(共21张PPT)
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
复习导入
前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系.我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质.由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性.
公式一
其中
新知探索
如图，在直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点.
活动1：作关于原点的对称点，以为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？
下面，借助单位圆的对称性进行探究.
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.
新知探索
设，.因为是点关于原点的对称点，所以，
根据三角函数的定义，得：
从而得：
公式二
新知探索
活动2：作关于轴的对称点，则以为终边的角为，此时角与角的三角函数值之间有什么关系？
此时，我们易得：，
根据三角函数的定义，得：
从而得：
公式三
新知探索
活动3：作关于轴的对称点，则以为终边的角为，此时角与角的三角函数值之间有什么关系？
此时，我们易得：，
根据三角函数的定义，得：
从而得：
公式四
新知探索
辨析1.判断正误：
(1)诱导公式三可以将任意负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.( )
(2)对于诱导公式中的角一定是锐角.( )
(3)由公式三知( )
答案：√,×，×.
辨析2.若,则等于( ).
A. B. C. D.
答案：B.
例析
例1.利用公式求下列三角函数值：
(1)；(2)(3)(4)
解：(1)
(2)
(3)
(4)
例析
例1.(1)；(2)(3)(4)
由例1，你对公式一公式四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
利用公式一公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面的步骤进行：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
锐角的三角函数
的角的三角函数
用公式
三或一
用公式
二或四
用公式一
例析
公式一
其中
公式二
公式三
公式四
数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题.数学家制作了锐角三角函数表，并通过公式一四，按上述步骤解决了问题。现在，我们可以利用计算工具求任意角的三角函数值，所以这些公式的“求值”作用已经不重要了，但它们所体现的三角函数的对称性，在解决三角函数的各种问题中却依然有重要作用.
例析
例2.化简
解：，
所以，
原式
练习
题型一：直接应用公式求值
例1.求下列三角函数值：
(1)(2);(3).
解：(1)
(2)
(3)
变1.求下列各式的值：
(1)(2);
(3).
练习
答案：(1)(2)；(3).
练习
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤：
负化正
大化小
小化锐
锐求值
用公式一或三来转化
用公式一将角化为之间的角
用公式二或四将大于90°的角化为锐角
得到锐角的三角函数后求值
练习
题型二：条件求值
例2.已知,且为第四象限角，求的值.
解：∵,且为第四象限角,
∴.
∴
练习
解：∵,且为第四象限角，
∴为第四象限角，
由
解得或(舍去).
所以
变2.已知,且为第四象限角，求的值.
练习
解决条件求值问题的两技巧：
寻找
差异
转化
解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系
可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化
练习
题型三：化简求值问题
例3.化简：
(1)(2)
解：(1)
(2)
练习
变3.化简下列各式：
(1)(2)
解：(1).
(2)
练习
三角函数式化简的常用方法：
1.合理转化：
(1)将角化成,,的形式；
(2)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数.
2.切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
3.注意“1”的应用：.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)回顾诱导公式一；
(2)利用诱导公式求值化简的常见处理方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P191的练习1——4题(共24张PPT)
5.3 诱导公式
第2课时 诱导公式五、六
复习导入
圆具有很好的对称性，从圆出发很多三角函数中的问题得以解决.利用圆的对称性，上一节课我们通过在单位圆内取点，并作出它关于原点、关于轴、轴的对称点的方式，再根据三角函数的定义，得到了三组诱导公式.
下面，我们在上节课的基础上，继续进行探究.
新知探索
活动1：作关于直线的对称点，以为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.
新知探索
设，.由于是点关于直线的对称点，可以证明
(证明过程)如图，过分别作垂线.
因为，所以
因此，
根据三角函数的定义，得：
新知探索
由前面的分析知：
从而得：公式五
新知探索
如图，以为终边的角都是与角终边相同的角，即因此，只要探究角与的三角函数值之间的关系即可.
活动2：作关于轴的对称点，又能得到什么结论呢？
设，.由于是点关于轴的对称点，可以证明
(证明过程)如图，过分别作垂线.
因为，所以
因此，
新知探索
根据三角函数的定义，得：
由公式四、五可得：
新知探索
由公式四、五可得：
从而得：公式六
新知探索
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.公式一公式六都叫做诱导公式.
新知探索
辨析1.判断正误：
(1)诱导公式五、六中的角只能是锐角.( )
(2)( )
(3)( )
答案：×，×，√.
辨析2.(多选)下列与的值相等的是( ).
A. B. C. D.
答案：CD.
例析
例3.证明：
(1)；
(2).
证明：(1)
(2).
例析
例4.化简
解：原式
=
例析
例5.已知且求的值.
解：因为+所以由诱导公式五，得：
因为，所以.
由得：
所以
所以.
练习
题型一：利用诱导公式化简求值
例1.若那么的值为（ ）.
A. B.- C. D.
解：∵
∴
故选A.
练习
变1.已知则等于（ ）.
A. B.- C. D.
解：
故选B.
练习
1.求值问题中角的转化方法：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0的角的三角函数
锐角的三角函数
公式
一或三
公式
一
公式二或
五或六
2.用诱导公式进行化简的要求：
三角函数的化简是表达式经过某种变形使结果尽可能的简单：
(1)化简后项数尽可能的少.
(2)函数的种类尽可能的少.
(3)分母不含三角函数的符号.
(4)能求值的一定要求值.
(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
练习
题型二：利用诱导公式证明恒等式
例2.已知求证：
证明：由，得
则原式左边
右边.
所以原等式成立.
变2.求证：
练习
证明：左边
右边.
所以原等式成立.
练习
证明等式的常见方法：
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简.
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子.
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消失差异.
练习
题型三：诱导公式的综合应用
例3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为
(1)求的值；
解：(1)∵的终边与单位圆交于点B，B点的纵坐标为，∴
∵∴
∴
练习
例3.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A，B两点，A，B两点的纵坐标分别为
(2)求的值.
解：(2)∵的终边与单位圆交于点A，A点的纵坐标为，∴
∵∴
故
练习
变3.已知是方程的根，是第三象限角，
求的值.
解：方程的两根为，
∵∴
又是第三象限角，
∴
∴
练习
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)回顾诱导公式二；
(2)诱导公式五、六及其推导.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P194的练习2——3题
