2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册 3.5确定二次函数的表达式解答练习题 （word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册 3.5确定二次函数的表达式解答练习题 （word版 含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 232.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 14:34:30 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《3.5确定二次函数的表达式》
解答题专项练习题（附答案）
1．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当x＝﹣1时y的值．
2．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．
5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P点的坐标．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
（1）求c的值及a，b满足的关系式．
（2）结合函数图象判断抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n），N（5﹣m，n）．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点A（1，m）和点B（2，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上．
（1）若m＝1，n＝3，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点且满足y0≥m，当mn＜0时，求证：a＞1．
（3）若点（﹣2，c），（2，c﹣1），（3，c+1）在该二次函数的图象上，试比较m，n的大小．
8．已知抛物线y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若抛物线经过点（﹣1，3），求抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点坐标为（p，q），当b的值变化时，求q关于p的函数关系式．
（3）若0≤b≤12，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为25，求b的值．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．
10．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点（2，﹣2），（4，6）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）已知点D（m，y1），E（n，y1），y1＞﹣2，D，E是抛物线上不同的两点，其中点D在点E左侧．若点C（2，y1）在线段DE上，且m+n＝4CE，求点D的坐标．
11．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣1，8），（4，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点（t，y1），（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，试比较y1与y2的大小；
（3）点A（m，n）为该抛物线上一点，当2m﹣n取得最大值时，求点A的坐标．
12．已知抛物线y＝﹣﹣4a+3（a是实数）．
（1）若该抛物线的顶点的纵坐标为﹣1，求该抛物线的表达式．
（2）若点M（c+4a﹣1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上，求b的最大值．
13．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及P点坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0），（4，0），与y轴交于点（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点（x，y）在该二次函数上．
①当y＝时，求x的值；
②当m≤x≤m+2时，y的最小值为﹣，求m的取值范围．
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①若m＝﹣1，求n的值．
②若当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，请结合图象直接写出满足条件的一个m的值．
18．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
19．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；
（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．
20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．
参考答案
1．解：（1）∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0），
∵当x＝1时，y＝2，
∴2＝k 12，
解得，k＝2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．
（2）∵函数关系式为y＝2x2，
∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．
2．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，
得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，
∵y＝2x2﹣x﹣3＝，
∴顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，
∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），
∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，
∴﹣≤x1≤1．
3．解：（1）将（﹣1，0）、（2，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，﹣），
∴x＝时，y最小值为﹣，
∵﹣（﹣2）＞1﹣，
∴x＝﹣2时，y＝4+2﹣2＝4为最大值，
∴当﹣2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差为4﹣（﹣）＝．
4．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝＝．
故答案为：．
5．解：（1）把点A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2）．
6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
∴，
∴c＝3，3a+b+1＝0．
（2）若抛物线同时经过点M（﹣1+m，n）、N（5﹣m，n）．则对称轴为：x＝＝2，
∵抛物线经过点A（0，3）和B（3，0），
∴抛物线经过（1，0），
设抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把A的坐标代入得，3＝3a，解得a＝1，
