(共25张PPT)
5.1 任意角和弧度制
5.1.1任意角
情境导入
圆周运动是一种常见的周期性变化现象.如图，上的点以为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点的位置变化呢？
我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图中，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线，分别就是角的始边和终边.当角确定时，终边的位置就确定了.这时，射线与的交点也就确定了.由此想到，可以借助角的大小变化刻画点的位置变化.
新知探索
由初中知识可知，射线绕端点按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到范围内的角.如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.
现实生活中随处可见超出范围的角.例如，体操中有“前空翻转体度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，下图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向.
这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向.因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.
新知探索
概念生成
我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么
该图中的角是一个正角，它等于.
该图中，正角21负角正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的的角总是负角.
概念生成
这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
正角(逆时针)
负角(顺时针)
零角(没有做任何旋转)
概念生成
设是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是类似于实数的相反数是，我们引入任意角的相反角的概念.如图，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.
于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，我们有这样，角的减法可以转化为角的加法.
概念生成
辨析1：判断正误.
(1)大于90°的角都是钝角.（ ）
(2)零角的终边与始边重合.（ ）
(3)从13:00到13:10,分针转过的角度为60°.（ ）
(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大.（ ）
答案：×，√，×，×.
辨析2：将射线绕端点按逆时针方向旋转120°所得的角为( ).
A.120° B.-120° C.240° D.-240°
答案：A.
概念生成
我们通常在直角坐标系内讨论角.为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.例如，下图中的30°角、-120°角分别是第一象限角和第三象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
概念生成
象限角的集合表示：
象限角 角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
新知探索
将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.
思考1：反之，对于直角坐标系内任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？
新知探索
不难发现，在图中，如果-32°角的终边是，那么328°，-392°，…角的终边都是，并且与-32°角终边相同的这些角都可以表示成-32°的角与个周角的和，如：
设，则， 角都是的元素，角也是的元素(此时).因此，所有与角终边相同的角，连同角在内，都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角的终边相同.
概念生成
一般地，我们有:
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
设，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
概念生成
轴线角的集合：
角终边的位置 角的集合表示
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴上
在轴上
在坐标轴上
概念生成
辨析3：判断正误.
(1)第二象限角大于第一象限角.（ ）
(2)第二象限角是钝角.（ ）
(3)相等的角终边一定相同.（ ）
(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.（ ）
答案：×，×，√，√.
辨析2：与45°终边相同的角为( ).
A.-45° B.225° C.395° D.-315°
答案：D.
例析
例1.在0360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.
解：，
所以在0360°范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
例析
例2.写出终边在轴上的角的集合.
解：在0360°范围内,终边在轴上的角有两个，即90°，270°.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合，而所有与270°角终边相同的角构成集合，于是，终边在轴上的角的集合
例析
例3.写出终边在上的角的集合.中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是45°，在0360°范围内,终边在直线上的角有两个，45°，225°.因此，终边在直线上的角的集合
中适合不等式的元素有：
练习
例1.(多选)下列说法正确的是( ).
A.锐角都是第一象限角
B.第一象限角一定不是负角
C.小于180°的角是钝角、直角或锐角
D.在范围内的角不一定是钝角
题型一：任意角的概念及应用
答案：AD.锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，故A正确；-350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角也不是直角或锐角，所以C错误；由于在范围内的角包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确.
练习
变1.给出下列说法：①终边在轴非负半轴上的角是直角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③三角形的内角必是第一、二象限角；④第四象限角一定是负角；⑤.其中正确说法的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：A.-270°是终边在轴非负半轴上的角但不是直角，故①错误；相等的角始边相同则终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；三角形的内角可以是直角，它既不是第一象限角也不是第二象限角，故③错误；，故⑤错误.
练习
例2.在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)-3600°内的角.
题型二：终边相同的角的表示及应用
解：与10030°角终边相同的角的一般形式为
(1)由，得，所以.
又因为，故所求的最大负角为
(2)由-3600°，得-
又，解得对应的
练习
变2.(1)与-463°终边相同的角可以表示为( ).
