起作用，可用代入法求解. ②对应关系f对(x＋1)起作用，需要寻找对应关系f怎样对自变量x起作用，可用配凑法或换元法求解.[解题过程] (1)(代入法)：∵f(x)＝x2＋2
∴f(x－1)＝(x－1)2＋2＝x2－2x＋3
f(x＋2)＝(x＋2)2＋2＝x2＋4x＋6
(2)方法一(换元法)：令x＋1＝t则x＝t－1
∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
∴f(x)＝x2－1
方法二(配凑法)：
∵x2＋2x＝(x＋1)2－1
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1，∴f(x)＝x2－1(2)求f(g(x))时，往往遵循先内后外的原则．
(3)已知f(g(x))的解析式，如何求f(x)?
①换元法：
令g(x)＝t，解出x，即用t表示x，然后代入f(g(x))中即可求得f(t)，从而求得f(x)；
②配凑法：
将f(g(x))右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式．[策略点睛]
[解题过程] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上，
(∵x∈Z，从而y∈Z)，这些点称为整点，如图(1)．
(2)∵0≤x＜3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x＜3之间的一段弧，如图(2)．
(3)当x＝1时，y＝1，所画函数的图象如图(3)．[题后感悟] (1)描点法作函数图象的步骤：(2)作函数图象时应注意以下几点：
①在定义域内作图；
②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；
③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．函数的三种表示方法的优缺点比较[注意] 函数的三种表示方法相互兼容和补充，许多函数是可以用三种方法来表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．◎已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，求f(x)的解析式．
【错解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
设t＝x2＋2，则f(t)＝t2－4.∴f(x)＝x2－4.
【错因】 本题错解的原因是忽略了函数f(x)的定义域．上面的解法，似乎是无懈可击，然而从其结论，即f(x)＝x2－4来看，并未注明f(x)的定义域，那么按一般理解，就应认为其定义域是全体实数．但是f(x)＝x2－4的定义域不是全体实数．事实上，任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成．所以，当函数f(g(x))一旦给出，则其对应关系f就已确定并不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定．因此，我们由f(g(x))求f(x)时，求得的f(x)的定义域就理应与f(g(x))中的f的“管辖范围”一致才妥．
【正解】 ∵f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，
令t＝x2＋2(t≥2)，
则f(t)＝t2－4(t≥2)，
∴f(x)＝x2－4(x≥2). 练规范、练技能、练速度课件40张PPT。第2课时 分段函数及映射1．若f(2x＋1)＝x2＋1，则f(x)＝________.解析： (1)此函数图象是直线y＝x的一部分．(2)此函数的定义域为{－2，－1,0,1,2}，所以其图象由五个点组成，这些点都在直线y＝1－x上．(这样的点叫做整点)
1．分段函数
如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不 同的取值范围，有着不同的_________，则称这 样的函数为分段函数．
2．映射
设A、B是两个_____的集合，如果按某一个确 定的对应关系f，使对于集合A中的________元 素x，在集合B中都有_________的元素y与之对 应，那么就称对应_______为从集合A到集合B 的一个映射．对应关系非空任意一个唯一确定f：A→B答案： B解析： A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．故选C.
答案： C(2)如图所示．在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值为6. [题后感悟] (1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．
(2)若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理． (2)①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，
∴a＋1＝3，∴a＝2＞－2不合题意，舍去．
②当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，
即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，
∴a＝1或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，
∴a＝1符合题意．
③当a≥2时，2a－1＝3，
∴a＝2符合题意．
综合①②③，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.(2)函数f(x)的图象如图所示，10分
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3).12分①令每个绝对值符号内的式子等于0，求出对应的x值，设为x1，x2；
②把求出的x值标在x轴上，如图．
③根据x值把实轴所分的部分进行讨论，分x≤x1，x1＜x≤x2，x≥x2.(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分． (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)由条件知，
函数f(x)的定义域为R.
由图象知，当－1≤x≤1时
f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x＞1或x＜－1时，
f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．[解题过程]
答案： A[题后感悟] 判断一个对应是否为映射的关键是什么？
①取元任意性：A中任意元素在B中是否都有元素与它对应；
②唯一性：A中元素在B中的对应元素是否唯一．
[注意] ①映射允许多对一，一对一，不允许一对多．
②想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．解析： A、B项中集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，C项中集合A中的元素1在集合B中没有元素与之对应，故选D.
