甘肃省临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试数学理科试题（Word版含解析）

临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试
数学理科
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则z的虚部是（ ）
A．i B．－i C．1 D．－1
3．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．设为定义在R上的偶函数，且当时，，则（ ）
A．e－1 B．－2e－2 C．2e－1 D．2e－2
5．函数的最小正周期为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（ ）
A．？ B．？ C．？ D．？
8．已知，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
10．新修订的《中华人民共和国公务员法》《中华人民共和国电影产业促进法》《中华人民共和国广告法》等都将社会主义核心价值观写入法律文本．某重点大学为了解本校教师阅读这些法律的情况，随机调查了100位教师，其中阅读过《中华人民共和国广告法》或《中华人民共和国公务员法》的教师共有50位，阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有30位，阅读过《中华人民共和国广告法》且阅读过《中华人民共和国公务员法》的教师共有20位，则该校阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数与该校教师总数比值的估计值为（ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.2 D．0.4
11．已知点A是抛物线C：上一点，F为焦点，O为坐标原点，若以点O为圆心，以的长为半径的圆与抛物线C的另一个交点为B，且，则的值是（ ）
A． B．6 C． D．7
12．已知，，，，为各项都大于零的等比数列，公比，则（ ）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不能由已知条件确定
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．由数字1，2，3，4可以组成无重复数字且能被2整除的三位数的个数为______（结果用数字表示）．
14．若的展开式中含项的系数为－32，则______．
15．在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，且满足，则______（写出满足条件的一种表示即可）．
16．在四面体中，平面ABC，，，，则四面体外接球的表面积为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
为优化城市环境，减少污染，某市积极号召市民出行骑电动自行车，该市统计了近五年市民拥有电动自行车的数量（单位：万辆），得到如下表格：
年份编号x 1 2 3 4 5
年份 2017 2018 2019 2020 2021
电动自行车数量y/万辆 40 80 130 190 220
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）预测2025年该市电动自行车的数量．
参考数据，，．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
18．（本题满分12分）
已知等差数列．请你在①，②中选择一个求解．
①若，；②若，前3项和．
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19．（本题满分12分）
已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的极值．
20．（本题满分12分）
已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且．
（1）求角B；
（2）求边长b的最小值．
21．（本题满分12分）
如图，直三棱柱中，E是侧棱的中点，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．
22．（本题满分12分）
京兰高铁线路全长约1700公里，是沟通华北、西北的最快捷的高速铁路．现甘肃省交通部门随机抽取了出行人群中的200名旅客，对其各年龄段的出行乘坐意愿进行调查统计，得到如下条形图．
（1）请根据统计图估计抽取的200名旅客的平均年龄；
（2）为提升服务质量，交通部门从这200名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取8人参加座谈会，再从选出的8人中抽2人作为主题发言人，设Y为抽到的2个人中年龄为40岁及以上的人数，求Y的分布列及．
临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试
数学理科 全解全析
1．【命题说明】本题依托集合的概念，考查集合的交集运算．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查数学运算的核心素养．
B 由题意可知，，得．
2．【命题说明】本题依托复数的概念和性质，考查复数除法运算，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与概念，重点考查了数学运算的核心素养．
【解题提示】由复数除法运算可求得z，根据复数定义确定z的虚部．
D 因为，得z的虚部为－1．
3．【命题说明】本题依托特称命题的概念，考查特称命题的否定．
【学科素养】本题重在概念与推理，重点考查了逻辑推理的核心素养．
【解题提示】特称命题的否定为全称命题，据此得到答案．
C 特称命题的否定为全称命题，由题意得原命题的否定为：，．
4．【命题说明】本题依托函数的基本性质，突出考查函数的奇偶性应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】结合函数奇偶性可得，代入已知函数解析式即可．
D 因为为定义在R上的偶函数，得，
所以，得．
5．【命题说明】本题依托三角函数基本性质求值，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在联想与推理，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
A 已知函数的最小正周期为，，则，
得，得．
6．【命题说明】本题依托二项分布，强调运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
C 由，得．
7．【命题说明】本题依托程序框图，考查了数列求和，设计灵活，强调运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
B 由，满足条件，则，，满足条件；
，满足条件；，，不满足条件，
故输出．可填“？”．
