(共20张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.1 函数的零点与方程的解
问题导入
在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.
问题导入
活动1：观察下表，求出一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，并写出函数图象与轴交点的坐标.
方程
函数
函数 图象 (简图)
方程的实数根 无实数根
图象与轴的交点 , 无交点
问题导入
Q1：方程的根与函数图象与轴交点的横坐标之间有什么关系？
Q2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应二次函数的图象与交点的关系，上述结论是否仍然成立？
活动2：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？
新知探索
对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.所以
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
注：零点不是点，是一个实数.
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)函数的零点是一个点. ( )
(2)任何函数都有零点. ( )
(3)函数的零点是 ( )
(4)若函数满足，则函数在区间上至少有一个零点. ( )
(5)函数的零点不是点，它是函数的图象与轴交点的横坐标，是方程的根. ( )
答案：×，×，×，×，√.
新知探索
由此可知，求方程的实数解，就是确定函数的零点.一般地，对于不能用公式求解的方程，我们可以把它与相应的函数联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解.
下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手.
新知探索
活动3：对于二次函数,观察它的图象，发现它在区间上有零点.这时，函数图象与轴有什么关系？在区间上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数的取值来刻画这种关系？
新知探索
活动4：再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与轴的关系，并探究用的取值来刻画这种关系的方法.
新知探索
可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴.函数在端点和的取值异号，即，函数在区间内有零点，它是方程的一个根.同样地，，函数在内有零点，它是方程的一个根.
新知探索
一般地，我们有：
函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个就是方程的解.
例析
例1.求方程的实数解的个数.
(法一)解：设函数，利用计算工具，列出函数的对应值表，并画出图象.
… …
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
例析
由表和图可知，，，则.由函数的零点存在定理可知，函数在区间内至少有一个零点.
容易证明，函数是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
… …
1 -4
2 -1.3069
3 1.0986
4 3.3863
5 5.6094
6 7.7918
7 9.9459
8 12.0794
9 14.1972
例1.求方程的实数解的个数.
例析
(法二)解：∵，∴
即当的解就是方程的解.
令.而要求的解就是要看的图象有几个交点.由图知，两函数图象有一个交点，即原方程有一个解.
练习
题型一：求函数的零点
例1.函数的零点是（ ）.
答案：因为时，
所以函数的零点是1.故选A.
变1.函数的零点有______个.
答案：因为时，或
所以或或
即函数的零点有3个.
练习
题型二：判断零点所在的区间
例2.函数的零点所在的区间是（ ）.
答案：∵ ，
，
∴在内有零点.
故选B.
练习
变2.二次函数的部分对应值如下表：
不求的值，判断方程的两根所在区间是( ).
A.和 B.和
C.和 D.和
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
6 -4 -6 -6 -4 6
解：易知的图象是一条连续不断的曲线，又，所以在内有零点，即方程在内有根，同理，方程在内有根，故选A.
练习
题型二：判断零点所在的区间
例3. 的零点个数为（ ）.
答案：当时，由得，（舍去）；
当时，由得.
所以函数的零点个数为2.故选B.
练习
变3.已知函数的零点个数为3，则_______.
解：令函数，可得，由于函数的零点个数为3，故函数的图象和直线有三个交点，如图所示.由图可知
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)函数零点的概念；
(2)函数零点存在定理.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P144的1--2题.(共16张PPT)
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
复习导入
我们已经知道，函数在区间内存在一个零点.进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定的精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取的中点2.5，用计算工具算得因为，所以零点在区间内.
再取区间的中点2.75，用计算工具算得因为，所以零点在区间内.
由于，所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小.这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值.
新知探索
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.010
0.001
新知探索
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
0.215
0.066
-0.009
0.029
0.010
0.001
例如，当精确度为时，因为，
所以区间内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似值.
新知探索
对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
注：
判断一个函数能否用二分法的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
新知探索
给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
1.确定零点初始区间，验证.
2.求区间的中点.
3.计算，并进一步确定零点所在的区间：
(1)若(此时)，则就是函数的零点；
(2)若(此时)，则令
(3)若(此时)，则令
4.判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值(或)；否则重复步骤2~4.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.（ ）
(2)函数可以用二分法求其零点.（ ）
(3)精确度就是近似值.（ ）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点________，第二次计算________，以上横线上应填的内容为（ ）.
A.， B.，
C.， D.，
答案：A.
例析
例2.借助信息技术，用二分法求方程的近似解(精确度为0.1).
解：原方程即，令，用信息技术画出函数的图象，并列出它的对应值表.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察图或表，可知，说明该函数在区间内存在零点.
例析
例2.借助信息技术，用二分法求方程的近似解(精确度为0.1).
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6 -2 3 10 21 40 75 142 273
取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以
再取区间的中点，用信息技术算得.因为，所以
同理可得，，.
由于，所以，原方程的近似解可取为1.375.
例析
由例2可见，用二分法求方程的近似解，计算量较大，而且是重复相同的步骤.因此，可以通过设计一定的计算程序，借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学，可以在此基础上用有关算法语言编写程序，利用信息技术求方程的近似解.
练习
题型一：二分法的概念
例1.下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）.
答案：用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.故选B.
练习
变1.关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是（ ）.
“二分法”求方程的近似解一定可将在区间内的所有零点得到
“二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点
应用“二分法”求方程的近似解，在区间内有可能无零点
D.“二分法”求方程的近似解也可能得到在内的精确解
答案：如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误.二分法的实施满足零点存在定理，在区间一定存在零点，∴B错误.只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误.“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确.故选D.
练习
题型二：用二分法求方程的近似解
例2.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.1) .
解：令，经计算，
∴函数在内有零点，即方程在内有解.
取的中点0.5，经计算,又
∴方程在内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表.
练习
例2.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.1) .
中点
0.5
0.75
0.625
0.6875
由于，∴0.75可作为方程的一个正实数近似解.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)二分法的概念；
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P146的1--2题.