∴符合要求的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
7．（1）解：∵m＝1，n＝3，
∴A（1，1），B（2，3），
把A、B代入y＝ax2+bx+1（a≠0）得
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣x+1，
其对称轴为；
（2）证明：∵点C（x0，y0）是二次函数图象上任意一点，且y0≥m，
可得A（1，m）为最低点，即开口向上，a＞0，
对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
根据抛物线的对称性，可知，x＝2，y＝4a+2b+1＝1，即n＝1，
∵mn＜0，
∴m＜0，
将x＝1代入y＝ax2﹣2ax+1，得y＝a﹣2a+1＜0，
∴a＞1；
（3）解：将点（﹣2，c），（2，c﹣1），（3，c+1）代入y＝ax2+bx+1（a≠0）
得：，解得：，
∴y＝，，
当x＝1时，m＝，
当x＝2时，n＝＝，
∵＞，
∴m＞n．
8．解：（1）把点（﹣1，3）代入y＝x2+bx+3b中得：1﹣b+3b＝3，
解得b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标为（p，q），
∴﹣＝P，＝q，
∴b＝﹣2p，
把b＝﹣2p代入＝q得q＝＝﹣p2﹣6p．
即q关于p的函数解析式为q＝﹣p2﹣6p．
（3）∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵0≤b≤12，
∴﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
∵当36﹣3b＞1+4b时，解得b＜5，
∴当b＜5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝﹣6时取得最大值，
当b＞5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝1时取得最大值，
当b＝5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝﹣6或x＝1时取得最大值，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝25时，
解得b＝22（不符合题意，舍去）或b＝2．
当1+4b﹣（﹣+3b）＝25时，
解得b＝8或b＝﹣12（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝2或8．
9．解：（1）对称轴x＝﹣＝1．
故答案为1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴当x＝4时，y的最大值为5，
∴16a﹣8a+2a＝5，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（3）如图，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，
∵x2＞3时，均满足y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；
∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，
此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点（2，﹣2），（4，6），
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为直线x＝1，
∵点D（m，y1），E（n，y1），y1＞﹣2，D，E是抛物线上不同的两点，
∴D，E关于抛物线的对称轴对称，
∵点D在点E左侧，
∴n﹣1＝1﹣m．
∴m+n＝2．
∵点C（2，y1）在线段DE上，
∴EC＝n﹣2，
∵m+n＝4CE，
∴m+n＝4（n﹣2）．
∴4（n﹣2）＝2．
解得：n＝，
∴m＝﹣．
当x＝时，
y＝﹣2＝﹣，
∴D（﹣，﹣）．
11．解：（1）把（﹣1，8），（4，3）代入得，
，
解得．
所以，该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）对称轴为x＝﹣＝2，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大．
∵t＜t+1，
∴y1＜y2；
（3）∵点A（m，n）为该抛物线上一点，
∴n＝m2﹣4m+3，
设w＝2m﹣n＝2m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+6m﹣3＝﹣（m﹣3）2+6，
∴当m＝3时，w最大，
此时A（3，0）．
12．解：（1）∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝1，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣2．
（2）根据题意，抛物线的对称轴为x＝＝2a．
∵点M（c+4a﹣1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上，
∴抛物线的对称轴可表示为x＝，
∴＝2a，
解得c＝﹣1，
∴N点坐标为（2，b），
将N（2，b）代入y＝﹣﹣4a+3，
得b＝﹣a2﹣2a+2＝﹣（a+1）2+3，
∴b≤3，
∴b的最大值为3．
13．解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
14．解：（1）∵点A、C在二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点P为（﹣1，﹣4）；
（2）m≤x≤m+1时，y的最小值为﹣4，
∴m≤﹣1≤m+1，即﹣2≤m≤﹣1，
①﹣2≤m＜﹣时，y最大值＝m2+2m﹣3，
由m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），m＝﹣，
②当﹣≤m≤﹣1时，y最大值＝（m+1）2+2（m+1）﹣3，
由（m+1）2+2（m+1）﹣3＝2m，
解得：m＝0（舍去），m＝﹣2（舍去），
综上：m的值为﹣．
15．解：（1）由题可得，
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上，
∴y1＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n，
y2＝（2n+3）2﹣2（2n+3）﹣3＝4n2+8n
∴y1﹣y2＝﹣3n2﹣12n＝3（n+2）2+12，
∵﹣3＜0，
∴当n＝﹣2时，y1﹣y2取最大值．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴﹣l＜n＜0；
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴不等式组无解．
综上所述：﹣l＜n＜0．
16．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），
把点（0，4）代入得4＝8a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣2）（x﹣4），
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+4；
（2）①当y＝时，则＝x2﹣3x+4，
解得x1＝1，x2＝5；
故x的值为1或5；
②y＝x2﹣3x+4＝（x﹣3）2﹣，
∴当x＝3时，函数有最小值﹣，
∴当m≤3≤m+2时，即1＜m＜3时，y有最小值﹣，
故m的取值范围是1≤m≤3．
17．解：（1）把点A（3，1），点B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点坐标为（1，5）；
