(共28张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.1三角函数的概念
复习导入
在上节课的学习中，我们实现了角度制与弧度制间的转化.并且利用弧度制，已经将角的范围扩展到了全体实数.
正角
零角
负角
正实数
0
负实数
复习导入
下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题.不失一般性，先研究单位圆上点的运动.
活动1：如图，单位圆上的点以为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点的位置变化情况.
新知探索
根据研究函数的经验，我们利用直角坐标系来研究上述问题.
如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为.
新知探索
Q1:当时，点的坐标是什么？
Q2:当或时，点的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
Q3:一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
利用勾股定理可以发现，当时，点的坐标是；
当时，点的坐标是和它们都是唯一确定的.
新知探索
一般地，任意给定一个角它的终边与单位圆交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的.所以，点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义.
设是一个任意角，，它的终边与单位圆交点.
新知探索
1.把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即
2.把点的横坐标叫做的余弦函数，记作，即
3.把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
可以看出，当时，的终边在轴上，这是点的横坐标等于0，所以无意义.除此之外，对于确定的角，的值也是唯一确定的.所以，也是以角为自变量，以单位圆上的点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
新知探索
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为.我们发现与是相等的，且对于余弦、正切也有相同的结论.
例析
例1.求的正弦、余弦和正切值.
解：在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有：
例析
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为
,点与原点的距离为.求证：
证明：如图，设角的终边与单位圆交于交点分别过点，作轴的垂线，垂足分别为则：
，，，，
于是，，即.因为与同号，所以
即同理可得，
根据勾股定理，.由例2可知，只要知道角终边上任意一点的坐标，就可以求得角的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点的位置的改变而改变.
新知探索
学习了三角函数的定义，接下来研究它们的一些性质.
活动2：根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图中的括号.
三角函数 定义域
( + )
( + )
( + )
( + )
三角函数值在各象限内的符号，我们可以简记为：“一全正二正弦三正切四余弦.”
或“全STC”.(意思是在第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正)
( + )
+
( - )
( - )
( - )
( - )
( - )
( - )
新知探索
辨析1:判断正误.
(1)已知是三角形的内角，则必有( )
(2)若，则是第一或第二象限角.( )
(3)对于任意角，都有意义.( )
答案：√，×，×.
辨析2:若则在( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C.
例析
例3.求证：角为第三象限角的充要条件是
证明：先证充分性，即如果式都成立，那么为第三象限角.
因为式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合；
又因为式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.
因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.
必要性，即若为第三象限角，则有且成立.
新知探索
活动3：现在我们尝试从三角函数的定义出发，讨论一下什么时候三角函数取值相等？
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.
由此，我们可以得到一组公式：
公式一
其中
新知探索
公式一
其中
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求(或0°360°)角的三角函数值.
由公式一可知，三角函数值拥有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.
新知探索
辨析3:判断正误.
(1)若，则( )
(2)若，则.( )
答案：√，×.
辨析4:(1)的值是________.
(2)________.
答案：(1);(2).
例析
例4.确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：
(1)(2)；(3)；(4)
解：(1)因为是第三象限角，所以；
(2)因为是第四象限角，所以
(3)因为
而是第一象限角，所以>0.
(4)因为而的终边在轴上，
所以
例析
例5.求下列三角函数值：
(1)(精确到0.001)；(2)；(3)
解：(1)；
(2)
(3).
练习
例1.已知角的终边上有一点，且，求的值.
题型一：三角函数的定义与应用
解：∵∴
又，∴∴又
∴是第一或第二象限角.
当是第一象限角时，则.
当是第二象限角时，则.
练习
变1.已知角的终边落在直线上，求的值.
解：直线，即经过第二、四象限.
在第二象限取直线上的点,则
∴，，
在第四象限取直线上的点
∴.
练习
利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型：
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值；
(2)若已知角终边上一点为单位圆上的点，则
(3)若已知角终边上一点不是单位圆上一点，则
(4)若已知角终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论.
练习
题型二：三角函数值符号的运用
例2.已知点位于第二象限，那么角所在的象限是( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：C.