答案： D4．设M＝{x|0≤x≤3}，N＝{y|0≤y≤3}，给出4个图形，其中能表示从集合M到集合N的映射关系的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个解析： 图①，图②符合映射定义，图③集合M中的(2,3]的数在集合N中没有元素与之对应，故不能构成映射，图④集合M中的(0,1]内的每一个数在集合N中有两个元素与之对应，故不能构成映射．
答案： C1．正确认识分段函数
(1)分段函数是一个函数而非几个函数，只不过在定义域的不同子集内解析式不一样．
(2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．
(3)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．正确理解映射概念
(1)映射f：A→B是由非空集合A、B以及A到B的对应关系f所确定的．
(2)映射定义中的两个集合A、B是非空的，可以是数集，也可以是点集或其他集合，A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是截然不同的，即f具有方向性．
(3)在映射中，集合A的“任一元素”，在集合B中都有“唯一”的对应元素，不会出现一对多的情况．只能是“多对一”或“一对一”形式．【错解】 (1)、(2)、(3)、(4)【正解】 (1)练规范、练技能、练速度课件49张PPT。1．3 函数的基本性质1．3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 单调性1．一次函数y＝x的图象特征是：自左向右， 图象逐渐____，y随x的增大而____；二次函数 y＝x2的图象特征是：自左向右，在(－∞，0] 上，图象逐渐_____，y随x的增大而_____；在(0， ＋∞)上，图象逐渐_____，y随x的增大而_____．上升增大下降减小上升增大下降下降减小减小1．定义域为I的函数f(x)的增减性D?I，对任意x1，x2∈D
增函数减函数2.函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是______________， 那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间D叫做y＝f(x)的_________．增函数或减函数单调区间1．函数y＝－x2的单调增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析： 画出y＝－x2的图象，可知函数在(－∞，0]上单调递增．答案： A2．函数f(x)在R上是减函数，则有( )
A．f(3)＜f(5) B．f(3)≤f(5)
C．f(3)＞f(5) D．f(3)≥f(5)
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C解析： 结合图象可知，函数y＝f(x)在区间(－∞，－2]，[0,1]上是减函数，在[－2,0]及[1，＋∞)上是增函数．
答案： [－2,0]，[1，＋∞) (－∞，－2]，[0,1][题后感悟] (1)利用定义证明函数单调性步骤如下：
(2)利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧有哪些？
①因式分解．当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解．如f(x)＝x3－1.
②通分．当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解．如本例．
③配方．当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号．[解题过程] 函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5)，
其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5)上是增函数．
[题后感悟] (1)利用图象研究函数的单调性是常用的解题方法．但要注意函数的定义域．
(2)写单调区间时，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们． 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．[题后感悟] 定义法求函数的单调区间
①作差，因式分解；
②判断各因式符号；
③如果各因式符号确定，则函数在整个定义域上具有单调性，如果有一个因式符号不确定，则需确定分界点以确定单调区间．因式符号必须是在某个区间内恒成立，如：本例因式x1x2－9. [解题过程] f(x)＝x2－2(a－1)x＋3
＝[x－(a－1)]2－(a－1)2＋3，
∴此二次函数的对称轴为x＝a－1.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，a－1]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝a－1必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴a－1≥4，解得a≥5.[题后感悟] (1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法．解析： (1)f(x)＝[x－(a－1)]2＋3－(a－1)2
对称轴：x＝a－1
∵f(x)在[4，＋∞)上是增函数．
∴对称轴只需在区间的左侧，
∴a－1≤4即a≤5.
∴所求a的取值范围是a≤5.
(2)函数的减区间为(－∞，1－a]
∴a－1＝4，∴a＝5.[解题过程] ∵对任意x∈R，有f(2＋x)＝f(2－x)，
∴(2＋x)2＋b(2＋x)＋c＝(2－x)2＋b(2－x)＋c.
∴4x＋bx＝－4x－bx.
∴8x＋2bx＝0，即(8＋2b)x＝0对任意实数x都成立．
∴8＋2b＝0，b＝－4.
