(共23张PPT)
3.2 函数的基本性质
第1课时
3.2.1单调性与最大（小）值
引入
前面我们学习了函数的定义及表示方法，知道函数描述了客观世界中变量之间的一种对应关系.这样我们就可以通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律.因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值是增大还是减小，有没有最大值或最小值，函数图象有什么特征等，是认识客观规律的重要方法.
我们知道，先画出函数图象，通过观察和分析图象的特征，可以得到函数的一些特性.因此我们可以从函数图象入手，来研究函数的性质.
引入
活动1：观察下列各个函数图象，你能发现它们可以反映出函数的哪些性质吗？
探索新知
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性.下面进一步用符号语言来刻画这种性质.
活动2：我们以函数f(x)=x2为例，研究其单调性.
在y轴左侧，f(x)=x2图象下降的；即当x≤0时，即f(x)随着x的增大而减小；
5
在y轴右侧，f(x)=x2图象上升的；即当x>0时，即f(x)随着x的增大而增大.
探究新知析
图象特征：在y轴左侧，f(x)=x2图象是下降的；即当时，随着的增大而减小.
符号语言：任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
5
探究新知析
图象特征：在y轴右侧，f(x)=x2图象是上升的；即当时，随着的增大而增大.
符号语言：任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
5
探究新知析
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？
5
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
探究新知析
活动3：仿照f(x)=x2，用符号语言刻画函数f(x)=|x|和f(x)=-x2各有怎样的单调性？
符号语言：
(1)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递减的.
(2)任意取,
这时我们就说函数在区间上是单调递增的.
探究新知析
一般地，设函数:
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.
就叫做函数的单调递增区间，简称增区间.
如果,当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.
就叫做函数的单调递增区间，简称减区间.
探究新知析
特别地，当函数在它的定义域上单调递减增时，我们就称它为增函数.
如：就是在R上的增函数.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减减时，我们就称它为减函数.
如：就是在R上的减函数.
注意：增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质，而函数的单调性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质。一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义上不一定具有单调性。
思考1：反比例函数是减函数吗？
·
·
5
对于函数f(x)=|x|，取区间D=(-4,4),
集合A={-1,2,3}，则 x1,x2∈{-1,2,3}，当x1·
·
·
探究新知析
思考2：(1)设A是区间D上的自变量的某些值组成的集合，而且 x1,x2∈A，当x1探究新知析
函数的单调性是对定义域I上的某个区间D而言的，自变量在整个区间D上的取值x1和x2（x1≠x2）具有任意性。不能用自变量在区间D内某两个值来或者区间D一部分内的任意两个值x1，x2来代替。
注：若函数的单调区间有多个，则函数的单调区间不能用“”连接，只能用“，”或“和”连接.
例析
Q1:由初中知识可知，一次函数图象的上升还是下降取决于谁？
Q2:根据单调性的定义，判断单调性的关键是比较的大小？那如何比较
的大小呢？
例析
解：
定义法判断函数单调性的四个步骤:
（1）取值；（2）作差；（3）定号；（4）下结论.
例析
Q1:“体积减少时，压强增大”的数学意义是什么？
证明：
例析
例3：根据定义证明函数在区间上单调递增.
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
练习
题型一：判断（证明）函数的单调性）
例1.证明函数 在区间上是减函数.
证明：
(
所以，
又由，得
于是
所以，函数在区间上单调递增.
练习
变1.（1）(多选)下列四个函数在区间上是增函数的是（ ）.
答案：CD.
变2：试用函数单调性的定义证明： 在上是减函数.
（解答思路同例1）
练习
题型二：图象法求函数的单调区间）
例2.画出函数 的图象，并指出函数的单调区间.
解：函数图象如图所示：
由图知，函数的增区间为：
函数的减区间为：
练习
变2.将例2中的 改为,则如何求解.
（解答思路同例2）
图象法求函数单调区间的步骤：
（1）作图；
（2）结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间.
练习
题型三：函数单调性的应用）
例3.函数是R上的增函数且,则（ ）.
A. B. C. D.
解：据题意，暂不能得出的正负.现假设： ，则有：
,. 而是R上的增函数
∴,
∴.故选C.
练习
变3.已知函数.
（1）若上是增函数，求的范围.
（2）若的单调区间是，求的范围.