8．【命题说明】本题依托不等式的基本性质，考查不等式性质的应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】由，可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可．
A 方法一：因为，所以，
所以，，所以，，，
所以A正确，B，C错误．
因为，所以，所以D错误．
方法二；因为，设，，
所以，，，所以，
所以A正确，B，C，D错误．
9．【命题说明】本题依托正态分布的概念和二次函数零点性质，考查了利用正态分布的数字特征求解，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
B 函数有零点，
即方程有实根，得，即，
因为函数有零点的概率是0.5，
所以，由正态曲线的对称性知．
10．【命题说明】考查了数据处理和数学运算问题，考查了转化与化归思想，强调运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
D 由题意得，阅读过《中华人民共和国广告法》的教师人数为，则其与本次调查教师人数之比为，故所求估计值为0.4．
11．【命题说明】本题依托抛物线方程，考查了抛物线和圆的几何性质，强调运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
C 设，结合圆和抛物线的对称性，以及，得为等边三角形，
不妨设点A在第一象限，则A的坐标为，
因为点A是抛物线C：上一点，所以，
所以，得A的坐标为，．
12．【命题说明】本题依托等比数列的基本性质，突出考查了数列通项公式的应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
A ．
因为，，，所以若，则，，
所以，所以；
若，则，，
所以，所以．
所以恒有．
【易错提醒】作差化简得，易忽略分，两种情况讨论差的正负．
13．【命题说明】本题依托排列组合知识，考查了排列组合公式的应用，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算，重点考查了数学运算的核心素养．
【解析】方法一：由题意知，组成的三位数能被2整除，个位是2或4中的一个，十位和百位从余下的三个数中任取两个排列即可，故．
方法二：由题意知，组成的三位数个位是2，4中的一个与个位是1，3中的一个机会相等，故号．
答案：12
14．【命题说明】本题依托二项式定理，求参数的值，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】直接利用二项展开式的通项公式求出实数a的值．
【解析】因为的展开式中含项的系数为，
整理得，所以．
答案：－2
15．【命题说明】本题依托平面向量的基本运算，突出考查了平面向量数量积应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算，重点考查了数学运算的核心素养．
【解题提示】根据得到向量满足的条件即可写出．
【解析】由，，所以有，
取，，得（答案不唯一）．
答案：（答案不唯一，满足即可）
16．【命题说明】本题依托四面体性质，突出考查了四面体的线面关系及其外接球表面积，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算、联想与推理，重点考查了数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】先根据几何体的棱长关系及线面关系确定出球心位置，然后解出半径，求出外接球的表面积．
【解析】如图所示，平面ABC，，，由勾股定理得，，
又，得，则．
设外接球的半径为R，则，
故外接球的表面积为．
答案：
【名师点拨】本题考查四面体的外接球问题．解答时，利用几何条件找出球心的位置是关键，然后通过计算得到半径，从而得出表面积．
17．【命题说明】本题依托线性回归方程，考查了线性回归方程的求解和应用，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】（1）利用已知数据和公式得到y关于x的线性回归方程；
（2）将2025年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．
【解析】（1）由已知数据得，，
，
，
得，，
所求线性回归方程为．
（2）将2025年对应的年份编号代入线性回归方程得，
故预测2025年该市电动自行车的数量为414万辆．
18．【命题说明】考查了等差数列的概念和通项公式以及错位相减法求数列的和，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）选择①，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得解得所以；
选择②，设数列的公差为d，
因为等差数列满足，，
得，，得，得，所以；
（2）由（1）可得，
所以，
，
两式相减得：，
，
化简得．
19．【命题说明】本题考查了导数的几何意义和极值运算，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）因为，所以，
当时，，
所以切线方程为，即；
（2）由题可得的定义域为．
令，即，得或（舍去），
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值，无极大值．
20．【命题说明】本题依托三角形边角关系，考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，·
由余弦定理得，
又，所以．
（2）由，得，
又由余弦定理可知，，
当且仅当时等号成立．
即，所以，即边长b的最小值为6．
21．【命题说明】本题依托三棱柱，考查了棱柱中的线面位置关系及利用坐标法求二面角，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算、联想与推理，重点考查了数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即证；
（2）利用坐标法即求．
【解析】（1）因为平面ABC，平面ABC，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面ABE的法向量为，则，
令，则，
所以，
所以平面与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为．
22．【命题说明】本题考查了随机变量的分布列和期望，强调综合运用所学知识来解决问题的能力．
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养．
【解题提示】1）由区间中间值代替每组的平均年龄，直接代入加权平均数公式即可求解；
（2）首先根据分层抽样得到每个年龄段抽样的人数，再根据古典概型求概率、分布列和期望．
【解析】（1）由已知，45人；，55人；，40人；，35人；，25人；
所以平均年龄（岁），
即估计抽取的200名旅客的平均年龄为41.6岁．
（2）根据条形图可知，抽取的200名旅客中，年龄低于40岁的有30＋15＋45＋10＝100（人），所以年龄不低于40岁的有100人．
采用分层抽样的方法，则从“40岁及以上”的人中抽取4人，则Y的值可能为0，1，2，
所以，，，
Y的分布列为
Y 0 1 2
P
．