2022-2023学年苏科版八年级上学期开学考试数学试卷（盐城地区）（word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年苏科版八年级上学期开学考试数学试卷（盐城地区）（word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 354.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 14:32:22 | ||
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文档简介
2022-2023学年苏科版八年级上学期开学考试数学试卷（盐城地区）
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
第1题图 第3题图
2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （ ）
A．a(x＋y) ＝ax＋ay B．10x2－5x＝5x(2x－1)
C．x2－4x＋4＝x(x－4＋) D．x2－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x
5．下列运算中，计算结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，根据图形的面积，可以验证一个乘法公式，这个公式是（ ）A． B． C． D．
7．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．19
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是_______
12．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是_______
13.分解因式：= ．
14．若，，则 = ．
15．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
16.如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点若AB＝18，则CD的长为 ．
19．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为 ．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
三．解答题（60分）
21．（12分）计算：
（1）； （2） ；
（3）； （4）．
22．（6分）先化简，再求值：，其中a=2，b=1．
23．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．
24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；
（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．
25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．
（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为 ．
（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．
26．（10分）画图计算：
（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．
①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；
②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．
如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为
（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 ；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
第1题图 第3题图
【答案】D 解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．
2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
【答案】B 解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
【答案】B解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE．∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），故选：B．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （ ）
A．a(x＋y) ＝ax＋ay B．10x2－5x＝5x(2x－1)
C．x2－4x＋4＝x(x－4＋) D．x2－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x
【答案】B
5．下列运算中，计算结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
6．如图，根据图形的面积，可以验证一个乘法公式，这个公式是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
7．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图
【答案】D解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）故选：A．
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．19
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
【答案】B 解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2EC＝10，∵△ABC的周长为26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+BC＝16，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC＝16，故选：B．
10．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C 解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△AEF、△EBC共3个，
故选：C．
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是_______
【答案】30°解：由折叠，可知：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，∴ED⊥AB．
∵点D为线段AB的中点，ED⊥AB，∴AE＝BE，∴∠B＝∠DAE．又∵∠CAE+∠DAE+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝9°，∴∠B＝30°．
12．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是_______
【答案】1：1 解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，
∴△AEC≌△BCF（SSS），∴S△AEC＝S△BCF，故可得S△CDF+S△CDB＝SABDE+S△CDB S四边形ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1：1．
13.分解因式：= ．
【答案】
14．若，，则 = ．
【答案】 3
15．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
【答案】10 解：若10cm为腰长，则第三边的长是10cm；若5cm为腰长，∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，舍去；综上：若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．故答案为：10．
16.如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
【答案】∠B＝∠C 解：∠B＝∠C，理由是：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
【答案】37 解：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°，又∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝37°．故答案为：37．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点若AB＝18，则CD的长为 ．
【答案】9 解：∠ACB＝90°，D是AB边的中点，∴CD＝AB＝9，故答案为：9．
19．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为 ．
【答案】72°解：∵四边形ODCE折叠后形成四边形OD′C′E，∴∠D′OE＝∠DOE，
∴∠AOD′+2∠D′OE＝180°，∵∠AOD′＝36°，∴∠D′OE＝72°．故答案为：72°．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
【答案】 解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，∴PE＝AE＝，∴CQ的最小值为．
三．解答题（60分）
21．（12分）计算：
（1）； （2） ；
（3）； （4）．
【答案】（1）解：原式
(2) 解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
22．（6分）先化简，再求值：，其中a=2，b=1．
解：原式
当时原式= =12
23．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，
，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．
24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数； （2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．
【解答】解：（1）∵在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ABC＝∠C，∠ADB＝90°，
∵∠A＝48°，∴∠ABC＝∠C＝66°，∠ABD＝42°，∴∠CBD＝24°；
