2022-2023学年华东师大版九年级数学上册 22.2一元二次方程的解法 同步知识点 分类练习题（word版 含解析）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《22.2一元二次方程的解法》
同步知识点分类练习题（附答案）
一．一元二次方程的解
1．如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．若2﹣是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则c的值是（　　）
A．1 B． C． D．
3．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　 　．
4．若关于x的方程x2+（m+1）x+＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）
A．﹣ B． C．﹣或 D．1
5．我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
6．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　 　．
7．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2021的值为　 　．
二．根的判别式
8．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
10．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
11．若关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
12．关于x的方程3kx2+12x+2＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
13．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
14．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2＝0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
15．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
16．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
三．根与系数的关系
17．已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0 C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0
18．已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，且x1+x2＝﹣2，x1 x2＝1，则ba的值是（　　）
A． B．﹣ C．4 D．﹣1
19．设x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，则x12+x22的值是（　　）
A．19 B．25 C．31 D．30
20．若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，则+的值是（　　）
A． B．﹣ C．﹣ D．
21．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n＝　 　．
22．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1 x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
四、解一元二次方程
24．解方程：3（x﹣3）2﹣25＝0．
25．解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）
26．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
27．解方程：
（1）x2﹣2x＝3；
（2）（x+4）2＝5（x+4）．
28．用适当的方法解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0
（2）x（x﹣3）＝x﹣3．
（3）x2﹣3x+2＝0
（4）x2﹣6x﹣7＝0．
参考答案
一．一元二次方程的解
1．解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k＝0的一个根，
∴22﹣3×2+k＝0，
解得，k＝2．
故选：B．
2．解：把2﹣代入方程x2﹣4x+c＝0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1；
故选：A．
3．解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k1＝1，k2＝0
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
4．解：由根与系数的关系可得：
x1+x2＝﹣（m+1），x1 x2＝，
又知一个实数根的倒数恰是它本身，
则该实根为1或﹣1，
若是1时，即1+x2＝﹣（m+1），而x2＝，解得m＝﹣；
若是﹣1时，则m＝．
故选：C．
5．解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：D．
6．解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m＝6，
故答案为：6．
7．解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024
故答案为：2024
二．根的判别式
8．解：A、Δ＝22﹣4×1×1＝0，方程有两个相等实数根，此选项错误；
B、Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；
C、Δ＝0﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
D、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；
故选：B．
9．解：原方程可化为：x2﹣2x﹣4＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
10．解：Δ＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
11．解：∵a＝1，b＝m，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×1＝m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
解得：m＞2或m＜﹣2，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
12．解：当k＝0时，原方程可化为12x+2＝0，解得x＝﹣；
当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵方程3kx2+12x+2＝0有实数根，
∴△≥0，即Δ＝122﹣4×3k×2≥0，解得k≤6．
∴k的取值范围是k≤6．
故答案为：k≤6．
13．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：4﹣4k≥0，
解得：k≤1，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0中k≠0，
故答案为：k≤1且k≠0．
14．解：（1）根据题意，将x＝1代入方程x2+mx+m﹣2＝0，
得：1+m+m﹣2＝0，
解得：m＝；
（2）∵Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
15．解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
16．（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
三．根与系数的关系
17．解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12＝0，
故选：A．
18．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣a＝﹣2，x1 x2＝﹣2b＝1，
解得a＝2，b＝﹣，
∴ba＝（﹣）2＝．
故选：A．
19．解：∵x1，x2是方程x2+5x﹣3＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝﹣3，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25+6＝31．
故选：C．
20．解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x﹣9＝0的两根，
∴α+β＝﹣，αβ＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
故选：C．
21．解：∵m、n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴mn＝﹣5，m+n＝﹣2，
∵m2+2m﹣5＝0
∴m2＝5﹣2m
m2﹣mn+3m+n＝（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n
＝10+m+n
＝10﹣2
＝8
故答案为：8．
22．解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×2m＝4﹣8m＞0，
解得：m＜．
∴m的取值范围为m＜．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1 x2＝2m，
∴x12+x22＝﹣2x1 x2＝4﹣4m＝8，
解得：m＝﹣1．
当m＝﹣1时，Δ＝4﹣8m＝12＞0．
∴m的值为﹣1．
23．解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0
∴1﹣4k≥0，
∴k≤．
∴当k≤时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴．
由≥0，
得≥0．
∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，
∴只有当k＝1时，上式才能成立．
又∵由（1）知k≤，
∴不存在实数k使得≥0成立．
四、解一元二次方程
24．解：3（x﹣3）2﹣25＝0，
（x﹣3）2＝，
x﹣3＝±，
所以x1＝3+，x2＝3﹣．
25．解：由原方程移项，得
x2﹣6x＝﹣4，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣6x+9＝﹣4+9，
即（x﹣3）2＝5，
∴x＝±+3，
∴x1＝+3，x2＝﹣+3．
26．解：a＝1，b＝2，c＝﹣3，
△＝22﹣4×（﹣3）＝16＞0，
x＝＝，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
27．解：（1）∵x2﹣2x＝3，
∴x2﹣2x+1＝3+1，
即（x﹣1）2＝4，
∴x﹣1＝±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵（x+4）2＝5（x+4），
∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
∴（x+4）（x+4﹣5）＝0，
即（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣4．
28．解：（1）∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴（x﹣4）（x+2）＝0，
∴x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x（x﹣3）＝x﹣3，
∴x（x﹣3）﹣（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（3）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2；
（4）∵x2﹣6x﹣7＝0，
∴（x﹣7）（x+1）＝0，
∴x﹣7＝0或x+1＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣1．