2022-2023学年人教版八年级数学上册 13.3等腰三角形 同步练习题 （word版 含解析）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝60°，AD平分∠BAC，则AD等于（　　）
A．1 B． C． D．1.5
2．如图，在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，以点B为圆心，AB长为半径画弧；再以点C为圆心，AC长为半径画弧；两弧交于点D，连接AD，CB的延长线交AD于点E．下列结论错误的是（　　）
A．CE垂直平分AD B．CE平分∠ACD
C．△ABD是等腰三角形 D．△ACD是等边三角形
3．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若△EDF是等腰三角形，则∠BDC＝（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．75°
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝8，则线段MN的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，则高AD的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
6．一个等腰三角形的两边长分别是2、4，那么它的周长是（　　）
A．10 B．8 C．10或8 D．不能确定
7．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它两边的长度分别是（　　）
A．6和8 B．7和7 C．6和8或7和7 D．3和11
8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B的大小为（　　）
A．32° B．36° C．37° D．74°
9．如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接EA．则∠BAE的度数为（　　）
A．30° B．80° C．90° D．110°
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）
A．20° B．35° C．40° D．70°
11．等腰三角形周长为18，其中一边长为4，则其它两边长分别为（　　）
A．4，10 B．7，7 C．4，10或7，7 D．无法确定
12．等腰三角形的顶角比每个底角大30°，则这个等腰三角形的顶角是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．85°
二．填空题
13．已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝　 　度．
14．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，已知∠BED+∠CFD＝240°，则∠BDC＝　 　．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．动点P从点C开始按C→A→B→C的路径绕△ABC的边运动一周，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．则△BCP为等腰三角形时t的值是　 　．
16．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，若∠DAC＝84°，则∠B＝　 　度．
三．解答题
17．已知△ABC，AB＝AC，D为BC上一点，E为AC上一点，AD＝AE．
（1）如果∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，那么∠EDC＝　 　°．
（2）如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么∠BAD＝　 　°，∠CDE＝　 　°．
（3）设∠BAD＝α，∠CDE＝β猜想α，β之间的关系式，并说明理由．
18．数学课上，张老师举了下面的例题：
例1：等腰△ABC中，∠A＝100°，求∠B的度数（答案：40°）
例2：等腰△ABC中，∠A＝50°，求∠B的度数（答案：50°或65°或80°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式：等腰△ABC中，∠A＝70°，求∠B的度数
（1）请你解答小敏编的变式题；
（2）解第（1）小题后小敏发现，∠A的度数不同得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
19．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1．
（1）求∠B的度数；
（2）求CN的长．
20．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．
21．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，CE⊥AB于点E．求证：∠CAD＝∠BCE．
22．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，且AD＝AE；求∠EDC的度数．
23．在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
参考答案
一．选择题（共12小题）
1．解：∵AB＝AC＝2，∠B＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝，
故选：C．
2．解：由题可得，CA＝CD，BA＝BD，
∴CB是AD的垂直平分线，
即CE垂直平分AD，故A选项正确；
∴∠CAD＝∠CDA，∠CEA＝∠CED，
∴∠ACE＝∠DCE，
即CE平分∠ACD，故B选项正确；
∵DB＝AB，
∴△ABD是等腰三角形，故C选项正确；
∵AD与AC不一定相等，
∴△ACD不一定是等边三角形，故D选项错误；
故选：D．
3．解：由翻折可知：△BED≌△BCD，
∴∠EBD＝∠CBD，∠E＝∠C＝90°
∵△EDF是等腰三角形，
∴∠EFD＝∠AFB＝∠ABF＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBD＝∠CBE＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
故选：C．
4．解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝8，
∴MN＝8，
故选：C．
5．解：∵等边△ABC的边长为2，AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝BC＝1，
∴AD＝，
故选：C．
6．解：2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10．
故选：A．
7．解：当腰为6时，另一腰也为6，则底为20﹣2×6＝8，