（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵BC＝15，BD＝12，∴CD＝9，设AB＝x，则AD＝x﹣9，∵∠ADB＝90°，BD＝12，∴122+（x﹣9）2＝x2，解得，x＝，即AB＝．
25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．
（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为 BD＝EF+AG． ．
（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）结论：BD＝EF+AG．理由：如图1中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，
同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．
（2）结论不变．理由：如图2中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．
26．（10分）画图计算：
（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．
①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；
②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．
（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为 7
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM＝PN，∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴∠EPM＝∠FPN，∴∠EPF＝∠MPN，∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EPF＝120°．
②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°∴Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），∴BM＝BN，
∵Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴EM＝FN，∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，
∴BN＝NM＝5，∵BE＝2，PE＝5，∴EM＝3，PM＝＝4，∴BP＝＝．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．
∴EF＝BE＝7∴△PMN周长的最小值为7．故答案为7．
27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 84°或103.5°或124°或117°或126° ；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，
【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，
则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；
③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，
则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，
⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；
（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，
∴∠B＝42°；
②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．
③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
第1题图 第3题图
2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （ ）
A．a(x＋y) ＝ax＋ay B．10x2－5x＝5x(2x－1)
C．x2－4x＋4＝x(x－4＋) D．x2－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x
5．下列运算中，计算结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
6．如图，根据图形的面积，可以验证一个乘法公式，这个公式是（ ）A． B． C． D．
7．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．19
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
10．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是_______
12．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是_______
13.分解因式：= ．
14．若，，则 = ．
15．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
16.如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点若AB＝18，则CD的长为 ．
19．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为 ．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
三．解答题（60分）
21．（12分）计算：
（1）； （2） ；
（3）； （4）．
22．（6分）先化简，再求值：，其中a=2，b=1．
23．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．
24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数；
（2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．
25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．
（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为 ．
（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．
26．（10分）画图计算：
（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．
①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；
②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．
如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为
（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．
【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 ；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
教师样卷
一．选择题(每小题3分 共30分)
1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B． C．D．
第1题图 第3题图
【答案】D 解：A、是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：D．
2．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
【答案】B 解：A、AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；故选：B．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB，若BE＝5cm，CE＝3cm，则△CDE的周长是（ ）
A．15cm B．13cm C．11cm D．9cm
【答案】B解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C．∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝DC，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBE．∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE＝DC＝5cm，
∴△CDE的周长为DE+DC+EC＝5+5+3＝13（cm），故选：B．
4．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 （ ）
A．a(x＋y) ＝ax＋ay B．10x2－5x＝5x(2x－1)
C．x2－4x＋4＝x(x－4＋) D．x2－16＋3x＝(x－4)(x＋4)＋3x
【答案】B
5．下列运算中，计算结果正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
6．如图，根据图形的面积，可以验证一个乘法公式，这个公式是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
7．以下图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B． C． D．
第7题图 第8题图
【答案】D解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有4条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．
8．如图，∠C＝∠D＝90°，AC＝AD，那么△ABC与△ABD全等的理由是（ ）
A．HL B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）故选：A．
9．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，EC＝5，△ABC的周长为26，则△BDC的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．19
第9题图 第10题图 第11题图 第12题图
【答案】B 解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2EC＝10，∵△ABC的周长为26，∴AB+AC+BC＝26，∴AB+BC＝16，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝BD+AD+BC＝AB+BC＝16，故选：B．
