2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4解直角三角形 同步练习题（word、含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年鲁教版（五四制）九年级数学上册2.4解直角三角形 同步练习题（word、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 336.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 16:25:50 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版九年级数学上册《2.4解直角三角形》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则下列关于△ABC的说法不正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．tanB＝1
C．面积为5 D．BC边上的高为
2．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为（ ）
A．6 B．8 C．8 D．12
5．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（ ）
A．（3，5） B．（5，3） C．（4，3） D．（3，4）
6．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝12，AE＝10，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝2BC，则tan∠ABD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
11．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝60°，斜边长AB＝1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A． B．3 C．+2 D．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．5
二．填空题
13．三角形在正方形网格中的位置如图所示，则sinα的值是 ．
14．Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝8，b＝6，则sinB＝ ；若b＝24，c＝30，则cotA＝ ．
15．将正方形ABCD沿AC平移到A′B′C′D′使点A′与点C重合，那么tan∠D′AC′的值为 ．
16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
17．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠CAO的值为 ．
18．在△ABC中，AD是△ABC的高线，若tan∠CAD＝，AB＝5，AD＝3，则BC长为 ．
19．在直角坐标平面内有一点A（1，2），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α，那么cotα的值为 ．
三．解答题
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求AC的长．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tanC＝，BC＝12．
（1）求DC边的长；
（2）求cosB的值．
22．如图，在△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AC＝2，求BC的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：由题图知：AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝．
∵AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，故选项A正确；
∵tanB＝＝1，
∴选项B正确；
∵S△ABC＝AB×AC＝，
∴BC边上的高＝＝．故选项C错误，选项D正确．
故选：C．
2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
3．解：A．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
B．观察图形可得tanα＝，符合题意；
C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．
故选：B．
4．解：如图，
∵cosA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DA＝16，
∴BC＝BD cos30°＝16×＝8，
故选：C．
5．解：过点P作PB⊥OB于点B，
∵sinα＝＝，
∴可假设PB＝3，OP＝5，
∴OB＝＝4，
∴点P的坐标可能是（4，3），
故选：C．
6．解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠AEC＝tan∠FAB＝＝＝．
故选：A．
7．解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴AC＝2AE＝20，
∴AC＝BC＝20，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
在Rt△BDC中，sin∠DCB＝＝＝，
∴sin∠EDC＝，
故选：A．
8．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AB＝2BC，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝＝2，
故选：A．
9．解：连接AD，如图，
∵AB＝AC＝6，BD＝CD＝＝4，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝2，
∵ED⊥AB，
∴AB ED＝BD AD，
∴ED＝＝＝，
在Rt△BED中，
cos∠BDE＝＝＝．
故选：B．
10．解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．
在Rt△OPH中，tanα＝＝，
∵P（3，m），
∴OH＝3，PH＝m，
∴＝，
∴m＝4，
故选：B．
11．解：∵∠B＝60°，斜边长AB＝1，
∴AC＝ABsin60°＝，
BC＝ABcos60°＝，
则△ABC的周长＝1++＝．
故选：D．
12．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵cosB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
二．填空题
13．解：由图可得，直角三角形的斜边长＝＝5，
∴sinα＝，
故答案为：．
14．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，
