专题1.1 探索勾股定理（第2课时）课件（共48张PPT）

(共48张PPT)
八上数学同步精优课件
北师大版八年级上册
第一章 勾股定理
1.1 .1 探索勾股定理 （第2课时）
精优教学课件
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
1、学会常用的几种方法验证勾股定理．（重点）
2、可以运用勾股定理解决简单问题．（重点，难点）
3、掌握常见的一些勾股数.（重点）
学习目标
勾股定理
几何语言：
∵在Rt △ABC, ∠C=90°(前提)
∴a2+b2=c2 （c为斜边）
a
b
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，
复习回顾
我们是怎样发现“勾股定理”的
割 -将正方形分割成4个全等直角三角形和1个小正方形
补-将正方形按图补成大正方形内部
复习回顾
你能用下列的图形验证勾股定理？
据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？
a2+b2=c2
复习回顾
导入新课
观察与思考
问题：将下面四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
有不同的拼法吗？
讲授新课
考点一 勾股定理的验证
据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢 ？
一、用“内嵌法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形内部
b-a
a
b
c
二、用“外镶法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形外部
a
b
如图是美国总统伽菲尔德(Garfield)于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系。
三、“总统证明法”
如图，梯形由三个直角三角形组合而成，利用面积公式，列出代数关系式,得
化简,得
(2)拼梯形图：
运用梯形面积表达式进行证明。
新知归纳
“勾股定理”的验证方法：
(1)拼正方形图：
运用正方形面积表达式进行证明；
1、数形结合法：
考点二 勾股定理的简单应用
例：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
公路
B
C
A
400m
500m
解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h.
练习
1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可)
【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2即可.
答案：3，4，5（满足题意的均可）
2 我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮助小王计算敌方汽车的速度吗？
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理,
∴BC =AB -AC
=500 -400
=3002
∴BC=300 m
V敌方汽车=S÷t=300÷10=30 (m/s)
答：敌方汽车的速度为30 m/s
3.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高
12 m
9 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据勾股定理得
解得x=15, 15+9=24(m).
答：旗杆原来高24 m.
A
2
1
-4
-3
-2
-1
-1
2
3
1
4
5
考点三 利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
例 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离.
y
O
x
3
B
C
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
　　已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A ′ B ′ C ′ 中，∠C=
∠C ′=90°，AB=A′ B ′，AC=A′ C′ ．
　　求证：△ABC≌△A ′B ′C′ ．
A
B
C
A
B
C′
′
′
　　证明：在Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中，
∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理得
A
B
C
A
B
C′
′
′
C
B
A
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
AC+CB >AB（两点之间线段最短）
思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
考点四 利用勾股定理求最短距离
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？
B
A
根据两点之间线段最短易知第一个路线最近.
若已知圆柱体高为12 cm，底面半径为3 cm，π取3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
归纳
例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5,
∴AB'=13. 即梯子最短需13米.
典例精析
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
B
牛奶盒
A
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
6cm
8cm
10cm
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
AB22= 82 +（10+6）2 =320，
AB32= 62 +（10+8）2 =360，
解：由题意知有三种展开方法，如图.由勾股定理得
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短路程为AB1，长为 .
例5 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
A′
C
东
北
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
归纳
如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
A
B
解：由题意得AC =2，BC=1,
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB = AC + BC =2 +1 =5，
∴AB= ，即最短路程为 .
2
1
A
B
C
练一练
补充练习：
1.湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（ )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
130
120

A
2.如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽8m，高6m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_________.
200m2
3.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对
相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少？
A
B
C
解：如图，过点A作AC⊥BC于点C.
由题意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，
答：小鸟至少飞行10米.
4 如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？
6米
x
18-x
解：设这棵树折断后有x米高，则折断的部分为(18-x)米，根据勾股定理，得
∴x +6 =(18-x)
∴解得x=8 m
答：这棵树折断后有8米高
5.如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少？
解：在Rt△MNO中，
根据勾股定理,
∴OM =MN +NO
=300 +400
=5002
∴OM=500 km
同理，得 OQ=1300 km
∴沿江高速长为 OM+OQ=500 +1300=1800 km
∴该沿江高速的造价为 1800× 100=180000 万元
答：该沿江高速的造价预计是180000 万元
6.一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边的长度比为3︰4，求两直角边的长。
3x
4x
20
解：设这两直角边的长分别为3x cm和4x cm，根据勾股定理，得
∴(3x) +(4x) =20
∴解得x=4
∴3x=3×4=12 cm，
4x=4×4=16 cm
答：这两直角边的长分别
为12 cm和16cm
7.如图，马路边一根高为5.4m的电线杆，被一辆卡车从离地面1.5m处撞断裂，倒下的电线杆顶部是否会落在离它的底部A处4m的快车道上？
A
B
C
C`
解：在Rt△ABC中，
AB=1.5 m，BC=5.4-1.5=3.9 m
根据勾股定理,得
∴AC =BC -AB
=2.9 -1.5
=12.96<4
答：倒下的电线杆顶部会落在离它的底部A处4m的快车道上
8.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
A
B
C
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
9.如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处
D
A
E
B
C
15
10
25-x
10.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.
D
A
B
C
E
F
8
10
解：设EC为x cm，则DE为(8-x)cm
由折叠性质，得
AD=AF=10 cm
EF=DE=(8-x) cm
在Rt△ABC中，根据勾股定理,得
∴AC =BC -AB
=2.9 -1.5
=12.96<4
答：倒下的电线杆顶部会落在离它的底部A处4m的快车道上
D
A
B
C
E
F
8
10
解：设EC=x cm，则DE=(8-x)cm
由折叠性质，得
AD=AF=10 cm
EF=DE=(8-x) cm
在Rt△ABF中，根据勾股定理,得 ∴BF =AF -AB =10 -8 =6
∴BF=6 cm ∴FC=10-6=4 cm
在Rt△EFC中，根据勾股定理,得
∴ x +42=(8-x)2
解得x=3
则EC=3 cm
11.如图，一个25 m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24 m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4 m吗？
A
B
O
C
D
A
B
O
C
D
解：在Rt△AOB中，根据勾股定理,得 ∴OB =AB -AO =25 -24 =7
∴OB=7 cm
在Rt△COD中，CD=AB=25cm
OC=OB-AC=24-4=20cm,
由勾股定理,得
∴OD =CD -OC =25 -20 =15
∴OD =15cm
∴ BD=15-7=8 cm
∴那么梯子底端B也外移8 m
12.如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧道吗？
O
A
C
B
解：
过点A作AB⊥OC于点B，
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2
且OA=3.6，OB=1.5
∴AB2+1.52=3.62
∴AB2=10.71
∵AB2> 32
∴卡车能通过隧道
课堂小结
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法：观察—猜想—探究—验证—归纳—应用；
思想：1. 特殊—一般
2. 数形结合思想
3. 方程的思想
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