1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2021-2022学年高一数学上学期同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)(共19张PPT)

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1.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
问题导入
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”.下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
新知探索
思考1：写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)，
上面三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式.
其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的，”，也就是说，，.
新知探索
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论：
全称量词命题：，
它的否定：.
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
改为
否定结论
例析
例3.写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意，的个位数字不等于3.
解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：，的个位数字等于3.
新知探索
思考2：写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3)，
它们与原命题在形式上有什么变化？
这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式.
其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在，”，也就是说，，.
新知探索
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在使成立”，也就是“不成立”.
对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论：
存在量词命题：，
它的否定：.
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
改为
否定结论
例析
例4.写出下列存在量词命题的否定：
(1)；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
解：(1)该命题的否定：.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例析
例5.写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2).
解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定：.
因为对任意，所以这是一个真命题.
练习
题型一：全称量词命题的否定与真假判断
例1.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)对于任意的实数方程必有实数根；
(2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数；
(3)正方形的对角线相等.
解：(1)存在实数使得方程没有实数根.
当，即时，方程没有实数根，
∴是真命题.
(2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题.
(3)有的正方形的对角线不相等.假命题.
练习
变1.写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假.
(1)所有自然数的平方都是正数；
(2)任意实数都是方程的根；
(3)对任意实数.
解：(1)有些自然数的平方不是正数.真命题.
(2)存在实数不是方程的根.真命题.
(3)存在实数，使得.假命题.
练习
方法技巧：
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.
练习
题型二：存在量词命题的否定与真假判断
例2.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)有些三角形的三条边相等；
(2)有的平行四边形是矩形；
(3)，使得.
解：(1)所有三角形的三条边不全相等.假命题.
(2)没有一个平行四边形是矩形，即每一个平行四边形都不是矩形.由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题.
(3).当时，.因此该命题的否定是假命题.
练习
变2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.
(1)存在；
(2)存在；
(3)有些分数不是有理数.
解：(1)任意.假命题.
(2)任意.
∵真命题.
(3)该命题的否定是一切分数都是有理数，真命题.
练习
方法技巧：
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
练习
题型三：全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题
例3.已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围.
解：全称量词命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”的否定形式为“函数的图象和轴有两个公共点”.由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题.
由二次函数的图象易知
解得所以实数的取值范围是
练习
解：∵命题“”为假命题，
∴它的否定命题：“”为真命题.
即关于的方程有实数根，
当时，方程化为，显然有解；
当时，应满足解得且；
综上可知，实数的取值范围是
变3.已知命题“”为假命题，求实数的取值范围.
练习
方法技巧：
已知命题为假时，一般转化为是真命题求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理的选择方法.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)全称量词命题的否定形式与判断真假的方法；
(2)存在量词命题的否定形式与判断真假的方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P31的练习12题；
(3)课本P31的习题1.的4、5、6.