(共21张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.2 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
(第1课时)
复习导入
上节课的学习中，我们学了正弦、余弦函数的图象.其中有五个点在函数图象中起着关键作用，请同学们回顾一下在正余弦函数中的“五点”.
与轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
正弦函数的五个关键点：
与轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
余弦函数的五个关键点：
新知探索
思考1：类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大值(小)值等.另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的.
新知探索
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自变量的值加上的整数倍时所对应的函数值，与所对应的函数值相等.数学上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
概念生成
一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期.
注：(1)周期函数的周期不止一个.例如以及等.都是正弦函数的周期.事实上，由，我们可知：常数都是它的周期.
(2)若函数的周期是，则也是的周期.
概念生成
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
根据上述的定义，我们有：
正弦函数是周期函数，都是它的的周期，最小正周期是.
思考2：类比于正弦函数，试探究余弦函数的周期性.
类似的，由，可知，余弦函数也是周期函数.
以及等都是余弦函数的周期.即常数都是它的周期，最小正周期是.
概念生成
注：(3)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量要加上的那个最小正数，这个正数是对而言的，如的最小正周期是因为，即是使函数值重复出现的自变量加上的最小正数，是针对而言的，而非
(4)并不是所有的周期函数都有最小正周期，例如，常数函数，任意一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.
概念生成
辨析1：判断正误.
(1)若，则是函数的一个周期.（ ）
(2)所有的周期函数都有最小正周期.（ ）
(3)函数是奇函数.（ ）
答案：×，×，×.
辨析2：函数是( ).
A.周期为的奇函数 B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
答案：A.
例析
例2.求下列函数的周期：
(1) (2) (3)
解：(1)有
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
(2)令由得，且的周期为，即
，于是，
所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
例析
例2.求下列函数的周期：
(1) (2) (3)
解：(3)令由得，且的周期为，即
，于是，
所以
由周期函数的定义可知，原函数的周期为.
新知探索
思考2：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？
函数的周期与的系数有关.
仿照上述分析过程可得:
函数(其中为常数，且)的最小正周期为：．
新知探索
观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称.这个事实，也可由诱导公式得到，所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
练习
题型一：三角函数的周期
例1.求下列函数的周期.
(1);(2).
解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期
(2)∵∴函数,
∴函数的最小正周期
练习
变1.求下列函数的周期.
(1),;(2).
解：(1)∵,即,∴函数的最小正周期
(2)∵∴函数,
∴函数的最小正周期
练习
题型二：正、余弦函数的奇偶性
例2.判断下列函数的奇偶性：
(1);(2)
解：(1)定义域为，关于原点对称.
∵
∴函数是奇函数.
(2)据题意，定义域为实数R.
∵
∴函数是偶函数.
练习
例2.判断下列函数的奇偶性：
(3)
解：(3)∵即
∴定义域为，定义域不关于原点对称
∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
练习
变2.判断下列函数的奇偶性：
(1);(2)
(3)
解：(1)据题意，定义域为实数R，关于原点对称.
∵
∴函数是偶函数.
(2)据题意，定义域为实数R，关于原点对称.
∵
∴函数是奇函数.
练习
变2.判断下列函数的奇偶性：
(3)
解：(3)据题意，有即
所以定义域为，关于原点对称.
∵
,
∴函数是奇函数.
练习
题型三：三角函数的奇偶性与周期的综合应用
例3.下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）.
A. B.
C. D.
答案：D.
解：是偶函数，是偶函数，是偶函数，是奇函数，且由周期公式可知其最小正周期为.
练习
变3.定义在上的函数既是偶函数，又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则等于（ ）.
A. B. C. D.
答案：D.
解：
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正、余弦函数的周期性；
(2)正、余弦函数的奇偶性.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P203的练习14题.(共19张PPT)
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
复习导入
前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论.
我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式来表示.这说明，自变量每增加(减少)，正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
新知探索
下面先研究函数的图象，从画函数的图象开始.
思考1：在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点
新知探索
如图，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为.在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标.由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点.
新知探索
若把轴上从到这一段分成等份，使的值分别为
它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
新知探索
事实上，利用信息技术，可使在区间上取到足够多的值而画出足够多的点将这些点用光滑的曲线连接起来，可得的比较精确的函数的图象.
新知探索
思考2：根据函数，的图象，你能想象函数的图象吗？
由诱导公式一可知，函数，且的图象与，的图象形状完全一致.因此将函数，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数，的图象.
新知探索
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
新知探索
思考3：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
观察函数，的图象上，以下五个点：
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的.