∴f(x)＝x2－4x＋c＝(x－2)2＋c－4.
即f(x)图象的对称轴为x＝2.
∴函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
又∵f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3)，且2＜3＜4，
∴f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4)．[题后感悟] (1)对任意x∈R，有f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)的图象关于直线x＝a对称．如若f(3＋x)＝f(3－x)对任意x∈R都成立，则f(x)的对称轴为x＝3.
(2)利用单调性比较函数值大小，务必将自变量x的值转化为同一单调区间上才能进行比较． 1．解读函数单调性的定义
(1)定义中的关键词：
①“定义域I内某个区间D”，即函数的单调区间是其定义域的子集．单调性是与“区间”紧密相关的，一个函数在不同区间可以有不同的单调性；
②“对于…”，“任意…”，“都有…”，“对于”即两个自变量x1，x2，必须取自给定的区间；“任意”即不能用特殊值代替；“都有”即只要x1＜x2，就必须有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)．(2)函数单调性的刻画：
①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的；
②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的．2．判定函数单调性的常见方法
(1)定义法．
这是证明或判定函数单调性的常用方法．
(2)图象法．
根据函数图象的升、降情况进行判断．
(3)直接法．
运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．直接判断函数的单调性，可用到以下结论：◎已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．【错因】 出现上述错误解法的原因主要为不清楚抽象函数的定义域，在抽象函数中满足函数关系式的自变量首先应在定义域内，这是一个极易被忽视也是极易出现错误的地方，也就是说变量x首先应满足－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，在此基础上利用单调性的定义将“ f ”符号脱掉．练规范、练技能、练速度课件43张PPT。第2课时 函数的最大值、最小值1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x) ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 _______．最小值最大值1．函数的最大值、最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M答案： C解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上最小值中的最小值．
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10，
当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.
答案： A3．函数y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大值为________．
解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]，
∴原函数在[0,2]上为减函数，在[2,2]上为增函数．
∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5，f(3)＝2，
∴最大值为5.
答案： 5[解题过程] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是－3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．[题后感悟] 利用函数图象求最值是求函数最值的常用方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图象易作出的函数求最值较常用．图象法求最值的一般步骤是：[题后感悟] (1)如何根据单调性求函数值域或最值？
①求函数的定义域；
②证明函数在相应区间上的单调性；
③求出函数在定义域上的最值；
④写出值域．
[注意] 务必首先求出定义域．
(2)函数的最值与单调性的关系
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．解析： ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2,0]时，f(x)在[－2,0]上是单调递减的，
故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11；
当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3.(2)当x∈[－2,3)时，f(x)在[－2,3)上是先减后增的，
故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11.
(3)①当t＞1时，
f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，
f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立数学模型转化成数学问题解决．
(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键. 1．准确理解函数最大值的概念
(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)＝0，注意对②中“存在”一词的理解．
(2)对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．(2)函数的最值与单调性的关系
①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．◎求函数y＝x2－2x－1在[2,4)上的最值、值域．
【错解】 y＝x2－2x
＝(x－1)2－2，
∴对称轴为x＝1，
∴ymin＝－2，ymax＝8，
值域为y∈[－2,8]．
【错因】 上述解法忽略了二次函数的对称轴与区间[2,4)的位置关系，以及区间的端点．【正解】 y＝(x－1)2－2，对称轴为x＝1.
∴函数在[2,4)上是增函数，
∴当x＝2时，ymin＝－1，无最大值，
∴值域为y∈[－1,8)．练规范、练技能、练速度课件35张PPT。1．3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念1．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点 关于某一条____的对称点仍是这个图形上的点，
就称该图形关于该直线成轴对称图形，这条直 线称作该轴对称图形的______．
2．中心对称图形：如果一个图形上的任意一 点关于某一点的对称点仍是这个图形上的点， 就称该图形关于该点成中心对称图形，这个点 称作该中心对称图形的_________．直线对称轴对称中心3．点P(x，f(x))关于原点的对称点P1的坐标为 _____________，关于y轴对称点的点P2的坐标 为__________．(－x，－f(－x))(－x，f(x))原点y轴函数的奇偶性有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)1．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数，又是偶函数
解析： 函数定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数．
答案： C答案： D3．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.