A. B.
C. D.
答案：C.因为-463°所以与-463°终边相同的角可以表示为.
变2.(2)把写成的形式，并指出它是第几象限角.
答案：作除法运算，注意余数必须非负，得：-1910°所以它是第三象限的角.
练习
例3.已知如图所示的图形.
(1)分别写出终边落在位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
解：(1)终边落在位置上的角的集合为
终边落在位置上的角的集合为
(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为
题型三：区间角的表示
练习
变3.将例3该为如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
解：在00°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°，则所有满足条件的角为.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)任意角的概念；
(2)象限角与终边相同的角；
(3)象限角及轴线角的集合表示.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P171的练习1——5题(共22张PPT)
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
情境导入
度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量也可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢.
我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.
新知探索
如图，射线绕端点旋转到形成角在旋转过程中，射线上的一点(不同于点)的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角
设点所形成的圆弧的长为由初中所学知识可知于是.
新知探索
活动1：如图，在射线上任取一点(不同于点)，.在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为.与的比值是多少？你能得出什么结论？
∵，∴.
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角.
新知探索
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度.
我们把半径为1的圆叫做单位圆.如图，在单位圆中，的长等于1，就是1弧度的角.
新知探索
根据上述规定，在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角为，那么
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
新知探索
思考1：角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算.如何换算呢？
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以
反过来有，
新知探索
角度制与弧度制的换算：
新知探索
辨析1：下列转化结果中错误的是（ ）.
A.60°化成弧度是 B.-化成度是-600°
C.-150°化成弧度是 D.化成度是15°
答案：C.
辨析2：化为角度是_____.
答案：252°.
例析
例4.按照下列要求，把化成弧度：
(1)精确值；(2)精确到0.001的近似值.
解：(1)因为所以
(2)利用计算器可得：
例析
例5.将3.14 换算成角度(用度数表示，精确到0.001).
解：利用计算器可得：
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或者“”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数.例如，角就表示是2的角； 就表示 的角的正弦，即.
新知探索
填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 2
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
例析
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1)(2)(3)
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
证明：由公式可得：.下面证明(2)(3).
半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别是：
将转换为弧度制，得：，于是，.
将代入上式，即得
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
例析
扇形的弧长和面积公式：
设扇形的半径为弧长为为其圆心角，则:
弧长公式
扇形面积公式
新知探索
辨析3：判断正误：
(1)扇形的半径为1㎝，圆心角为30°，则扇形的弧长
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍.
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍.
答案：×，√，×.
辨析4：半径为4，圆心角为的扇形的弧长为_____.
答案：.
练习
例1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
(1)72°；(2)-300°；(3)2；(4).
解：(1)
(2)
(3)
(4)
题型一：角度与弧度的换算
练习
变1.把下列角度与弧度进行互化.
(1)110°；(2)-32°；(3)；(4)；(5)112°30
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)112°30
练习
例2.已知角
(1)将改写成的形式，并指出是第几象限角；
(2)在内找出与终边相同的角.
解：(1)∵
又∴角与终边相同，是第三象限的角.
(2)∵与终边相同的角为由知∴在内与终边相同的角是
题型二：用弧度制表示角有关的角
练习
变2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)，并判断2012°是不是这个集合的元素.
解：因为150°
所以终边在阴影区域内角的集合为
.
因为2012°=212°+5
又
所以2012°
练习
例3.已知扇形的周长为10，面积为，求扇形圆心角的弧度数.
解：设扇形圆心角的弧度数为，弧长为半径为，据题意有：解得，
当时，此时，舍去.
当时，此时，.
综上所述，扇形圆心角的弧度数为.
题型三：扇形的弧长与面积公式
练习
变3.已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
解：设扇形的弧长为
∵圆心角72°
∴扇形弧长
于是，扇形的面积
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)1弧度角的概念；
(2)角度制与弧度制的换算；
(3)扇形的弧长和面积公式.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P175的练习1、2 、3题&习题5.1的1、2、5、7题.