由点位于第二象限，
可得，可得.
所以角所在的象限是第三象限.
变2.(1)若三角形的两内角满足,则此三角形必为( ).
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
所以所以角为钝角，此三角形为钝角三角形.
练习
变2.(2)的符号为_______(填“正”或“负”).
答案：负.∵，，∴分别为第三、第二、第一象限角，∴∴的符号为负.
练习
有关三角函数值符号问题的解题策略：
(1)若已知角的三角函数值(,,)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的公共部分即角的终边位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.
(2)对于多个三角函数值符号的判断问题，需进行分类讨论.
(3)对于确定角是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角的终边所在的象限来判断角的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来解决.
练习
题型三：诱导公式一的应用
例3.求值：
(1)(2).
解：(1)原式
(2)原式
.
变3.求下列各式的值：
(1)(2).
解：(1)原式
(2)原式
练习
练习
利用诱导公式一进行求值化简的步骤：
定形
转化
求值
将已知的任意角写成的形式，其中
根据诱导公式，转化为角的某个三角函数值
若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)任意角的三角函数的定义；
(2)三角函数值的符号；
(3)诱导公式一.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P182的练习15题.(共20张PPT)
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
复习导入
上节课的学习中，我们得到了公式一，即终边相同的角的同一三角函数值相等.
公式一
其中
思考1：那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.
新知探索
如图，设点是角的终边与单位圆的交点.过作轴的垂线，交轴于，则是直角三角形，而且
由勾股定理有：因此，即
显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当时，有：
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探索
辨析1:判断正误.
(1)对任意角，都成立.( )
(2)对任意角，都成立.( )
(3)因为，所以成立，其中、为任意角.( )
(4)对任意角，都成立.( )
答案：√，×，×，×.
新知探索
辨析2:(1)已知,则等于( ).
A. B. C. D.
(2)已知,则
答案：(1)A;(2).
例析
例6.已知求的值.
解：因为,所以是第三象限角或第四象限角.
由得：
如果是第三象限角，那么于是，
从而
如果是第四象限角，那么于是，
从而
例析
例7.求证：.
证法1：由，知，所以
于是左边
右边.
所以，原式成立.
今后，除特殊注明外，我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
例析
例7.求证：.
证法2：因为
且，，
所以.
练习
题型一：利用同角三角函数的基本关系求值
例1.若且是第三象限角，求的值.
解：∵，是第三象限角，
∴
练习
变1.若求的值.
解：∵∴是第二、四象限角.
由 可得
当是第二象限角时，
当是第四象限角时，
练习
求同角三角函数值的一般步骤：
1.根据已知三角函数值的符号，确定角所在象限；
2.对角所在象限进行分类讨论；
3.利用两个基本关系式求出其他三角函数值；
4.根据角所在象限确定由平方关系开方后的符号，进而求出其三角函数值.
练习
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例2.(1)化简：
解：(1)∵
∴原式
例2.(2)求证：
练习
证明：(2)∵左边
右边.
∴原等式成立.
练习
变2.(1)化简：
解：(1)原式
练习
变2.(2)已知是第一象限角，证明：.
证明：(2)∵是第一象限角
∴
∴原式
.
练习
三角函数式的化简技巧：
1.化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.
2.对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
3.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造，以降低函数次数，达到化简的目的.
证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则：
1.常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等.
2.原则：由繁到简、变异为同.
练习
题型三：同角三角函数基本关系式的灵活运用
例3.已知则_______.
解：∵，①
∴
即.
∵，所以
∴②
由①②解得∴
变3.已知，求的值.
练习
解：由知，
∴
∴ 或 ，
解得 或 . ∴或.
练习
已知角的正切求关于的齐次式的方法：
1.关于的齐次式就是式子中的每一项都是关于的式子且它们的次数之和相同，设为次，将分子、分母同除以的次幂，其式子可化为关于的式子，再带入求值.
2.若无分母时，把分母看作1，并将1用来代换，将分子、分母同除以可化为关于式子，再代入求值.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)同角三角函数的基本关系式；
(2)化简求值过程中常用的处理方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P184的练习15题.
