人教A版2019必修第一册2.2 基本不等式 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
2.2 基本不等式
复习导入
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.
前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
有当且仅当时，等号成立.
特别地，如果，，我们用分别代替上式中的，可得
(1)
当且仅当时，等号成立.
通常称不等式(1)为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数.
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
新知探索
上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.
要证 ①
只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
新知探索
在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
如图，可证 因而
由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为
.
显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立.
例析
例1.已知求的最小值.
解：∵∴
当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？
例析
例2.已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
证明：∵都是正数，∴
(1)当积等于定值时，∴
当且仅当时，上式等号成立.
于是，当时，和有最小值.
(2)当和等于定值时，
∴
当且仅当上式等号成立.于是，当时，积有最大值
积定和最小，和定积最大.
例析
例3.(1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
例析
例3.(2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
例析
例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
练习
题型一：利用基本不等式比较大小
例1.若，，且，则，，，中最大的是（ ）.
A. B. C. D.
答案：D.
解：∵，，且，∴
∴四个数中最大的应从，中选择.
而
又∵，，∴
∴即
∴最大，故选D.
练习
变1.已知,,则之间的大小关系是( ).
A. B. C. D.不确定
答案：A.
解：∵
∴ .
练习
方法技巧：
在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理拆项或配凑，在拆项与配凑的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能.
练习
题型二：利用基本不等式求最值
例2.(1)已知，求的最小值.
解：(1)∵，
∴
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最小值为6.
练习
例2.(2)已知，求的最大值.
解：(2)∵，
∴，
∴
当且仅当，即时，“=”成立.
∴的最大值为.
练习
例2.(3)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
当且仅当即时，“=”成立.
∴的最小值为.
练习
变2.(1)已知，求的最大值.
解：(1)∵，
∴<0，0.
∴
当且仅当得或(舍去)，即，“=”成立.
∴的最大值为.
练习
变2.(2)已知，且求的最小值.
解：(3)∵，且
∴
∴
当且仅当即时，“=”成立.
∴的最小值为.
练习
方法技巧：
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的简化以及等式中常数的调整，做到等价变形.
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.
(4)注意“1”的妙用.
练习
题型三：利用基本不等式证明不等式
例3.已知均为正数且求证：.
证明：据题意，得：
∴
当且仅当时，“=”成立.
∴.
练习
变3.已知求证：.
证明：∵
∴利用基本不等式有：
∴
∴.
练习
方法技巧：
1.可利用基本不等式证明题目的类型
所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明.
2.用基本不等式证明不等式的注意点
(1)多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立.
(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用.
(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组基本不等式模型，再使用.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)重要不等式；
(2)基本不等式.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P46的练习1题；
(3)课本P48的练习14题；
(4)课本P48的习题2.2的1题.