人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质（第2课时）教案
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 12.3 角的平分线的性质（第2课时）教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 297.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 21:23:03 | ||
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文档简介
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
【过程与方法】
经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
角平分线性质和判定的应用.
【教学难点】
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程
（一）导入新课
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么 （出示课件2）
（二）探索新知
1、师生互动，探究角平分线的判定定理
教师问1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺1∶20000) （出示课件4）
师生共同讨论得出答案：这个点应该在角的平分线.
教师问2：刚才大家对上述问题进行了讨论，并且得出了做法，我们进而从做法中总结出了新的结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这个新结论正确吗？（出示课件5）
师生讨论后认为需要证明.
问题证明：
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
教师问3：你能证明上边的问题吗？
学生小组讨论并回答：（出示课件7）
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
教师讲解：由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
总结点拨：（出示课件8）
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
教师问4：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
学生讨论得出结论：叫的判定定理可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等.
教师问5：让我们回到刚上课时的问题：怎样找到集贸市场所在点
师生共同解答如下：1.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处. （出示课件9）
2.在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题.1m＝100cm，所以比例尺为1∶20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.如图：
第一步：尺规作图作出夹角的角平分线OC.
第二步：在射线OC上截取OD＝2.5cm，确定D点，D点就是集贸市场所建地了.
总结点拨：
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
教师总结：应用角平分线的性质，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.
例1：如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.
求证:(1)∠FAD=∠EAD;
(2)BD=CD.
师生共同解答如下：
证明： (1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠EAD.
(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠ADF=∠ADE,
∵∠BDF=∠CDE,
∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,
即∠ADB=∠ADC,
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.
总结点拨：要证明一点在角平分线上，只要证明这点到角两边的距离相等即可.
2.师生讨论，探究三角形内角平分线的性质
教师问6：我们在学习三角形时，知道三角形的三条内角平分线有怎样的特征吗？
学生回答：都在三角形的内部并且交于一点.
教师问7：请同学分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条内角平分线,看是否交于一点呢？（出示课件11）
学生做图后回答：三角形的三条角平分线相交于一点.
教师问8：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
学生测量后回答：过交点作三角形三边的垂线段相等.（出示课件12）
教师问9：你能证明这个结论吗？
师生共同解答如下：（出示课件13）
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
教师问10：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
学生回答: 点P在∠A的平分线上.
教师问11：如何证明呢？
学生口答证明过程.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
（出示课件14）
总结点拨：（出示课件17）
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
条件
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 S= ch
周长
例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )（出示课件18）
师生共同解答如下：
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角
平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
故选A.
总结点拨：（出示课件19）
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
归纳总结：（出示课件20）
角平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知 条件 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE OP平分∠AOB
（三）课堂练习（出示课件23-27）
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
3. 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
4. 如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处 画出它的位置.
参考答案：
1.解答如下图：
2. 解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
3. 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
4.答案如下图：
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
角的平分线的性质(2)
性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（五）课前预习
预习下节课（13.1.1）的相关内容。
1.知道轴对称图形、轴对称、对称轴、对称点的概念.
2.了解轴对称的性质
七、课后作业
1、教材50页练习1,2
2、如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗 请说明理由.
八、板书设计：
九、教学反思：
1.本节课的内容是角平分线的判定,有前面角的平分线的性质,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.
2.本教学设计本着以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，情景引入，激发兴趣.
12.3 角的平分线的性质
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
掌握角平分线性质的逆定理,并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
【过程与方法】
经历探究角平分线性质逆定理的过程,发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
【情感、态度与价值观】
结合实际,创造丰富的情境,提高学生的学习兴趣,让他们在活动中获得成功的体验,培养学生的探索精神,树立学习的信心.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
角平分线性质和判定的应用.
【教学难点】
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程
（一）导入新课
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么 （出示课件2）
（二）探索新知
1、师生互动，探究角平分线的判定定理
教师问1：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺1∶20000) （出示课件4）
师生共同讨论得出答案：这个点应该在角的平分线.
教师问2：刚才大家对上述问题进行了讨论，并且得出了做法，我们进而从做法中总结出了新的结论：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.这个新结论正确吗？（出示课件5）
师生讨论后认为需要证明.
问题证明：
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
教师问3：你能证明上边的问题吗？
学生小组讨论并回答：（出示课件7）
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
教师讲解：由此我们又可以得到一个性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
总结点拨：（出示课件8）
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
教师问4：这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
学生讨论得出结论：叫的判定定理可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等.
教师问5：让我们回到刚上课时的问题：怎样找到集贸市场所在点
师生共同解答如下：1.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处. （出示课件9）
2.在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题.1m＝100cm，所以比例尺为1∶20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思.如图：
第一步：尺规作图作出夹角的角平分线OC.
第二步：在射线OC上截取OD＝2.5cm，确定D点，D点就是集贸市场所建地了.
总结点拨：
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
教师总结：应用角平分线的性质，可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化.所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题.
例1：如图,BE⊥AC,CF⊥AB,BE与CF交于点D,DE=DF,连接AD.
求证:(1)∠FAD=∠EAD;
(2)BD=CD.
师生共同解答如下：
证明： (1)∵BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线,
∴∠FAD=∠EAD.
(2)∵△ADF与△ADE是直角三角形,DE=DF,AD=AD,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),
∴∠ADF=∠ADE,
∵∠BDF=∠CDE,
∴∠ADF+∠BDF=∠ADE+∠CDE,
即∠ADB=∠ADC,
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(AAS),∴BD=CD.
总结点拨：要证明一点在角平分线上，只要证明这点到角两边的距离相等即可.
2.师生讨论，探究三角形内角平分线的性质
教师问6：我们在学习三角形时，知道三角形的三条内角平分线有怎样的特征吗？
学生回答：都在三角形的内部并且交于一点.
教师问7：请同学分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的三条内角平分线,看是否交于一点呢？（出示课件11）
学生做图后回答：三角形的三条角平分线相交于一点.
教师问8：分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
学生测量后回答：过交点作三角形三边的垂线段相等.（出示课件12）
教师问9：你能证明这个结论吗？
师生共同解答如下：（出示课件13）
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
教师问10：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
学生回答: 点P在∠A的平分线上.
教师问11：如何证明呢？
学生口答证明过程.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
（出示课件14）
总结点拨：（出示课件17）
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
条件
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 S= ch
周长
例2：如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )（出示课件18）
师生共同解答如下：
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角
平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
故选A.
总结点拨：（出示课件19）
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
归纳总结：（出示课件20）
角平分线的性质 角的平分线的判定
图形
已知 条件 OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE OP平分∠AOB
（三）课堂练习（出示课件23-27）
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
3. 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
4. 如图， 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处 画出它的位置.
参考答案：
1.解答如下图：
2. 解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
3. 证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
4.答案如下图：
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
角的平分线的性质(2)
性质：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
（五）课前预习
预习下节课（13.1.1）的相关内容。
1.知道轴对称图形、轴对称、对称轴、对称点的概念.
2.了解轴对称的性质
七、课后作业
1、教材50页练习1,2
2、如图 (1),已知AC∥BD,AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗 请说明理由.
八、板书设计：
九、教学反思：
1.本节课的内容是角平分线的判定,有前面角的平分线的性质,这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性,在角的外部有没有满足条件的点,引导学生从垂线的角度,点到线段、射线的距离方面加以理解.
2.本教学设计本着以观察为起点，以问题为主线，以培养能力为核心的宗旨；遵照教师为主导，学生为主体，训练为主线的教学原则，情景引入，激发兴趣.