(共19张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
问题导入
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.例如，“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”，“空集是集合的真子集”的否定为“空集不是集合的真子集”.下面，我们学习利用存在量词对全称量词命题进行否定，以及利用全称量词对存在量词命题进行否定.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
新知探索
思考1：写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3)，
上面三个命题都是全称量词命题，即具有“”的形式.
其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的，”，也就是说，，.
新知探索
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说，假定全称量词命题为“”，则它的否定为“并非”，也就是“不成立”.通常，用符号“”表示“不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面结论：
全称量词命题：，
它的否定：.
也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题.
改为
否定结论
例析
例3.写出下列全称量词命题的否定：
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3)对任意，的个位数字不等于3.
解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)该命题的否定：存在一个四边形的四个顶点不在同一个圆上.
(3)该命题的否定：，的个位数字等于3.
新知探索
思考2：写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3)，
它们与原命题在形式上有什么变化？
这三个命题都是存在量词命题，即具有“”的形式.
其中命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在，”，也就是说，，.
新知探索
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可.也就是说，假定存在量词命题为“”，则它的否定为“不存在使成立”，也就是“不成立”.
对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面结论：
存在量词命题：，
它的否定：.
也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题.
改为
否定结论
例析
例4.写出下列存在量词命题的否定：
(1)；
(2)有的三角形是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
解：(1)该命题的否定：.
(2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.
(3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.
例析
例5.写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2).
解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
(2)该命题的否定：.
因为对任意，所以这是一个真命题.
练习
题型一：全称量词命题的否定与真假判断
例1.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)对于任意的实数方程必有实数根；
(2)任意一个实数乘以-1都等于它的相反数；
(3)正方形的对角线相等.
解：(1)存在实数使得方程没有实数根.
当，即时，方程没有实数根，
∴是真命题.
(2)存在一个实数乘以-1不等于它的相反数.假命题.
(3)有的正方形的对角线不相等.假命题.
练习
变1.写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假.
(1)所有自然数的平方都是正数；
(2)任意实数都是方程的根；
(3)对任意实数.
解：(1)有些自然数的平方不是正数.真命题.
(2)存在实数不是方程的根.真命题.
(3)存在实数，使得.假命题.
练习
方法技巧：
全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题.
(2)若全称量词命题为真命题，其否定命题就是假命题；若全称量词命题为假命题，其否定命题就是真命题.
练习
题型二：存在量词命题的否定与真假判断
例2.写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)有些三角形的三条边相等；
(2)有的平行四边形是矩形；
(3)，使得.
解：(1)所有三角形的三条边不全相等.假命题.
(2)没有一个平行四边形是矩形，即每一个平行四边形都不是矩形.由于矩形是平行四边形，因此该命题的否定是假命题.
(3).当时，.因此该命题的否定是假命题.
练习
变2.写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假.
(1)存在；
(2)存在；
(3)有些分数不是有理数.
解：(1)任意.假命题.
(2)任意.
∵真命题.
(3)该命题的否定是一切分数都是有理数，真命题.
练习
方法技巧：
存在量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)存在量词命题的形式是“”，其否定形式为“”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题.
(2)存在量词命题的否定真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
练习
题型三：全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题
例3.已知命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”是假命题，求实数的取值范围.
解：全称量词命题“函数的图象和轴至多有一个公共点”的否定形式为“函数的图象和轴有两个公共点”.由“命题为真，其否定为假；命题为假，其否定为真”可知，这个否定形式的命题是真命题.
由二次函数的图象易知
解得所以实数的取值范围是
练习
解：∵命题“”为假命题，
∴它的否定命题：“”为真命题.
即关于的方程有实数根，
当时，方程化为，显然有解；
当时，应满足解得且；
综上可知，实数的取值范围是
变3.已知命题“”为假命题，求实数的取值范围.
练习
方法技巧：
已知命题为假时，一般转化为是真命题求参数，从而减少失误，运算过程中注意合理的选择方法.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)全称量词命题的否定形式与判断真假的方法；
(2)存在量词命题的否定形式与判断真假的方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P31的练习12题；
(3)课本P31的习题1.的4、5、6.(共19张PPT)
1.5 全称量词与存在量词
1.5.1 全称量词与存在量词
复习导入
我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此他们不是命题.但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题.我们把这样的短语称为量词.本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确的对含有一个量词的命题进行否定.
