2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习题（word版 含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步练习题（附答案）
1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE，EF⊥AE交CD边于点F，已知AB＝4，则CF的长为（　　）
A． B． C．1 D．2
2．如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BE AB
C．DE2＝AD BE D．AC BC＝AE BD
3．已知△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，DE∥BC，点F是BC边上一点，连接AF交DE于点G．下列结论一定正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
5．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
6．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：AF：AB＝1：2：4，则S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于（　　）
A．1：2：4 B．1：4：16 C．1：3：12 D．1：3：7
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为（　　）
A． B． C． D．
8．如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（　　）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
9．如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC．连接DE，DF并延长，分别交AB、BC于点G、H，连接GH，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
10．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为（　　）
A．8S B．9S C．10S D．11S
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD＝4，DB＝2，则DE：BC的值为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB2＝BN DM；②AF平分∠DFE；③AM AE＝AN AF；④．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
15．如图，在直角三角形ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为　 　．
16．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB＝9，BD＝3，那么CF的长度为　 　．
17．如图，E为 ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD＝　 　．
18．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为　 　．
19．已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线AD上，AE＝AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是　 　．
20．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝　 　．
21．已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为　 　．
22．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为　 　．
23．如图，已知在Rt△ABC中，∠C为直角，AC＝5，BC＝12，在Rt△ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放　 　个．
24．如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD DH中，正确的是　 　．
25．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝6，CE＝4，求△ABC的边长．
26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
27．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB AD，∠ADC＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由；
（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．
28．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且CD2＝AD BD．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．
29．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD．
（1）求证：△ABF∽△CEB；
（2）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
30．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF＝∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．
（1）求证：△BDE∽△CEF；
（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
31．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，对角线BD⊥DC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）如果AD＝4，BC＝9，求BD的长．
32．如图所示，E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于O，交AD于F，请说明BO2＝OF OE．
33．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点．
（1）求证：DE＝DC；
（2）求证：AF⊥BF；
（3）当AF GF＝28时，请直接写出CE的长．
参考答案
1．解：由题意可知：BE＝CE＝2，
∵∠AEF＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CEF，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AEB∽△EFC，
∴＝，
∴，
∴CF＝1，
故选：C．
2．解：如图所示：
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC＝120°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ADC＝∠ACB，
在△ADC和△ACB中，
，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴，
∴AC2＝AB AD，
即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACB（AA），
∴，
∴BC2＝AB BE，
即答案B正确；
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CEB＝120°，
∴△ACD∽△CEB（AA），
∴，
∴CD CE＝AD BE，
又∵CD＝DE＝EC，
∴DE2＝AD BE，
即答案C正确；
∵△ACE与△BDC不相似，
∴AC BC＝AE BD不成立，
即答案D错误．
故选：D．
3．解：∵DE∥BC，
∴△ADG∽△ABF，
△AEG∽△ACF，
∴，
∴，
故选：C．
4．解：∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE＝AD，
∴＝．
故选：D．
5．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故选：B．
6．解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵AD：AF：AB＝1：2：4，
∴S△ADE：S△AFG：S△ABC＝1：4：16，
设△ADE的面积是a，则△AFG和△ABC的面积分别是4a，16a，
则S四边形DFGE和S四边形FBCG分别是3a，12a，
∴S△ADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG＝1：3：12．
故选：C．
7．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD，
∴∠QBD＝∠BDQ，
∴QB＝QD，
∴QP＝2QB，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝＝，即＝＝，
解得：QB＝，CP＝，
∴AP＝CA﹣CP＝，
故选：B．
8．解：设DE＝x，
∵DE：AD＝1：3，
∴AD＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，
∵点F是BC的中点，
∴CF＝BC＝x，
∵AD∥BC，
∴△DEG∽△CFG，
∴＝（）2＝（）2＝，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵AC＝CA，
∴△ADC≌△CBA（SAS），
∴S△ADC＝S△ABC，
∵AE＝CF＝AC，AG∥CD，CH∥AD，
∴AG：DC＝AE：CE＝1：3，CH：AD＝CF：AF＝1：3，
∴AG：AB＝CH：BC＝1：3，
∴BG：BA＝BH：BC，
∵∠B＝∠B，
∴△BGH∽△BAC，
∴＝＝（）2＝（）2＝，
∵＝，
∴＝×＝，
故选：C．
10．解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD AB＝2×8＝16，
∵AC＞0，
∴AC＝4，
故选：B．
11．解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF＝（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝DF：BF＝1：2，
∴S△DEF：S△BCF＝1：4，
∴S△BCF＝4S，
又∵DF：BF＝1：2，
∴S△DCF＝2S，