答案： －1解析： (1)f(x)的定义域为R，
且满足f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，
从而可知f(x)为偶函数；[题后感悟] (1)利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：
①必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对称；
②有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误．如本例(4)中，若不化简可能会判断为偶函数．注意下面变式训练中的第(4)小题．
③若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可．(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：
①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：
偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数的定义域 )解析： (1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．
∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(3)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．(2)判断分段函数奇偶性的注意事项：
①根据－x所属区间进行分类讨论，只不过经过转化最后变成了先写x的所属区间；
②f(－x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为－x与x所属区间不同；
③定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏．解析： 当x＜0时，－x＞0，
f(－x)＝－x－1＝－(x＋1)＝－f(x)，
另一方面，当x＞0时，－x＜0，
f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)＝－f(x)，
而f(0)＝0，∴f(x)是奇函数．解析： ①当x>0时，－x<0
f(－x)＝－x－2＝f(x)
②当x<0时，－x>0
f(－x)＝－(－x)－2＝x－2
＝f(x)
③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)
∴f(x)是偶函数．[解题过程] 函数定义域为R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)，
再令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．[题后感悟] 如何判断抽象函数的奇偶性？
①明确目标：判断f(－x)与f(x)的关系；
②用赋值法在已知抽象关系中凑出f(－x)与f(x),如本例中令y＝－x；
③用赋值法求特殊函数值，如本例中令x＝y＝0,求f(0)．证明： 令x＝0，y＝x，
则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①
又令x＝x，y＝0得
f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②
①②得f(－x)＝f(x)
∴f(x)是偶函数．1．准确理解函数奇偶性定义
(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)
与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．
(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．【错因】 没有考察函数定义域的对称性．
【正解】 因为函数f(x)的定义域－1≤x<1不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数. 练规范、练技能、练速度课件27张PPT。第2课时 函数奇偶性的应用1．函数奇偶性的概念
(1)偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的____一个x，都 有____________，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
(2)奇函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x，都 有_____________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)任意任意1．奇、偶函数的图象
(1)偶函数的图象关于____对称．
(2)奇函数的图象关于____对称．
2．函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系
(1)若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最 大值M，则f(x)在[－b，－a]上是______，且有 ___________.
(2)若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x) 在(0，＋∞)上是______．y轴原点增函数最小值－M增函数解析： 由偶函数定义，f(－x)＝f(x)知，f(x)＝－x2，f(x)＝x2是偶函数，
又在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)＝－x2符合条件，故选B.
答案： B2．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
解析： ∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)
＝f[4＋(－1)]＝f(－1)．
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
∴f(7)＝－2，故选A.
答案： A3．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式为________．4．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，试比较f(－2)与f(1)的大小．
解析： ∵f(x)是偶函数，
∴f(1)＝f(－1)
又∵f(x)在(－∞，0]上为增函数，－2＜－1
∴f(－2)＜f(－1)＝f(1)
即f(－2)＜f(1)[解题过程] 利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[题后感悟] 本题利用奇函数图象的特点，作出函数在区间[－5,0]上的图象，利用图象求出满足条件的自变量x的取值集合．数形结合是研究函数的重要方法，画函数图象是学习数学必须掌握的一个重要技能，并能利用函数图象理解函数的性质. 解析： 因为函数y＝f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留y＝f(x)在(－∞，0]上的图象，在[0，＋∞)上作y＝f(x)关于y轴对称的图象，如图所示，即得函数y＝f(x)，x∈R的图象．由图象知f(3)＝－2，f(1)＝－1，所以f(1)>f(3)．
[题后感悟] 此类问题的一般解法是：
(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x). [题后感悟] 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)(1)若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形．反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的对称图形，则这个函数是奇函数，这也成为我们由图象判定奇函数的方法．
(2)若一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形．反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数，这也是由图象判定偶函数的方法．
[注意] 由图象可知，奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反．(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性，我们可以由此得到作函数图象的简便方法，如作函数y＝|x|的图象，因为该函数为偶函数，故需先作出x≥0时的图象，利用函数图象关于y轴对称即可作出x≤0时的图象．◎已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，求函数f(x)的解析式．【错因】 忽略了定义域为R的条件，漏掉了x＝0的情况．练规范、练技能、练速度