10．如图，在2×3的正方形网络中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C 解：如图，与△ABE成轴对称的格点三角形有△ABF、△AEF、△EBC共3个，
故选：C．
二．题空题(每小题3分 共30分)
11．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，沿过点A的一条直线AE折叠Rt△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠B的度数是_______
【答案】30°解：由折叠，可知：∠CAE＝∠DAE，∠ADE＝∠C＝90°，∴ED⊥AB．
∵点D为线段AB的中点，ED⊥AB，∴AE＝BE，∴∠B＝∠DAE．又∵∠CAE+∠DAE+∠B+∠C＝180°，∴3∠B＝9°，∴∠B＝30°．
12．如图，已知AB＝2，BF＝8，BC＝AE＝6，CE＝CF＝7，则△CDF与四边形ABDE的面积比值是_______
【答案】1：1 解：由题意得AC＝CB+BA＝8，∴AC＝BF，在△AEC和△BCF中，
∴△AEC≌△BCF（SSS），∴S△AEC＝S△BCF，故可得S△CDF+S△CDB＝SABDE+S△CDB S四边形ABDE＝S△CDF，∴四边形ABDE与△CDF面积的比值是1：1．
13.分解因式：= ．
【答案】
14．若，，则 = ．
【答案】 3
15．若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是 cm．
【答案】10 解：若10cm为腰长，则第三边的长是10cm；若5cm为腰长，∵5+5＝10，
∴不能组成三角形，舍去；综上：若等腰三角形的两边的边长分别为10cm和5cm，则第三边的长是10cm．故答案为：10．
16.如图，AB＝AC，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是： ．
【答案】∠B＝∠C 解：∠B＝∠C，理由是：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（ASA），故答案为：∠B＝∠C．
第16题图 第17题图 第18题图 第19题图 第20题图
17．如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A＝32°，则∠CDB的大小为 度．
【答案】37 解：∵AB＝AC，∠A＝32°，∴∠ABC＝∠ACB＝74°，又∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠CBD＝∠ACB＝37°．故答案为：37．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边的中点若AB＝18，则CD的长为 ．
【答案】9 解：∠ACB＝90°，D是AB边的中点，∴CD＝AB＝9，故答案为：9．
19．把一个长方形纸片按如图所示折叠，若量得∠AOD′＝36°，则∠D′OE的度数为 ．
【答案】72°解：∵四边形ODCE折叠后形成四边形OD′C′E，∴∠D′OE＝∠DOE，
∴∠AOD′+2∠D′OE＝180°，∵∠AOD′＝36°，∴∠D′OE＝72°．故答案为：72°．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是 ．
【答案】 解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠CBE＝60°，∵BE＝AE，∴CE＝BE＝AE，∴△BCE是等边三角形，∴BC＝BE，∵∠PBQ＝∠CBE＝60°，∴∠QBC＝∠PBE，∵QB＝PB，CB＝EB，∴△QBC≌△PBE（SAS），∴QC＝PE，∴当EP⊥AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，∵AE＝，∠A＝30°，∴PE＝AE＝，∴CQ的最小值为．
三．解答题（60分）
21．（12分）计算：
（1）； （2） ；
（3）； （4）．
【答案】（1）解：原式
(2) 解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
22．（6分）先化简，再求值：，其中a=2，b=1．
解：原式
当时原式= =12
23．（6分）如图，点E在线段AC上，BC∥DE，AC＝DE，CB＝CE，求证：∠A＝∠D．
【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠BCA＝∠CED，在△ABC和△DCE中，
，∴△ABC≌△DCE（SAS），∴∠A＝∠D．
24．（8分）在等腰△ABC中，已知AB＝AC，BD⊥AC于D．
（1）若∠A＝48°，求∠CBD的度数； （2）若BC＝15，BD＝12，求AB的长．
【解答】解：（1）∵在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ABC＝∠C，∠ADB＝90°，
∵∠A＝48°，∴∠ABC＝∠C＝66°，∠ABD＝42°，∴∠CBD＝24°；
（2）∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵BC＝15，BD＝12，∴CD＝9，设AB＝x，则AD＝x﹣9，∵∠ADB＝90°，BD＝12，∴122+（x﹣9）2＝x2，解得，x＝，即AB＝．
25．（8分）已知两个等腰直角△ABC和△CDE，它们的两个直角顶点B、D在直线MN上，过点A、E分别作AG⊥MN，EF⊥MN，垂足分别为G、F．
（1）如图1，当△ABC和△CDE在△BCD的外部时，请你探索线段EF、DB、AG之间的数量关系，其数量关系为 BD＝EF+AG． ．
（2）如图2，将图1中的△ABC沿BC翻折，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请探索它们的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）结论：BD＝EF+AG．理由：如图1中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，
同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．
（2）结论不变．理由：如图2中，作CH⊥MN于H．∵EF⊥MN，AG⊥MN，∴∠EFD＝∠EDC＝∠CHD＝90°，∴∠EDF+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，∴∠EDF＝∠DCH，∵DE＝DC，∴△FDE≌△HCD（AAS），∴EF＝DH，同理可证：△BHC≌△AGB，∴AG＝BH，∴BD＝EF+AG．故答案为BD＝EF+AG．
26．（10分）画图计算：
（1）已知△ABC，请用尺规在图1中△ABC内确定一个点P，使得点P到AB和BC的距离相等，且满足P到点B和点C的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）如图2，如果点P是（1）中求作的点，点E、F分别在边AB、BC上，且PE＝PF．
①若∠ABC＝60°，求∠EPF的度数；
②若BE＝2，BF＝8，EP＝5，求BP的长．
（3）如图3，如果点P是△ABC内一点，且点P到点B的距离是7，若∠ABC＝45°，请分别在AB、BC上求作两个点M、N，使得△PMN的周长最小（不写作法，保留作图痕迹），则△PMN的最小值为 7
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）①连接BP，作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N．∵BP平分∠ABC，PM⊥AB，PN⊥BC，
∴PM＝PN，∵PE＝PF，∠PME＝∠PNF＝90°，∴Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴∠EPM＝∠FPN，∴∠EPF＝∠MPN，∵∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠EPF＝120°．
②∵PB＝PB，PM＝PN，∠PMB＝∠PFB＝90°∴Rt△PMB≌Rt△PNB（HL），∴BM＝BN，
∵Rt△PME≌Rt△PNF（HL），∴EM＝FN，∴BE+BF＝BM﹣EM+BN+NF＝2BN＝10，
∴BN＝NM＝5，∵BE＝2，PE＝5，∴EM＝3，PM＝＝4，∴BP＝＝．
（3）分别作点P关于边AB、BC的对称点E、F，连接EF，分别与边AB、BC交于点M、N，连接PM、PN．则线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值．∵点E与点P关于AB对称，点F与点P关于BC对称，∴∠EBA＝∠PBA，∠FBC＝∠PBC，BE＝BF＝BP＝7．
∴EF＝BE＝7∴△PMN周长的最小值为7．故答案为7．
27．（10分）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．
如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．
【应用】
（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值 84°或103.5°或124°或117°或126° ；
（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．
【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，
【应用】（1）①如图③当∠B＝42°，AD为“好线”，则AD＝AD＝BD，故这个三角形最大内角是∠C＝84°；②如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，
则AB＝AD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；
③如图⑤当∠ABC＝42°时，BD为“好线”，则AD＝BD，CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠C＝124°，④如图⑥，当∠B＝42°时，CD为“好线”，
则AD＝CD＝BC，故这个三角形最大内角是∠ACB＝117°，
⑤如图⑦，当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是84°或103.5°或124°或117°或126°，故答案为：84°或103.5°或124°或117°或126°；
（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，
∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，
∴∠B＝42°；
②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．
③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．
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