人教A版2019必修第一册5.2.1 三角函数的概念 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
复习导入
在上节课的学习中，我们实现了角度制与弧度制间的转化.并且利用弧度制，已经将角的范围扩展到了全体实数.
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
复习导入
下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.
活动1：如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况.
新知探索
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题.
如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为.
新知探索
Q1:当时，点的坐标是什么？
Q2:当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
Q3:一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
利用勾股定理可以发现，当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是和它们都是唯一确定的.
新知探索
一般地，任意给定一个角它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义.
设是一个任意角，，它的终边与单位圆交点.
新知探索
1.把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即
2.把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即
3.把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
可以看出，当时，的终边在轴上，这是点的横坐标等于0，所以无意义.除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的.所以，也是以角为自变量，以单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
新知探索
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为.我们发现与是相等的，且对于余弦、正切也有相同的结论.
例析
例1.求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有：
例析
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为
,点与原点的距离为.求证：
证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则：
，，，，
于是，，即.因为与同号，所以
即同理可得，
根据勾股定理，.由例2可知，只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变.
新知探索
学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质.
活动2：根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图中的括号.
三角函数 定义域
( + )
( + )
( + )
( + )
三角函数值在各象限内的符号，我们可以简记为：“一全正二正弦三正切四余弦.”
或“全STC”.(意思是在第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正)
( + )
+
( - )
( - )
( - )
( - )
( - )
( - )
新知探索
辨析1:判断正误.
(1)已知是三角形的内角，则必有( )
(2)若，则是第一或第二象限角.( )
(3)对于任意角，都有意义.( )
答案：√，×，×.
辨析2:若则在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C.
例析
例3.求证：角为第三象限角的充要条件是
证明：先证充分性，即如果式都成立，那么为第三象限角.
因为式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合；
又因为式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.
必要性，即若为第三象限角，则有且成立.
新知探索
活动3：现在我们尝试从三角函数的定义出发，讨论一下什么时候三角函数取值相等？
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
由此，我们可以得到一组公式：
公式一
其中
新知探索
公式一
其中
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求(或0°360°)角的三角函数值.
由公式一可知，三角函数值拥有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.
新知探索
辨析3:判断正误.
(1)若，则( )
(2)若，则.( )
答案：√，×.
辨析4:(1)的值是________.
(2)________.
答案：(1);(2).
例析
例4.确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1)(2)；(3)；(4)
解：(1)因为是第三象限角，所以；
(2)因为是第四象限角，所以
(3)因为
而是第一象限角，所以>0.
(4)因为而的终边在轴上，
所以
例析
例5.求下列三角函数值：
(1)(精确到0.001)；(2)；(3)
解：(1)；
(2)
(3).
练习
例1.已知角的终边上有一点，且，求的值.
题型一：三角函数的定义与应用
解：∵∴
又，∴∴又
∴是第一或第二象限角.
当是第一象限角时，则.
当是第二象限角时，则.
练习
变1.已知角的终边落在直线上，求的值.
解：直线，即经过第二、四象限.
在第二象限取直线上的点,则
∴，，
在第四象限取直线上的点
∴.
练习
利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值；
(2)若已知角终边上一点为单位圆上的点，则
(3)若已知角终边上一点不是单位圆上一点，则
(4)若已知角终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论.
练习
题型二：三角函数值符号的运用
例2.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C.
由点位于第二象限，
可得，可得.
所以角所在的象限是第三象限.
变2.(1)若三角形的两内角满足,则此三角形必为( ).
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
所以所以角为钝角，此三角形为钝角三角形.
练习
变2.(2)的符号为_______(填“正”或“负”).
答案：负.∵，，∴分别为第三、第二、第一象限角，∴∴的符号为负.
练习
有关三角函数值符号问题的解题策略：
(1)若已知角的三角函数值(,,)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的公共部分即角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
(2)对于多个三角函数值符号的判断问题，需进行分类讨论.
(3)对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来解决.
练习
题型三：诱导公式一的应用
例3.求值：
(1)(2).
解：(1)原式
(2)原式
.
变3.求下列各式的值：
(1)(2).
解：(1)原式
(2)原式
练习
练习
利用诱导公式一进行求值化简的步骤：
定形
转化
求值
将已知的任意角写成的形式，其中
根据诱导公式，转化为角的某个三角函数值
若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)任意角的三角函数的定义；
(2)三角函数值的符号；
(3)诱导公式一.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P182的练习15题.