[答案]（1） （2）-4
课堂小结&作业
作业：
1.整理复习课上例题；
2.课本85--86，习题3.2 第1,2,3，8题.
小结：
1.函数单调性的定义；
2.函数单调性的判断（定义法、图象法）；
3.单调性的应用.(共25张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
情境导入
探索新知
活动1：请同学们画出并观察函数 和 的图象。
5
可以发现，这两个函数的图象都关于轴对称
探索新知
类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于轴对称”这一特征吗？
不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
探索新知
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 9 4 1 0 1 4 9 …
… -1 0 1 2 1 0 -1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
探索新知
观察图象可知：
（1）两个函数的图象都关于y轴对称。
（2）
以为例，对定义域内任意的都有 ，这时称函数 为偶函数.关于对定义域内任意的都有这个结论，我们就利用几何画板一起看一下吧。
探索新知
一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做偶函数。(图象关于轴对称)
探索新知
活动2：观察函数和的图象，讨论这两个函数图象有何共同特征？并尝试用符号语言精确地描述这一特征.
探索新知
可以发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -1 无意义 1 …
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值也是一对相反数.
探索新知
观察图象可知：
（1）两个函数的图象都关于原点对称。
（2）
一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数就叫做奇函数。(图象关于原点对称)
探索新知
若函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数既是奇函数又是偶函数；(如)
若函数的定义域为 ,如果,都有,且,那么函数既不是奇函数也不是偶函数，简称非奇非偶函数.
探索新知
思考1：
是否是偶函数？
不是，因为对于函数 的定义域内任意一个,不满足
都成立.
也就是说明偶函数的定义域一定要关于原点对称。(奇函数也是)
例析
例6.判断下列函数的奇偶性.
(1)
(2)
(3)
(4)
解：（1）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为偶函数.
（2）函数的定义域为
∵,都有,且,
∴函数为奇函数.
题型一：函数奇偶性的判断）
例析
解：（3）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为奇函数.
（4）函数的定义域为
∵,都有,
且,
∴函数为偶函数.
求定义域并判断是否关于原点对称
判断的关系
下结论
例6.判断下列函数的奇偶性.（题型一：函数奇偶性的判断）
(3)
(4)
探索新知
思考2：判断函数 的奇偶性.
思考3：已知函数 图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？
练习
例1.若函数是偶函数，定义域为,,的值.
解：∵偶函数的定义域关于原点对称
∴=0，= .
又∵为偶函数
∴.
∴= ，即=0.
题型二：利用函数奇偶性求参数
练习
变1.(1)若函数是偶函数，的值;
(2)若函数是奇函数，的值.
答案：（1）4；（2）-1.
练习
例2.已知函数为上的偶函数，且当时，,则当时,求此时的解析式.
解：当时，,则
∵为上的偶函数
∴当时，.
题型三：利用函数奇偶性求分段函数的解析式
练习
变2.已知函数是上的奇函数，且当在上的解析式.
答案：
练习
例3.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合）
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数.
∴.
又∵
∴，即.
故选B.
练习
例3.若对于任意实数总有,且在区间上是增函数，则（ ）
题型四：比较大小（奇偶性与单调性的综合）
解题技巧：
（1）若自变量在同一区间内,直接利用函数的单调性比较大小；
（2）若自变量不在同一区间内,需利用函数的奇偶性把自变量转化的同一区间内，再利用单调性比较大小.
练习
题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）
例4.已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若,求实数的取值范围.
解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数
∴函数在区间上为减函数.
若,
则有
解得：.
即实数的取值范围是：.
题型五：解不等式问题（奇偶性与单调性的综合）
变4.(1)已知函数在定义域上既奇函数又是减函数，若, 求实数的取值范围;
(2)定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围.
练习
答案：（1）（2）.
变4.(1)已知函数在定义域上既奇函数又是减函数，若, 求实数的取值范围;
(2)定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数的取值范围.
练习
解题技巧：
（1）奇函数： 变形为.再利用单调性去掉，化为关于，的不等式.
（2）偶函数：,在化到同一区间建立不等式即可.
课堂小结&作业
小结：
1.偶函数、奇函数的定义及其几何意义；
2.判断奇偶函数的思路；
3.各题型的注意事项.
作业：
1.课本P85 1、2、3题；
2.课本习题3.2的5、11、12题
