(共33张PPT)
4.4 对数函数
4.4.2对数函数的图象和性质
复习导入
活动1：请同学们回顾一下对数函数的概念？
下面我们类比研究指数函数性质的过程与方法，进一步研究对数函数.与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.
因为指数和对数是可以互换的，因此可以猜想底数对对数函数的图象也会有影响.
现在我们不妨先画出函数的图象.
新知探索
活动2：请同学们完成的对应值表，并用描点法画出函数、的图象.
… … …
0.5 -1 1
1 0 0
2 1 -1
4 2 -2
8 3 -3
… … …
新知探索
为了得到指数函数的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.
活动3：请同学们画出函数、的图象.
新知探索
我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数，比如、，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
新知探索
利用换底公式，可以得到因为点与点关于轴对称，所以函数图象上任意一点关于轴的对称点都在函数上，反之亦然.
新知探索
由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数的图象，画出的图象.
新知探索
活动4：选取底数的若干值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.
新知探索
活动5：请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出指数函数的值域和性质.
选取底数的若干值，用信息技术画图，发现指数函数的图象按照底数的取值，可分为和两种类型.因此，指数函数的性质也可以分为和两种情况进行研究.
新知探索
活动5：请同学们观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出指数函数的值域和性质.
不难看出:这些图象都经过点;其定义域都是;值域是;当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.
新知探索
指数函数图象的其它特征：
在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”；时，越大，图象越低，简称“底大图低”.
新知探索
活动6：下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数,我们刚刚的发现是否成立.
新知探索
一般地，对数函数的图象和性质如下表所示：
例析
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)(2)，；(3).
解：(1)∵在定义域上单调递增
而，∴.
(2)∵在定义域上单调递减
而，∴.
(3)∵
∴当时，在定义域上单调递增
而,∴ .
当时，在定义域上单调递减
而,∴ .
例析
例4.溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
解(1)：根据对数的运算性质，有
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即 减小.所以，随着的增大， 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
例析
例4.溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解(2)：当时，
所以纯净水的是7.
新知探索
前面根据指数与对数的关系，由得到由函数定义知.
这样，由指数函数可得到对数函数.
这个对数函数的定义域、值域分别是指数函数的值域和定义域.这时就说函数是函数的反函数.
新知探索
通常，我们用表示自变量，表示函数.为此，把写成
这样，对数函数是指数函数的反函数.同时，指数函数也是对数函数的反函数.
因此，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
新知探索
一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
新知探索
由指数函数和对数函数的图象，我们可以大胆猜想互为反函数的两个函数图象关于直线对称.
活动7：下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数,我们刚刚的发现是否成立.
练习
题型一：对数函数的图象问题
例1.(1)函数的大致图象是( ).
解：由，得为偶函数，由此排除两个选项.又因为当时，单调递增，故选.
练习
例1.(2)如图，若，分别为函数和的图象，则( ).
解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以.再根据“底大图低”，可知.故选.
练习
变1.画出函数的图象，并写出函数的值域和单调区间.
解：由图可知,其值域为单调递增区间为，单调递减区间为.
练习
题型二：比较对数值的大小
例2.比较下列各组数的大小.
(1)(2)
解：(1)对数函数在上单调递增，
而∴.
(2)
解：(2)由于，，又对数函数在上单 调递增，且
∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断)
(3)
练习
解：(3)(中间值法)∵
∴.
题型二：比较对数值的大小
例2.比较下列各组数的大小.
练习
变2.(2019年全国卷1)已知，则（ ）.
解：∵
且即
∴.
故选.
练习
比较对数值大小的策略：
1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；
2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小；
3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小；
4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.
练习
题型三：解对数不等式
例3.解下列不等式：
(1)
解：(1)据题意得：
解得即不等式的解集为
(2)
解：(2)当时，，解得此时，无解.
当时，，解得此时，.