（2）①把点C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4中可得：
n＝﹣1﹣2+4＝1，
∴n的值为：1，
②当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
∴把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4中可得：
1＝﹣x2+2x+4，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴m的取值范围为：﹣1≤m≤1，
∴m的值为：0（答案不唯一）．
18．解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范围为：n．
19．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，
∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），
又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，
∴﹣4＜m＜2．
20．解：（1）∵关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，
∵﹣4≤x≤，
∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值21，
∴y的最大值与最小值的差为21﹣（﹣4）＝25．
（3）当x＝﹣1时y＝（2﹣a）x+2﹣a＝0，
∴直线y＝（2﹣a）x+2﹣a经过定点（﹣1，0），
∵m＜0＜n，
∴m＝﹣1，y1＝0，
∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，
∴w＝y1﹣y2的最大值为4．
解答题专项练习题（附答案）
1．已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当x＝﹣1时y的值．
2．已知：二次函数的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．
（1）求二次函数的解析式并求出图象的顶点D的坐标；
（2）设点M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，若y1≤y2，直接写出x1的取值范围．
3．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是 ．
注：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，）．
5．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0）、C（﹣1，0）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，则P点的坐标．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
（1）求c的值及a，b满足的关系式．
（2）结合函数图象判断抛物线能否同时经过点M（﹣1+m，n），N（5﹣m，n）．若能，写出符合要求的抛物线的表达式；若不能，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，点A（1，m）和点B（2，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上．
（1）若m＝1，n＝3，求二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点且满足y0≥m，当mn＜0时，求证：a＞1．
（3）若点（﹣2，c），（2，c﹣1），（3，c+1）在该二次函数的图象上，试比较m，n的大小．
8．已知抛物线y＝x2+bx+3b（b为常数）．
（1）若抛物线经过点（﹣1，3），求抛物线的解析式．
（2）若抛物线的顶点坐标为（p，q），当b的值变化时，求q关于p的函数关系式．
（3）若0≤b≤12，当﹣6≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为25，求b的值．
9．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2a（a≠0）．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，求抛物线的解析式；
（3）若对于该抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，请结合图象，直接写出x1的取值范围．
10．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点（2，﹣2），（4，6）．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）已知点D（m，y1），E（n，y1），y1＞﹣2，D，E是抛物线上不同的两点，其中点D在点E左侧．若点C（2，y1）在线段DE上，且m+n＝4CE，求点D的坐标．
11．已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）经过点（﹣1，8），（4，3）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点（t，y1），（t+1，y2）在该抛物线上，当t＞2时，试比较y1与y2的大小；
（3）点A（m，n）为该抛物线上一点，当2m﹣n取得最大值时，求点A的坐标．
12．已知抛物线y＝﹣﹣4a+3（a是实数）．
（1）若该抛物线的顶点的纵坐标为﹣1，求该抛物线的表达式．
（2）若点M（c+4a﹣1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上，求b的最大值．
13．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．
（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．
14．已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．
（1）求二次函数的解析式及P点坐标；
（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（3，0），对称轴是直线x＝1．点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当n取何值时，y1﹣y2取最大值；
（3）若B、C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（2，0），（4，0），与y轴交于点（0，4）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点（x，y）在该二次函数上．
①当y＝时，求x的值；
②当m≤x≤m+2时，y的最小值为﹣，求m的取值范围．
17．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，1），点B（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．
（2）点C（m，n）在该二次函数图象上．
①若m＝﹣1，求n的值．
②若当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，请结合图象直接写出满足条件的一个m的值．
