(共14张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时
例析
利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子.
例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，
根据题意，得：
移项整理，得：
对于方程，，
方程有两个实数根
例析
例4.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为从而不等式的解集为.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益.
例析
例5.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？
解：根据题意，得：
移项整理，得：
对于方程，，
方程有两个实数根，.
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.
例析
例5.某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为或，从而不等式的解集为或.
因为车速所以.而所以这辆汽车刹车前的车速至少为
刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.
练习
题型一：简单方式不等式的解法
例1.解下列不等式：
(1)(2)
解：(1)
∴原不等式的解集为
(2)∵，∴，即
或
而即.
∴原不等式的解集为或
练，习
变1.解下列不等式：
(1)(2)
解：(1)∵，∴，即
<
∴原不等式的解集为或
(2)原不等式可化为即
即由“穿针引线”法可得：
原不等式的解集为或
练习
方法技巧：
(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.
(2)对于不等号右边不为零的较为复杂的方式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解.
练习
题型二：一元二次不等式的实际应用
例2.某小区有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB=3，AD=2.要使矩形AMPN的面积大于，则DN的长应在什么范围内？
解：设DN的长为，则.
∵，∴
∴
由得又
得：解得：或
即DN的长取值的取值范围是
N
P
A
M
D
B
C
练习
变2.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？
解：设这批台灯的售价为元，则
由题意得，
即即
故
又∵
∴.
即这批台灯的售价应在1520元之间.(20元取不到)
练习
方法技巧：
解不等式应用题的步骤
解决一元二次不等式应用题的关键在于一元二次不等式模型，即分析题目中哪些是未知量，然后选择关键量并设出此关键量，再概括题目中的不等关系列不等式.
练习
题型三：不等式恒成立问题
例3.(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围.
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
解(1)：原不等式可化为
∴
∴
∴实数的取值范围为.
(2)原不等式可化为恒成立，
∴
∴实数的取值范围为.
练习
变3.若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：当，即或时，
若要使原不等式解集为，则.
当，若要使原不等式解集为，
则有
解之，得
综上，的取值范围为
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)用一元二次不等式解决实际问题的思路；
(2)实际问题中一元二次不等式解集的选取.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P54的练习1题；
(3)课本P55的习题2.3的题.(共23张PPT)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时
问题导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题.
问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为，则另一条边为.由题意，得：其中
整理得：①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
新知探索
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中均为常数，.
思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？
新知探索
下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系.
如图，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与轴有两个交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根因此二次函数与轴的两个交点是和.
一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.于是，二次函数的两个零点是.
新知探索
从图可以看出，二次函数的两个零将轴分成三段.相应地，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即当时，函数图象位于轴下方，此时，即所以，一元二次不等式的解集是.
因为因此当围成的矩形的一条边长满足时，围成的矩形区域的面积大于
新知探索
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式()和()的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
我们知道，对于一元二次方程()，设，它的根按照，，可分为三种情况.相应地，二次函数()的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式()和()的解集.
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
的根 有两个不相等的实数根() 有两个不相等的实数根
没有实数根
的解集 或
的解集
例析
例1.求不等式的解集.
解：对于方程，
∵，∴它有两个实数根.解得
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为或.
例析
例2.求不等式的解集.
解：对于方程，
∵，∴它有两个实数根.解得
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为.
例析
例3.求不等式的解集.
解：不等式可化为
∵，∴方程无实数根.
画出二次函数的图象，
结合图象得不等式的解集为.
因此，原不等式的解集为.
对于二次项系数是负数(即)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
新知探索
现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？
利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.这里，我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程.
练习
题型一：不含参一元二次不等式的解法
例1.解下列不等式：
(1)(2)
解：(1)∵
∴方程有两个不等实根.
又二次函数的图象开口向上，
∴原不等式的解集为或.
(2)原不等式可化为：∵
∴方程无实根.
又二次函数的图象开口向上，
∴原不等式的解集为
练习
变1.解下列不等式：
(1)(2)
解：(1)∵
∴令
解得两根为
原不等式解集为.
(2)∵
∴
∵
∴方程无实根，即原不等式解集为
练习
方法技巧：
解不含参一元二次不等式的步骤：
变形
通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等式的右边为0)
求根
求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：(两根相同，)，(两根不同，)，(无实数根).
画图
画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中
求解
观察图象中位于轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集
练习
题型二：含参一元二次不等式的解法
例2.解关于的不等式
解：当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为
∵，∴或
当时，原不等式可化为
若，即则
若，即则
若，即则
练习
题型二：含参一元二次不等式的解法
例2.解关于的不等式
综上所述，当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为
练习
变2.解下列不等式的解集：
(1)当时，求关于的不等式的解集；
解：(1)当时，原不等式化为：
即，
∴不等式的解集为.
练习
变2.解下列不等式的解集：
(2)若，求关于的不等式的解集.
解：(2)∵
当时，有
∴不等式的解集为.
当时，有
∴不等式的解集为.
当时，有
∴不等式的解集为.
练习
方法技巧：
解含参一元二次不等式的步骤：
讨论二次项系数
二次项若含有参数应讨论它是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式
判断方程根的个数
讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数
写出解集
确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需讨论两根的大小关系，从而确定解集形式
练习
题型三：三个“二次”之间对应关系的应用
例3.已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集.
解：∵关于的不等式的解集为，
∴，且是一元二次方程的两个实数根，
∴
∴不等式化为，
即，解得
因此不等式的解集为
练习
变3.不等式的解集为，则（ ）.
A. B. C. D.
答案：B.
解：∵，开口向上，
而解集为，∴
由韦达定理可得，
解得
∴
故选B.
练习
方法技巧：
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
或的解集观点
方程的根
函数的零点
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)一元二次不等式的解法；
(2)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P53的练习1题；
(3)课本P55的习题2.3的1题.