则c＝＝10，
∴sinB＝＝，
（2）b＝24，c＝30
则a＝＝18，
∴cotA＝＝．
故答案为，．
15．解：因为平移后，对应点的连线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，
连接B′D′交AC′于点O，则∠AOD′＝90°，CO＝OD′，
∵AC＝CC′，
∴AO＝3OD′
所以tan∠D′AC′＝＝．
16．解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，
∵△ABO的面积＝AO BD＝×2×2，
∴BD＝，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，
故答案为：．
17．解：由图可得：AC＝4，OC＝2，∠ACO＝90°，
∴tan∠CAO＝＝＝．
故答案为：．
18．解：如图，分两种情况：
当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝＝，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝4+1＝5；
当高AD在△ABC′外部时，易知DC′＝DC＝1，
∴BC′＝BD﹣DC′＝4﹣1＝3．
故答案为：5或3．
19．解：作AM⊥x轴于点M，
则cotα＝＝．
故答案为：．
三．解答题
20．解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵BD＝2，sin∠DBC＝，
∴DE＝BDsin∠DBC＝2×＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵CD＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴AC的长为2．
21．解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
在Rt△ADC中，
∵tanC＝＝，AD＝6，
∴CD＝4．
（2）∵BC＝12，CD＝4，
∴BD＝8．
在Rt△ADB中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝
＝
＝．
22．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC＝＝，
∴AD＝CD．
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（CD）2+CD2＝（2）2．
∴CD2＝36．
∴CD＝6，AD＝4．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝4．
∴BC＝AD+CD
＝4+6
＝10．
23．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝，BC＝2．
∴BF＝FC＝BC＝1，
在Rt△ACF中，cos∠ACB＝＝＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∴cos∠ACB＝，
∴CD＝BC cos∠ACB＝2×＝，
BD＝＝＝，
又∵∠A＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝＝，
∴EC＝AB＝，
答：EC的长为．
一．选择题
1．如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则下列关于△ABC的说法不正确的是（ ）
A．是直角三角形 B．tanB＝1
C．面积为5 D．BC边上的高为
2．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，∠α的顶点位于正方形网格的格点上，若tanα＝，则满足条件的∠α是（ ）
A． B．
C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∠B的平分线BD交AC于点D，若AD＝16，则BC长为（ ）
A．6 B．8 C．8 D．12
5．在平面直角坐标系中，一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若，则点P的坐标可能是（ ）
A．（3，5） B．（5，3） C．（4，3） D．（3，4）
6．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC的值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝12，AE＝10，则sin∠EDC的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AB＝2BC，则tan∠ABD的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则m的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
11．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝60°，斜边长AB＝1，那么此直角三角形的周长是（ ）
A． B．3 C．+2 D．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点 D．若BC＝24，cosB＝，则AD的长为（ ）
A．12 B．10 C．6 D．5
二．填空题
13．三角形在正方形网格中的位置如图所示，则sinα的值是 ．
14．Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝8，b＝6，则sinB＝ ；若b＝24，c＝30，则cotA＝ ．
15．将正方形ABCD沿AC平移到A′B′C′D′使点A′与点C重合，那么tan∠D′AC′的值为 ．
16．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
17．在正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠CAO的值为 ．
18．在△ABC中，AD是△ABC的高线，若tan∠CAD＝，AB＝5，AD＝3，则BC长为 ．
19．在直角坐标平面内有一点A（1，2），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α，那么cotα的值为 ．
三．解答题
20．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCD是钝角，AB＝AD，BD平分∠ABC，若CD＝3，BD＝2，sin∠DBC＝，求AC的长．
21．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD＝6，tanC＝，BC＝12．
（1）求DC边的长；
（2）求cosB的值．
22．如图，在△ABC中，∠B＝45°，tanC＝，AC＝2，求BC的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2．过点B作BD⊥AC，垂足为点D．
（1）求cos∠ACB的值；