18．在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，1），与y轴的交点坐标是（0，5）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，求n的取值范围．
19．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0）经过A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）．
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣3的函数解析式；
（2）抛物线有两点M（2，y1）、N（m，y2），当y1＜y2时，求m的取值范围．
20．关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求当﹣4≤x≤时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣a）x+2﹣a的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的交点坐标是（m，y1），（n，y2），且m＜0＜n，求函数W＝y1﹣y2的最大值．
参考答案
1．解：（1）∵y与x2成正比例，
∴设y＝kx2（k≠0），
∵当x＝1时，y＝2，
∴2＝k 12，
解得，k＝2，
∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．
（2）∵函数关系式为y＝2x2，
∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．
2．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，
得，解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2﹣x﹣3，
∵y＝2x2﹣x﹣3＝，
∴顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）∵抛物线y＝2x2﹣x﹣3的对称轴为直线x＝，
∴N（1，y2）关于直线x＝的对称点为（，﹣2），
∵M（x1，y1），N（1，y2）在该抛物线上，且y1≤y2，
∴﹣≤x1≤1．
3．解：（1）将（﹣1，0）、（2，0）代入y＝x2+bx+c得，
∴，
∴y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，﹣），
∴x＝时，y最小值为﹣，
∵﹣（﹣2）＞1﹣，
∴x＝﹣2时，y＝4+2﹣2＝4为最大值，
∴当﹣2≤x≤1时，求y的最大值与最小值的差为4﹣（﹣）＝．
4．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝3，
∴C（0，3），
∵P为BD的中点，
∴P（2，2），
∴CP＝＝．
故答案为：．
5．解：（1）把点A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴P（1，2）．
6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点A（0，3）和B（3，0）．
∴，
∴c＝3，3a+b+1＝0．
（2）若抛物线同时经过点M（﹣1+m，n）、N（5﹣m，n）．则对称轴为：x＝＝2，
∵抛物线经过点A（0，3）和B（3，0），
∴抛物线经过（1，0），
设抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把A的坐标代入得，3＝3a，解得a＝1，
∴符合要求的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．
7．（1）解：∵m＝1，n＝3，
∴A（1，1），B（2，3），
把A、B代入y＝ax2+bx+1（a≠0）得
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣x+1，
其对称轴为；
（2）证明：∵点C（x0，y0）是二次函数图象上任意一点，且y0≥m，
可得A（1，m）为最低点，即开口向上，a＞0，
对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
根据抛物线的对称性，可知，x＝2，y＝4a+2b+1＝1，即n＝1，
∵mn＜0，
∴m＜0，
将x＝1代入y＝ax2﹣2ax+1，得y＝a﹣2a+1＜0，
∴a＞1；
（3）解：将点（﹣2，c），（2，c﹣1），（3，c+1）代入y＝ax2+bx+1（a≠0）
得：，解得：，
∴y＝，，
当x＝1时，m＝，
当x＝2时，n＝＝，
∵＞，
∴m＞n．
8．解：（1）把点（﹣1，3）代入y＝x2+bx+3b中得：1﹣b+3b＝3，
解得b＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x+3；
（2）∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标为（p，q），
∴﹣＝P，＝q，
∴b＝﹣2p，
把b＝﹣2p代入＝q得q＝＝﹣p2﹣6p．
即q关于p的函数解析式为q＝﹣p2﹣6p．
（3）∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，
∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），
∵0≤b≤12，
∴﹣6≤﹣≤0，
∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，
把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，
把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，
∵当36﹣3b＞1+4b时，解得b＜5，
∴当b＜5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝﹣6时取得最大值，
当b＞5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝1时取得最大值，
当b＝5时，y＝（x+）2﹣+3b在x＝﹣6或x＝1时取得最大值，
当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝25时，
解得b＝22（不符合题意，舍去）或b＝2．
当1+4b﹣（﹣+3b）＝25时，
解得b＝8或b＝﹣12（不符合题意，舍去）．
综上所述，b＝2或8．
9．解：（1）对称轴x＝﹣＝1．
故答案为1；
（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，
∴当x＝4时，y的最大值为5，
∴16a﹣8a+2a＝5，
∴a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+1；
（3）如图，
∵对称轴为直线x＝1，
∴x＝﹣1与x＝3时的y值相等，
∵x2＞3时，均满足y1＜y2，
②当a＜0时，抛物线开口向下，如图1，不成立；
②当a＞0时，抛物线开口向上，如图2，当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3；
∴由①②知：当a＞0时，抛物线开口向上．当x2取大于3的任何实数时，均满足y1＜y2，
此时，x1的取值范围是：﹣1≤x1≤3．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点（2，﹣2），（4，6），
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣2；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为直线x＝1，