∴S ABCD＝2（S△DCF+S△BCF）＝12S．
∴四边形ABCE的面积＝9S，
故选：B．
12．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝．
故选：A．
13．解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝（）2＝．
∵S△ACD＝1，
∴S△ABC＝4，S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝3．
故选：C．
14．解：①∵∠BAN＝∠BAM+∠MAN＝∠BAM+45°，
∠AMD＝∠ABM+∠BAM＝45°+∠BAM，
∴∠BAN＝∠AMD．
又∠ABN＝∠ADM＝45°，
∴△ABN∽△MDA，
∴AB：BN＝DM：AD．
∵AD＝AB，
∴AB2＝BN DM．
故①正确；
把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°．
∴∠EAF＝∠HAF．
∵AE＝AH，AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH＝∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠BAN．
∵∠AFE＝∠AFD，∠BAN＝∠AMD，
∴∠AFE＝∠AMN．
又∠MAN＝∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF＝AN：AE，即
AM AE＝AN AF．
故③正确；
④由②得BE+DF＝DH+DF＝FH＝FE．
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO．
易证△ADF≌△AGF（AAS），
则可知AG＝AD＝AO，从而得证
故④正确．
故选：D．
15．解：如图∵在Rt△ABC中∠C＝90°，放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，
∴x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝7．
故答案为：7．
16．解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，
∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD＝AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF＝AE：EF，
∴AB：BD＝CD：CF，
即9：3＝（9﹣3）：CF，
∴CF＝2．
故答案为：2．
17．解：由题意可知：CD∥AE，CD＝AB
∴△CDF∽△BEF
∴
∵
∴，
∴，
∵AD＝BC，
∴＝，
故答案为：3：5
18．解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝．
故答案为：．
19．解：∵AE＝AD，
∴分两种情况：
①当点E在线段AD上时，如图1所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴EF：FC＝DE：BC，
∵AE＝AD，
∴DE＝2AE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝2：3，
∴EF：FC＝2：3；
②当点E在线段DA的延长线上时，如图2所示：
同①得：△EFD∽△CFB，
∴EF：FC＝DE：BC，
∵AE＝AD，
∴DE＝4AE＝AD＝BC，
∴DE：BC＝4：3，
∴EF：FC＝4：3；
综上所述：EF：FC的值是或；
故答案为：或．
20．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
21．解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE＝12﹣x，
∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
则＝（）2，即＝，
解得：x＝9，
即四边形BCED的面积为9，
故答案为：9．
22．解：∵在△ABC中，AD是中线，BC＝8，
∴CD＝4，
∵∠B＝∠DAC，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即，
解得，AC＝4．
23．解：由勾股定理得：AB＝＝13．
由三角形的面积计算公式可知：△ABC的高＝＝．
如图所示：根据题意有：△CAB∽△CEF
∴＝＝
∴EF＝＝10
∴第一层可放置10个小正方形纸片．
同法可得总共能放4层，依次可放置10、7、4、1个小正方形纸片，
∴最多能叠放10+7+4+1＝22（个）
故答案为：22个．
24．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝AC，
即△ABC是等边三角形，
同理：△ADC是等边三角形
∴∠B＝∠EAC＝60°，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；
故①正确；
∴∠BAF＝∠ACE，
∵∠AEH＝∠B+∠BCE，
∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；
故②正确；
在HD上截取HK＝AH，连接AK，
∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，
∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，
∴△AHK是等边三角形，
∴AK＝AH，∠AKH＝60°，
∴∠AKD＝∠AHC＝120°，
在△AKD和△AHC中，
，
∴△AKD≌△AHC（AAS），
∴CH＝DK，
∴DH＝HK+DK＝AH+CH；
故③正确；
∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，
∴△OAD∽△AHD，
∴AD：DH＝OD：AD，
∴AD2＝OD DH．
故④正确．
故答案为：①②③④．
25．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴＝，
∵BD＝6，CE＝4，
∴；
解得AB＝18．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴DE＝＝＝12．
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝6．
27．解：（1）∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
又∵AC2＝AB AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB；
（2）CE∥AD，
理由：∵△ADC∽△ACB，
∴∠ACB＝∠ADC＝90°，
又∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAE，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
（3）∵AD＝4，AB＝6，CE＝AB＝AE＝3，
∵CE∥AD，
∴∠FCE＝∠DAC，∠CEF＝∠ADF，
∴△CEF∽△ADF，
∴＝＝，
∴＝．
28．（1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
又CD2＝AD BD，即＝，
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A＝∠BCD，
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD+∠ACD＝90°，
即∠ACB＝90°．
29．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB平行且等于CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵DE＝CD，
∴＝（）2＝，＝（）2＝，
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△BCE﹣S△DEF＝16，
∴S四边形ABCD＝S四边形BCDF+S△ABF＝16+8＝24．
30．解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB，
∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠DEB，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF；
（2）∵△BDE∽△CEF，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴，
∵∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ECF，
∴∠DFE＝∠CFE，
∴FE平分∠DFC．
31．解：（1）△ABD与△DCB相似，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵BD⊥DC，
∴∠BDC＝90°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠BDC．
∴△ABD∽△DCB．
（2）∵△ABD∽△DCB，
∴＝．
∴BD2＝AD CB．
∵AD＝4，BC＝9，
∴BD＝6．
32．证明：∵AB∥CD，∴△AOB∽△COE．
∴OE：OB＝OC：OA；
∵AD∥BC，∴△AOF∽△COB．
∴OB：OF＝OC：OA．
∴OB：OF＝OE：OB，即
OB2＝OF OE．
33．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE＝∠CEB，
∵EC平分∠DEB，
∴∠DEC＝∠CEB，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC；
（2）如图，连接DF，
∵DE＝DC，F为CE的中点，
∴DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°，
在矩形ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝90°，
∴BF＝CF＝EF＝EC，
∴∠ABF＝∠CEB，
∵∠DCE＝∠CEB，
∴∠ABF＝∠DCF，
在△ABF和△DCF中，
，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴∠AFB＝∠DFC＝90°，
∴AF⊥BF；
（3）CE＝4．
理由如下：∵AF⊥BF，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，
∵EH∥BC，∠ABC＝90°，
∴∠BEH＝90°，
∴∠FEH+∠CEB＝90°，
∵∠ABF＝∠CEB，
∴∠BAF＝∠FEH，
∵∠EFG＝∠AFE，
∴△EFG∽△AFE，
∴＝，即EF2＝AF GF，
∵AF GF＝28，
∴EF＝2，
∴CE＝2EF＝4．