∵6+6＝12＞8，
∴三边能构成三角形．
当底为6时，腰为（20﹣6）÷2＝7，
∵7+7＞6，
∴三边能构成三角形．
故选：C．
8．解：∵AD＝AC，点E是CD中点，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝74°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠C＝74°，
∵AD＝BD，
∴2∠B＝∠ADC＝74°，
∴∠B＝37°，
故选：C．
9．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAD＝∠C＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAD＝90°．
故选：C．
10．解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故选：B．
11．解：当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4＝10，
∵4+4＝8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18﹣4）÷2＝7，
∵0＜7＜7+4＝11，
∴以4，7，7为边能构成三角形
∴其它两边长分别为7，7．
故选：B．
12．解：设顶角的度数为x，则底角的度数为（x﹣30°）．
根据题意，得x+2（x﹣30°）＝180°，
解得x＝80°．
故选：C．
二．填空题
13．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80．
14．解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD＝（180°﹣∠BED），
同理∠FDC＝（180°﹣∠DFC），
∴∠BDC＝180°﹣∠BDE﹣∠CDF＝180°﹣（180°﹣∠BED）﹣（180°﹣∠DFC）＝（∠BED+∠CFD）＝120°，
故答案为：120°
15．解：△BCP为等腰三角形时，
当点P在边AC上时，CP＝CB，
∵CP＝6cm，此时t＝6÷2＝3（秒）；
当点P在边AB上时．
①如图1，CP＝CB，
作AB边上的高CD，
∵AC×BC＝AB×CD．
∴CD＝＝4.8，
在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝3.6，
∴BP＝2DP＝7.2，
∴AP＝2.8，
∴t＝（AC+AP）÷2＝（8+2.8）÷2＝5.4（秒）
②BC＝BP，
∴BP＝6cm，CA+AP＝8+10﹣6＝12（cm），
∴t＝12÷2＝6（秒）；
③PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，
此时CA+AP＝8+5＝13（cm），
t＝13÷2＝6.5（秒）；
综上可知，当t＝3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．
故答案为：3秒或5.4秒或6秒或6.5秒．
16．解：∵AC＝AD，∠DAC＝84°，
∴∠ADC＝∠C＝48°，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，
∴∠B＝∠ADC＝24°．
故答案为：24．
三．解答题
17．解：（1）∵∠BAD＝10°，∠DAE＝30°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAE＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝70°．
∵AD＝AE，∠DAE＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝75°．
∵∠B＝70°，∠BAD＝10°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝5°．
故答案为5；
（2）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
（3）猜想：α＝2β．理由如下：
设∠B＝x，∠AED＝y，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠C＝∠B＝x，∠ADE＝∠AED＝y．
∵∠AED＝∠CDE+∠C，
∴y＝β+x，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β．
18．解：（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝55°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×70°＝40°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝70°；
故∠B＝55°或40°或70°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
19．解：（1）∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC，
∴∠ACM＝∠BCM，∠AMN＝∠CMN，
又∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B，∠CMN＝∠BCM，
∴∠B＝∠BCM＝∠ACM，
∵∠A＝90°，
∴∠B＝×90°＝30°；
（2）由（1）得，∠AMN＝∠B＝30°，∠MCN＝∠CMN，∠A＝90°，
∴MN＝2AN＝2，MN＝CN，
∴CN＝2．
20．证明：∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ADE＝∠1，
∴EA＝ED，
即△ADE是等腰三角形．
21．证明：∵AB＝AC，BD＝CD（已知），
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），AD⊥BC（等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
又∵CE⊥AB（已知），
∴∠CAD+∠ACB＝90°，∠BCE+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余）．
∴∠CAD＝∠BCE（等角的余角相等）．
22．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝70°，
∴∠EDC＝90°﹣70°＝20°．
23．解：（1）∵△ABC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°
∵AP＝AQ
∴∠AQB＝∠APC＝80°，
（2）①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC，
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形
∴PA＝PM．