∵点D（m，y1），E（n，y1），y1＞﹣2，D，E是抛物线上不同的两点，
∴D，E关于抛物线的对称轴对称，
∵点D在点E左侧，
∴n﹣1＝1﹣m．
∴m+n＝2．
∵点C（2，y1）在线段DE上，
∴EC＝n﹣2，
∵m+n＝4CE，
∴m+n＝4（n﹣2）．
∴4（n﹣2）＝2．
解得：n＝，
∴m＝﹣．
当x＝时，
y＝﹣2＝﹣，
∴D（﹣，﹣）．
11．解：（1）把（﹣1，8），（4，3）代入得，
，
解得．
所以，该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）对称轴为x＝﹣＝2，
∵a＞0，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大．
∵t＜t+1，
∴y1＜y2；
（3）∵点A（m，n）为该抛物线上一点，
∴n＝m2﹣4m+3，
设w＝2m﹣n＝2m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+6m﹣3＝﹣（m﹣3）2+6，
∴当m＝3时，w最大，
此时A（3，0）．
12．解：（1）∵抛物线的顶点的纵坐标为﹣1，
∴＝﹣1，
解得a＝1，
∴该抛物线的表达式为y＝﹣2．
（2）根据题意，抛物线的对称轴为x＝＝2a．
∵点M（c+4a﹣1，b），N（3+c，b）都在该抛物线上，
∴抛物线的对称轴可表示为x＝，
∴＝2a，
解得c＝﹣1，
∴N点坐标为（2，b），
将N（2，b）代入y＝﹣﹣4a+3，
得b＝﹣a2﹣2a+2＝﹣（a+1）2+3，
∴b≤3，
∴b的最大值为3．
13．解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，
解得：a＝1，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；
（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，
∴﹣2+b＝3，
∴b＝5，
∴y＝2x+5，
∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，
∴y1＝2m+5，
∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，
∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，
∵y1＞y2，
∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，
令y＝m2+4m+3，
当y＝0时，m2+4m+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），
∵抛物线开口项上，
∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，
∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．
14．解：（1）∵点A、C在二次函数的图象上，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点P为（﹣1，﹣4）；
（2）m≤x≤m+1时，y的最小值为﹣4，
∴m≤﹣1≤m+1，即﹣2≤m≤﹣1，
①﹣2≤m＜﹣时，y最大值＝m2+2m﹣3，
由m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），m＝﹣，
②当﹣≤m≤﹣1时，y最大值＝（m+1）2+2（m+1）﹣3，
由（m+1）2+2（m+1）﹣3＝2m，
解得：m＝0（舍去），m＝﹣2（舍去），
综上：m的值为﹣．
15．解：（1）由题可得，
，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点B（n﹣1，y1），C（2n+3，y2）两点在抛物线上，
∴y1＝（n﹣1）2﹣2（n﹣1）﹣3＝n2﹣4n，
y2＝（2n+3）2﹣2（2n+3）﹣3＝4n2+8n
∴y1﹣y2＝﹣3n2﹣12n＝3（n+2）2+12，
∵﹣3＜0，
∴当n＝﹣2时，y1﹣y2取最大值．
（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴﹣l＜n＜0；
若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴不等式组无解．
综上所述：﹣l＜n＜0．
16．解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），
把点（0，4）代入得4＝8a，
解得a＝，
∴y＝（x﹣2）（x﹣4），
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+4；
（2）①当y＝时，则＝x2﹣3x+4，
解得x1＝1，x2＝5；
故x的值为1或5；
②y＝x2﹣3x+4＝（x﹣3）2﹣，
∴当x＝3时，函数有最小值﹣，
∴当m≤3≤m+2时，即1＜m＜3时，y有最小值﹣，
故m的取值范围是1≤m≤3．
17．解：（1）把点A（3，1），点B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴顶点坐标为（1，5）；
（2）①把点C（﹣1，n）代入y＝﹣x2+2x+4中可得：
n＝﹣1﹣2+4＝1，
∴n的值为：1，
②当m≤x≤3时，n的最大值为5，最小值为1，
∵抛物线的顶点为（1，5），
∴把y＝1代入y＝﹣x2+2x+4中可得：
1＝﹣x2+2x+4，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴m的取值范围为：﹣1≤m≤1，
∴m的值为：0（答案不唯一）．
18．解：（1）∵二次函数图象的顶点是（2，1），
∴设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，
将点（0，5）代入y＝a（x﹣2）2+1，
得5＝a（0﹣2）2+1，
解得：a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝（x﹣2）2+1．
（2）二次函数的图象与一次函数y＝x+n（n为常数）的图象有2个公共点，
∴得（x﹣2）2+1＝x+n，
化简得：x2﹣5x+5﹣n＝0，
∵有2个公共点，
∴Δ＞0，
∴25﹣4（5﹣n）＞0，
解得n＞．
∴n的取值范围为：n．
19．解：（1）把A（﹣1，﹣2），B（1，﹣6）代入y＝ax2+bx﹣3得，
解得，
∴抛物线的关系式为y＝﹣x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x﹣3，
∴抛物线开口向下，对称轴直线x＝﹣＝﹣1，
∴由图取抛物线上点Q，使Q与N关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点M（2，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点为（﹣4，y1），
又∵N（m，y2）在抛物线图象上的点，且y1＜y2，
∴﹣4＜m＜2．
20．解：（1）∵关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＜1时y随x增大而减小，当x＞1时y随x增大而增大，
∵﹣4≤x≤，
∴当x＝1时，y取最小值﹣4，当x＝﹣4时，y取最大值21，
∴y的最大值与最小值的差为21﹣（﹣4）＝25．
（3）当x＝﹣1时y＝（2﹣a）x+2﹣a＝0，
∴直线y＝（2﹣a）x+2﹣a经过定点（﹣1，0），
∵m＜0＜n，
∴m＝﹣1，y1＝0，
∵抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴y1﹣y2≤0﹣（﹣4）＝4，
∴w＝y1﹣y2的最大值为4．