（2）点E是BD延长线上一点，联结CE，当∠E＝∠A时，求线段CE的长．
参考答案
一．选择题
1．解：由题图知：AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝．
∵AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，故选项A正确；
∵tanB＝＝1，
∴选项B正确；
∵S△ABC＝AB×AC＝，
∴BC边上的高＝＝．故选项C错误，选项D正确．
故选：C．
2．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝＝；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝，
∴AB＝＝2，
∴sinB＝＝．
故选：D．
3．解：A．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
B．观察图形可得tanα＝，符合题意；
C．观察图形可得tanα＝，不符合题意；
D．观察图形可得tanα＝，不符合题意．
故选：B．
4．解：如图，
∵cosA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠A＝∠CBD＝30°，
∴DB＝DA＝16，
∴BC＝BD cos30°＝16×＝8，
故选：C．
5．解：过点P作PB⊥OB于点B，
∵sinα＝＝，
∴可假设PB＝3，OP＝5，
∴OB＝＝4，
∴点P的坐标可能是（4，3），
故选：C．
6．解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠AEC＝tan∠FAB＝＝＝．
故选：A．
7．解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴AC＝2AE＝20，
∴AC＝BC＝20，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
在Rt△BDC中，sin∠DCB＝＝＝，
∴sin∠EDC＝，
故选：A．
8．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C，
∵AB＝2BC，
∴tan∠ABD＝tan∠C＝＝2，
故选：A．
9．解：连接AD，如图，
∵AB＝AC＝6，BD＝CD＝＝4，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，
AD＝＝＝2，
∵ED⊥AB，
∴AB ED＝BD AD，
∴ED＝＝＝，
在Rt△BED中，
cos∠BDE＝＝＝．
故选：B．
10．解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．
在Rt△OPH中，tanα＝＝，
∵P（3，m），
∴OH＝3，PH＝m，
∴＝，
∴m＝4，
故选：B．
11．解：∵∠B＝60°，斜边长AB＝1，
∴AC＝ABsin60°＝，
BC＝ABcos60°＝，
则△ABC的周长＝1++＝．
故选：D．
12．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵cosB＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
二．填空题
13．解：由图可得，直角三角形的斜边长＝＝5，
∴sinα＝，
故答案为：．
14．解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝6，
则c＝＝10，
∴sinB＝＝，
（2）b＝24，c＝30
则a＝＝18，
∴cotA＝＝．
故答案为，．
15．解：因为平移后，对应点的连线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，
连接B′D′交AC′于点O，则∠AOD′＝90°，CO＝OD′，
∵AC＝CC′，
∴AO＝3OD′
所以tan∠D′AC′＝＝．
16．解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，
∵△ABO的面积＝AO BD＝×2×2，
∴BD＝，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，
故答案为：．
17．解：由图可得：AC＝4，OC＝2，∠ACO＝90°，
∴tan∠CAO＝＝＝．
故答案为：．
18．解：如图，分两种情况：
当高AD在△ABC内部时，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝4，
在Rt△ADC中，tan∠CAD＝＝，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝4+1＝5；
当高AD在△ABC′外部时，易知DC′＝DC＝1，
∴BC′＝BD﹣DC′＝4﹣1＝3．
故答案为：5或3．
19．解：作AM⊥x轴于点M，
则cotα＝＝．
故答案为：．
三．解答题
20．解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵BD＝2，sin∠DBC＝，
∴DE＝BDsin∠DBC＝2×＝2，
∴BE＝＝＝4，
∵CD＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴BC＝BE﹣CE＝4﹣1＝3，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD＝BD＝，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
∴AC的长为2．
21．解：（1）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形．
在Rt△ADC中，
∵tanC＝＝，AD＝6，
∴CD＝4．
（2）∵BC＝12，CD＝4，
∴BD＝8．
在Rt△ADB中，
AB＝
＝10．
∴cosB＝
＝
＝．
22．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴△ABD、△ACD均为直角三角形．
在Rt△ACD中，
∵tanC＝＝，
∴AD＝CD．
∵AD2+CD2＝AC2，
∴（CD）2+CD2＝（2）2．
∴CD2＝36．
∴CD＝6，AD＝4．
在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝4．
∴BC＝AD+CD
＝4+6
＝10．
23．解：（1）过点A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AB＝AC＝，BC＝2．
∴BF＝FC＝BC＝1，
在Rt△ACF中，cos∠ACB＝＝＝；
（2）∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∴cos∠ACB＝，
∴CD＝BC cos∠ACB＝2×＝，
BD＝＝＝，
又∵∠A＝∠E，∠ADB＝∠EDC＝90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴＝＝，
∴EC＝AB＝，
答：EC的长为．