新知探索
思考1：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)；
(2)是整数；
(3)对所有的；
(4)对任意一个是整数.
语句命题(1)(2)中含有变量，由于不知道变量代表什么数，无法判断它们的真假，所以它们不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“所有的”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“任意一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题.
新知探索
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并且用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.例如，命题“对任意的是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题.
常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.
一般形式：通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为
结构特点：集合中的任意一个元素，都满足条件.
例析
例1.判断下列全称量词命题的真假：
(1)所有的素数都是奇数；
(2)；
(3)对任意一个无理数，也是无理数.
解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题.
(2)，总有，因而.所以，全称量词命题“”是真命题.
(3)是无理数，但是有理数.所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题.
提示：如果一个大于1 的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.
新知探索
要判定全称量词命题是真命题，需要对集合中每个元素，证明成立；如果在集合中找到一个元素，使不成立，那么这个全称量词命题就是假命题.
这个方法就是举反例.
新知探索
思考2：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)；
(2)能被2和3整除；
(3)存在一个，使；
(4)至少有一个能被2和3整除.
容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量进行限定；语句(4)在(2)的基础上，用短语“至少有一个”对变量进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的陈述句，因此语句(3)(4)是命题.
新知探索
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.例如，命题“有的平行四边形是菱形”“有一个素数不是奇数”都是存在量词命题.
常见的全称量词还有“有些”“有一个”“有的”等.
一般形式：存在量词命题“存在中任意一个，成立”可用符号简记为
结构特点：集合中至少存在一个元素，满足条件.
例析
例2.判断下列存在量词命题的真假：
(1)有一个实数，使；
(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3)有些平行四边形是菱形.
解：(1)由于，因此一元二次方程无实根.所以，存在量词命题“有一个实数，使”是假命题.
(2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.
(3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.
练习
题型一：全称量词命题与存在量词命题的判断
例1.判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题：
(1)所有不等式的解集，都满足
(2)使
(3)存在是整数；
(4)自然数的平方是正数；
(5)所有四边形的内角和都是360°吗？
解：(1)全称量词命题；(2)存在量词命题;(3)存在量词命题;(4)全称量词命题；
(5)是疑问句，不是命题.
练习
解：(1)全称量词命题，真命题.
(2)全称量词命题，恰有一个解；假命题.
(3)存在量词命题，；真命题.
(4)全称量词命题，是有理数；真命题.
变1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“”“”表示.
(1)所有实数都能使成立；
(2)对所有实数方程恰有一个解；
(3)一定有整数使得成立；
(4)所有的有理数都能使是有理数.
练习
方法技巧：
判断全称量词命题还是存在量词命题的思路：
判命题
看量词
下结论
判断语句是否为命题
看命题中是否含有量词或隐含量词，判断量词或隐含量词是全称量词或存在量词
含有全称量词的命题称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题
练习
题型二：全称量词命题与存在量词命题真假的判断
例2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1)是奇数；
(2)存在一个使；
(3)对任意实数；
(4)有一个角，使.
解：(1)全称量词命题,假命题；
(2)存在量词命题，假命题；
(3)全称量词命题,假命题；
(4)存在量词命题，真命题.
练习
解：(1)假命题；
(2)假命题；
(3)真命题；
(4)假命题.
变2.判断下列命题的真假.
(1)任意两个面积相等的三角形一定相等；
(2)为正实数，使；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点；
(4).
练习
方法技巧：
1.判断全称量词命题真假的思维过程
2.判断存在量词命题真假的思维过程
全称量词命题
经证明为真或与性质、定理等真命题相符
可举出反例
真命题
假命题
存在量词命题
可找到，使成立
找不到，使成立
真命题
假命题
练习
题型三：求参数的值或取值范围
例3.已知命题是真命题，求实数的取值范围.
解：∵，∴.
由题意知又
∴∴
故实数的取值范围为.
练习
解：若为真命题，则对于恒成立，∴
若为真命题，则关于的方程有实数根，所以即或.
综上，实数的取值范围为.
变3.已知命题，命题若与都是真命题，求实数的取值范围.
练习
方法技巧：
求解含有量词命题中参数范围的策略
已知含量词命题的真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查，解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.
解决此类问题的关键是根据合理量词命题的真假转化为相关数学知识，利用集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)全称量词命题与存在量词命题；
(2)全称量词命题与存在量词命题的真假判断.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P28的练习1题；
(3)课本P31的习题1.5的1、2、3.
