河北省石家庄市第一中学2012-2013学年高一下学期期末考试数学试题

石家庄市第一中学2012-2013学年高一下学期期末考试
数学试题
试卷Ⅰ（共 60 分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．
1．集合，，则　　D
A．　B．　C．　D．
2．设，则　　　C
A．　　B．　　C．　　D．　　
3．若，，则下列不等式正确的是　　D
A．　B．　Ｃ．　D．
4．在等差数列中，，则前项之和等于 (A)
Ａ．　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
5．已知倾斜角为的直线与直线平行，则（　B　）
A．　　B．　　C．　　D．
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列命题：
①，则；②则；
③，则；④，则．
其中正确的命题的个数是　A
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
7．某公司一年共购买某种货物吨，每次都购买吨，运费为每次4万元，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存
储费用之和最小，则每次都购买　C
A．吨　　B．吨　　
C．吨　　D．吨
8．一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是的圆，则这个几何体的表面积是（　　）
A．　B．　C．　D．
【答案】A 由三视图可知,该几何体是一挖去半球的球．其中两个半圆的面积为．个球的表面积为,所以这个几何体的表面积是,选A．
9．在中，若，则角的取值范围是（　C　）
A．　　B． 　　C．　　D．
【答案】C
【解析】由题意正弦定理
10．已知等比数列，且，则的值为　B　
A．　　B．　　C．　　D．
11．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数，，，，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第项为，则　　　D
A．　B．　C．　D．
12．已知球夹在一个锐二面角之间，与两个半平面相切于点，若，球心到二面角的棱的距离为，则球的体积为　B
A．　　B．　　C．　　D．
试卷II（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相
应的空内．
13． ．
14．若实数，满足不等式组 则的最小值是．
15．右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成的角是　　　．
16．定义在上的函数满足，已知，则数列的前项和　　　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，
并写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知直线过点为，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当面积最小时，求直线的方程并求出面积的最小值．
解：（1）由已知,， ……………2分
由直线方程的点斜式可得直线的方程为，
所以直线的方程为 ……………4分
（2）设直线的方程为，
因为直线过，所以　
∵　，∴　，
当且仅当，即时，取得等号．
∴　　，即面积的最小值为　　……8分
所以，直线的方程是，即 ………10分
18．（本小题满分12分）
已知函数()的最小正周期为．
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的取值范围．
解:（1）
　　　　………………4分
因为最小正周期为,所以
所以． ………………6分
由,,得．
所以函数的单调递增区间为[], ………8分
（2）因为,所以,
所以
所以函数在上的取值范围是　　………12分
19．（本小题满分12分）
如图，由个数组成的方阵中，自左向右每一行都构成等差数列，设第1，2，…，行的公差依次为．方阵中自上而下每一列组成公比均相同的等比数列，已知，．
（1）求及的值；
（2）若，求方阵中所有数的和．
解：设每一列组成的等比数列的公比为
（1），，
， ……………3分

………………6分
（2），，，
设第1列，第2列，…，第6列的和分别为，，，…，
由已知每一列组成公比为的等比数列
…………12分
20．（本小题满分12分）
已知在等边三角形中，点为边上的一点，且（）．
（1）若等边三角形边长为，且，求；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
．
∴　　　　　………4分
(2）设等边三角形的边长为，则
，………6分
………8分
即，
∴　，∴　．………10分
又，∴　． ………12分
21．（本小题满分12分）
如图，四边形与均为菱形， ，且．
（1）求证：平面；
【理】（2）求二面角的余弦值．
【文】（2）求与平面所成角的正弦值．
（1）证明：设与相交于点，连结．
因为四边形为菱形，
所以，　　　　………2分
且为中点．又，
所以． 　　　………4分
因为，
所以平面． 　………6分
【理】（2）
解：因为四边形为菱形，且，
所以△为等边三角形．
因为为中点，所以，
故平面．　　　　　………8分
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设．因为四边形为菱形，，
则，所以，．
所以 ．
所以 ，．
设平面的法向量为，则有所以
取，得．　………10分
易知平面的法向量为．
由二面角是锐角，得 ．
所以二面角的余弦值为．　　　………12分
【文】，
平面的法向量，　　　　………10分
则设与平面所成角为，则
　　　　………12分
22．（本小题满分12分）
已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求，的解析式；
（2）解不等式；
（3）若对任意使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由，得，解得
，．　………3分
（2）∵　在是单调递增的奇函数，
∴　，
∴　，解得或．
∴　．　　　　………6分
（3），即得，参数分离得
，………8分
令，则，于是
，，因为，
所以．　………12分