人教版八年级上册13.4 最短路径问题 课件 (共19张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册13.4 最短路径问题 课件 (共19张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 9.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-24 08:09:40 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
人教版八年级上册第十三章第四节13.4最短路径问题
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？
l
M
N
s
A地
B地
情景引入
C
抽象成
A
B
l
数学问题
问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC的值最小。
C
A地
B地
这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？
实际问题
提出问题
l
理解问题
问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作
一点C,使AC+BC的值最小。
l
A
B
C
分析问题
你学习过哪些最短连线的知识？
线段公理：
两点之间，线段最短
垂线段性质：
垂线段最短.
问题难在哪里呢？
不管点C在直线上哪里，A、B、C都不可能在同一直线 上，无法直接应用这两个知识解决问题。
怎么办？
l
A
B
C
若A、B两点分别在直线l两侧，
你能找到符合条件的点吗？
A
B
A
l
l
C
B
A
D
问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
思考：如何将点B移到直线l的另一侧？
并且始终保持BC=B′C。
方法：
B′
分析问题
C
B′
A
l
作法：1.作点B关于直线l的对称点B′；
2.连接AB′，与直线l相交于C点。
则点C即为所求。
C
A
l
B
B
l
A
B
C
B′
C′
解决问题
问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，
在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题
思考：怎样证明此时AC+BC最短呢？
方法：在直线l任意取一点C′,比较AC′+BC′与AC+BC大小.
AC′+BC′＞AC+BC
AC′+B′C′＞AC+B′C
AC′+B′C′＞AB′
你能写出证明过程吗？
进一步思考：能否“作点A关于直线 l 的对称点 A′，
连结A′B，交直线l于点C′，它们作出来的点C是
同一个点吗？
BC=B′C,
BC′=B′C′
回顾一下我们今天所学的内容，你有什么收获？在解决最短路径这一类问题时都用到了哪些方法呢？
实际问题1
几何问题2
求两点之间连线中最短线问题.
图形表示，数学化
轴对称，转化问题
几何问题2的解
实际问题1的解
轴对称，还原问题
实际意义解释
反思与总结
最短路径----“将军饮马”问题
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
起源
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，
途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是________．
（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．
（2）把 在直线同侧的问题利用轴对称转化为在直线的两侧，化折线为直线。
将军饮马的实质：
（3）利用“两点之间，线段最短”
加以解决。
（1）求最短路线的问题。
变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
学以致用：
反思是进步的阶梯
你的收获；
你的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！
人教版八年级上册第十三章第四节13.4最短路径问题
相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题，将军问：从住所A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到营地B 。到河边的什么地方饮马可使他所走的路径最短？
l
M
N
s
A地
B地
情景引入
C
抽象成
A
B
l
数学问题
问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点C,使AC+BC的值最小。
C
A地
B地
这是一个实际问题，能把它描述成一个数学问题吗？
实际问题
提出问题
l
理解问题
问题：如图，点A、B在直线l同侧，在直线l上求作
一点C,使AC+BC的值最小。
l
A
B
C
分析问题
你学习过哪些最短连线的知识？
线段公理：
两点之间，线段最短
垂线段性质：
垂线段最短.
问题难在哪里呢？
不管点C在直线上哪里，A、B、C都不可能在同一直线 上，无法直接应用这两个知识解决问题。
怎么办？
l
A
B
C
若A、B两点分别在直线l两侧，
你能找到符合条件的点吗？
A
B
A
l
l
C
B
A
D
问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，在直线l上求作一点C,
使AC+BC最短问题。如何确定点C的位置呢？
思考：如何将点B移到直线l的另一侧？
并且始终保持BC=B′C。
方法：
B′
分析问题
C
B′
A
l
作法：1.作点B关于直线l的对称点B′；
2.连接AB′，与直线l相交于C点。
则点C即为所求。
C
A
l
B
B
l
A
B
C
B′
C′
解决问题
问题：如图，A、B是直线l同侧的两点，
在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题
思考：怎样证明此时AC+BC最短呢？
方法：在直线l任意取一点C′,比较AC′+BC′与AC+BC大小.
AC′+BC′＞AC+BC
AC′+B′C′＞AC+B′C
AC′+B′C′＞AB′
你能写出证明过程吗？
进一步思考：能否“作点A关于直线 l 的对称点 A′，
连结A′B，交直线l于点C′，它们作出来的点C是
同一个点吗？
BC=B′C,
BC′=B′C′
回顾一下我们今天所学的内容，你有什么收获？在解决最短路径这一类问题时都用到了哪些方法呢？
实际问题1
几何问题2
求两点之间连线中最短线问题.
图形表示，数学化
轴对称，转化问题
几何问题2的解
实际问题1的解
轴对称，还原问题
实际意义解释
反思与总结
最短路径----“将军饮马”问题
在古罗马，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军骑马从城堡A出发到城堡B，途中马要到河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是"将军饮马"问题。
起源
如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，
途中马要到河边饮水一次，
问：这位将军怎样走路程最短？
河
如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？
【问题简化】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是________．
（2018广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是____________．
（2）把 在直线同侧的问题利用轴对称转化为在直线的两侧，化折线为直线。
将军饮马的实质：
（3）利用“两点之间，线段最短”
加以解决。
（1）求最短路线的问题。
变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
学以致用：
反思是进步的阶梯
你的收获；
你的疑惑；
面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？
谢谢聆听，欢迎指正！