即不等式的解集为
练习
例3.解下列不等式：
(3)
解：(3)当时，
当时，
解得即不等式的解集为
解得即不等式的解集为
综上，当时，解集为；当时，解集为
练习
变3.(1)若的解集为____________.
解：(1)据题意得：
1
解得即不等式的解集为
练习
变3.(2)若则的取值范围是（ ）.
解：据题意得，,且，所以有
又，
∴.同时，，即.
综上，.
练习
对数不等式的三种考查类型：
1.形如的不等式，借助对数函数的单调性求解.
2.形如的不等式，应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解.
3.形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)对数函数的图象性质；
(2)比较对数式大小的类型及处理方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P135的1--3题，P160的2题&P161的11题.(共21张PPT)
4.4 对数函数
4.4.1对数函数的概念
复习导入
在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题.对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究.
思考：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量随死亡时间的变化而衰减的规律.反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间是碳14的含量的函数吗？
新知探索
根据指数与对数的关系，由得到.如图，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点.
新知探索
这就说明，对于任意一个，通过对应关系，在上都有唯一确定的数和它对应，所以也是的函数.也就是说，函数刻画了时间随碳14含量的衰减而变化的规律.
新知探索
同样地，根据指数与对数的关系，由可以得到,也是的函数.通常，我们用表示自变量，表示函数.为此，将中的字母和对调，写出.
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.
注：“”前面的系数必须为1；真数部分必须为；底数必须要满足
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)对数函数的定义域为
(2)函数是对数函数.
(3)与都不是对数函数.
答案：×，×，√.
辨析2：若对数函数的图象经过，则此对数函数的解析式为__________ .
答案：
例析
例1.求下列函数的定义域：
(1)
(2)
解：(1)∵即
∴函数的定义域是
(2)∵即
∴的定义域是
例析
例2.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为.
(1)该地的物价经过几年后会翻一番？
解：(1)由题意可知，经过年后物价为
，即
由对数与指数间的关系，可得
由计算工具可得，当时，
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番.
例析
例2.假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为.
(2)填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数 0
解:(2)根据函数，利用计算工具，可得下表：
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小.
物价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
练习
例1.下列函数表达式中，是对数函数的有( ).
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题型一：对数函数的概念
答案：B.
练习
变1.(1)函数是对数函数，则实数
(2)函数是对数函数，则函数
答案：(1)1；(2)-3.
(1)∵,解得或1.
而且，∴即1.
(2)∵，解得或-3.
而∴.即
∴
练习
判断一个函数是对数的依据：
(1)形式：形如；
(2)系数：对数符号前面的系数为1；
(3)底数：底数为大于0且不等于1的常数；
(4)对数的真数仅有自变量
练习
题型二：对数型函数的定义域
例2.求下列函数的定义域.
(1)(2)(3)
答案：(1)由 得
∴定义域为
(2)由得.由指数函数的单调性知，
∴定义域为
(3)据题意得：且，得且
∴定义域为
练习
变2.求下列函数的定义域.
(1) (2) (3)
答案：(1)由 得且
∴定义域为
(2)由得.即
∴定义域为
(3)据题意得：且，得且
而即
∴定义域为
练习
求对数型函数定义域的原则：
(1)分母不能为0；
(2)根指数为偶数时，被开方数非负；
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1；
(4)若需对函数进行变形，则需先求出定义域，再对函数进行恒等变形.
练习
题型三：对数函数的实际应用
例3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数单位是是表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
解:(1)由可知，
当时，
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是
练习
题型三：对数函数的实际应用
例3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数单位是是表示鱼的耗氧量的单位数.
(2)某条鲑鱼想把游速提高1那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解:(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为提速后的游速、耗氧量为
由，即，得
所以耗氧量的单位数是原来的9倍.
练习
变3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为
(1)写出奖金关于销售利润的关系式；
解:(1)由题意知
练习
变3.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按进行奖励.记奖金为
(1)写出奖金关于销售利润的关系式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解:(2)由题意知，
即，所以
所以老江的销售利润是34万元.
