人教A版2019必修第一册5.5.2 简单的三角恒等变换 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
复习导入
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
新知探索&例析
例7.试以表示
(提示：与有什么关系？)
解：是的二倍角.在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴①
在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴②
∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得：
新知探索&例析
例7的结果还可以表示为：
并称之为半角公式，符号由所在象限决定.
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.
新知探索&例析
例8.求证：
(1)
(2)
证明：(1)因为
将以上两式的左右两边分别相加，得：
即
思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探索&例析
例8.求证：
(1)
(2)
证明(证法一)：(2)由(1)可得
①
设那么
把的值代入①，即得
.
思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？
新知探索&例析
例8.求证：
(2)
证法二：∵
∴
新知探索&例析
例8.求证：
(1) 积化和差
(2) 和差化积
例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想.
新知探索&例析
辨析1：判断正误.
(1)存在，使得 ( )
(2)对于任意，都不成立. ( )
(3)若是第一象限角，则 ( )
答案：√，×，√.
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(1)
因此，所求周期为最大值为，最小值为.
思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？
辅助角公式：
其中，所在象限由和的符号确定.
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(2)设则
于是
于是所以
取则
由可知，所求周期为最大值为，最小值为.
新知探索&例析
例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在中，
在中，
所以
设矩形的面积为，则
新知探索&例析
例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：
由得
所以当即时，
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想.
练习
例1.(1)已知且求的值；
解：∵且，∴
又，
∴
题型一：化简、求值问题
练习
例1.(2)化简：(0).
解：原式
∵0，∴
∴
∴原式
练习
例2.(1)求证：；
(2)
证：(1)左边右边.
(2)左边
右边.
题型二：三角恒等式的证明
练习
变2.求证：
证:左边
右边.
练习
方法技巧：
三角恒等式证明的5种常用方法
执果索因法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异为同
比较法 设法证明“左边—右边=0”或“左边/右边=1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
练习
例3.已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调递减区间；
解：(1)∵
，
∴函数的最小正周期为
又函数的单调减区间为
令
解得
∴的单调递减区间为
题型三：三角恒等变换的综合应用
练习
例3.已知函数.
(2)若且，求的值.
解：(2)若则：
即
再由，可得：
∴，解得.
练习
变3.已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心；
解：(1)∵
∴的最小正周期为
由可得
∴的对称中心为
练习
变3.已知函数.
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求函数的最大值及取得最大值时的值.
解：(2)又函数的单调减区间为
令
解得
∴的单调递减区间为
(3)当时，
∴当即时，函数有最大值，最大值为.
练习
方法技巧：
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
统一化成的形式
利用辅助角公式化为的形式，研究其性质
练习
例4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的周长最大？
解：设的周长为则：
∴
∵∴
∴的最大值为此时，即.
∴当时，的周长最大.
题型四：三角函数的实际应用
练习
变4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的面积最大？
解：设由题意可得，
则：
设矩形的面积为，
∵，∴
因此当即时，
∴当时，的面积最大.
练习
方法技巧：
应用三角函数解决实际问题的方法及注意点
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意点 ①充分借助平面几何性质，寻找数量关系
②注意实际问题中变量的范围
③重视三角函数有界性的影响
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆倍角公式及其变形；
(2)理解并记忆辅助角公式；
(3)了解和差化积、积化和差公式的证明.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P228的练习12题；
(3)课本习题5.5P228——229的1题.