课堂小结
小结：
1.对数函数的概念：
一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域是.
2.对数函数需要注意的几个点：
(1)形式：形如；
(2)系数：对数符号前面的系数为1；
(3)底数：底数为大于0且不等于1的常数；
(4)对数的真数仅有自变量
作业
作业：
1.P131页练习1——3题；
2.整理课堂题型并温习.(共21张PPT)
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
复习导入
在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
活动1：请同学们选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下指数函数的特点吗？不妨以函数和为例.（学生做草图）
为了更好地研究它们的增长差异，我们利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象.
新知探索
新知探索
可以看到，函数和的图象有两个交点.
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
… … …
新知探索
在区间上，函数的图象位于的图象之上，；在区间上，函数的图象位于的图象之下，；在区间上，函数的图象位于的图象之上，这表明，虽然这两个函数在上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.
新知探索
下面在更大的范围内，观察和的增长情况.从表中可以看到，当自变量越来越大时，的图象就像与轴垂直一样，的值快速增长；而函数的增长速度依然保持不变，与函数的增长速度相比几乎微不足道.
0 1 0
2 4 4
4 16 8
6 64 12
8 256 16
10 1024 20
12 4096 24
… … …
新知探索
综上所述，虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.尽管在的一定变化范围内，会小于，但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个当时，恒有.
一般地，指数函数与一次函数的增长差异都与上述情况类似.即使的值远远大于的值，的增长速度最终都会大大超过的增长速度.
注：指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.
新知探索
活动2：请同学们选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间上的增长差异，你能描述一下对数函数的特点吗？不妨以函数和为例.（学生做草图）
为了更好地研究它们的增长差异，我们利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表，并在同一个直角坐标系中画出它们的图象.
新知探索
可以看到，虽然它们在上都单调递增，但增长速度存在明显的差异.
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
… … …
新知探索
函数的增长速度保持不变，而函数的增长速度在变化.随着的最大，函数的图象离轴越来越远，而函数的图象越来越平缓，就像与轴平行一样.
新知探索
例如而这说明，当，即时，与相比增长就很慢了.
新知探索
活动3：如果将放大1000倍，再对函数和的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？
因为函数值较大不便于手动画图，我们利用信息技术在同一个直角坐标系中画出它们的图象并研究其增长情况.
新知探索
一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同.随着的增大，一次函数保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.不论的值比的值大多少，在一定范围内，可能会大于，但由于的增长最终会慢于的增长，因此总会存在一个，当时，恒有.
新知探索
活动4：类比上述过程，
(1)画出一次函数对数函数和指数函数的图象，并比较它们的增长差异；
(2)试着概况一次函数，对数函数和指数函数的增长差异；
(3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
新知探索
练习
题型一：三类函数模型增长差异的比较
例1.下列函数中，增长速度最快的是（ ）.
答案：A.一次函数、指数函数和对数函数三类函数模型中，指数增长最快.
新知探索
变1.“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间(月)与枝数的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）.
指数函数 对数函数
幂函数 二次函数
答案：A.由图中数据可知，A选项的指数函数模型的拟合效果最好.
新知探索
题型二：函数模型的选择
例2.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？
新知探索
解：作出函数的图象，观察图象可知，在区间上，的图象都有一部分在直线的上方，只有的图象始终在和的下方，这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求.
例2.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？
练习
变2.某人对东北一种松树的生长进行了研究，搜集了其高度(米)与生长时间(年)的相关数据，选择与来拟合与的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
解：由图表可画出图象，因此用来拟合更符合.不妨将点代入中，得：
,解得
∴，当时，求得即第8年的松树高度为2米.
(年) 1 2 3 4 5 6
(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
课堂小结&作业
课堂小结：
三种函数模型的增长情况.
作业：
(1)温故本节课的三种函数模型的增长情况；
(2)课本P139的练习1--4题.