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.
新知探索
思考4：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数？
对于函数，由诱导公式得，而函数的图象可以通过正弦函数，的图象向左平移个单位长度而得到.所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示：
新知探索
余弦函数，的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.
新知探索
类似于“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表中，然后画出，的简图.
0 2
1 0 -1 0 1
例析
例1.画出下列函数的简图：
(1)
解：(1)按五个关键点列表：
0 2
0 1 0 -1 0
1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
例析
解：(2)按五个关键点列表：
0 2
1 0 -1 0 1
-1 0 1 0 -1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
例1.画出下列函数的简图：
(2)
练习
题型一：用“五点法”画正弦、余弦函数的简图
例1.用“五点法”作出函数的简图.
0 2
0 1 0 -1 0
-1 0 -1 -2 -1
解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
练习
变1.用“五点法”作出函数的简图.
0 2
1 0 -1 0 1
3 2 1 2 3
解：按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
练习
题型二：正弦、余弦函数图象的应用
例2.求函数的定义域.
解：由得，画出的图象和直线，如图：
可知的解集为
练习
变2.求函数的定义域.
解：由得，画出的图象和直线，如图：
可知的解集为
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正、余弦函数的简图；
(2)五点法作图的“五个关键点”.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P200的练习13题.(共28张PPT)
5.4 三角函数的图象和性质
5.4.3 正切函数的性质与图象
问题导入
思考1：根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为如何研究正切函数的图象与性质？
思考2：你能用不同的方法研究正切函数吗？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.
新知探索
思考1：类比研究正弦函数、余弦函数的周期性，试研究正切函数的周期性？
由诱导公式且可知，正切函数是周期函数，周期是
思考2：类比研究正弦函数、余弦函数的奇偶性，试研究正切函数的奇偶性？
由诱导公式且可知，正切函数是奇函数
新知探索
思考3：你认为研究正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？
可以先考察函数的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展
思考4：如何画出函数的图象？
新知探索
如图，设在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点作轴的垂线，垂足为；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则
由此可见，当时，线段的长度就是相应角的正切值.
我们可以利用线段画出函数的图象，如图所示.
新知探索
观察下图可知，当时，随着的增大，线段的长度也在增大，而且当趋向于时，的长度趋向于无穷大.相应地，函数的图象从左到右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线
思考5：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？
新知探索
根据正切函数是奇函数，只要画的图象关于原点的对称图形，就可得到的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数的图象向左、右平移，每次平移个单位长度，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切函数.
新知探索
从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.
观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增.
由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间上单调递增.
新知探索
当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
因此，正切函数的值域是实数集R.
新知探索
函数的图象和性质
解析式
图象
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间上都单调递增
对称中心
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)正切函数的值域是R. （ ）
(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心. （ ）
(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 （ ）
(4)正切函数在定义域上单调递增. （ ）
答案：√，√，×，×.
例析
例6.求函数的定义域、周期及单调区间.
解：自变量的取值应满足即
所以，函数的定义域是.
设，又所以
即.
因为都有，
所以，函数的周期为2.
例析
例6.求函数的定义域、周期及单调区间.
解：由解得
因此，函数在区间上单调递增.
练习
题型一：正切函数的定义域、值域问题
例1.求下列函数的定义域和值域：
(1)
(2) .
解：(1)依题意得所以.
所以函数的定义域是
由正切函数的值域可知该函数的值域是
练习
例1.求下列函数的定义域和值域：
(1)
(2) .
解：(2)依题意得所以.
结合的图象可知，在区间上，
满足的角应满足
所以函数的定义域为其值域为
练习
变1.函数在上的最大值与最小值的差为( ).
A. B. C. D.
答案：A.
解：∵，∴
又在上为单调递增函数
∴当时，取得最小值，
当时，取得最大值，.
∴最大值与最小值的差为：
练习
方法技巧：
1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数有意义，即.
(2)求正切函数)的定义域时，要使“”视为一个“整体”.令解得.
练习
2.解形如的不等式的步骤
作图象
求界点
求范围
写出解集
作点上的正切函数图象
求在上使成立的值
求在上使成立的的范围
据正切函数的周期性，写出定义域
练习
题型二：与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题
例2.(1)若的周期为1，则的值为( ).
A. B. C. D.
答案：D.
解：∵的周期为
∴即
则
练习
解：①∵
其定义域为关于原点对称，
有
∴是偶函数.
②∵
其定义域为关于原点对称，
有
∴是奇函数.
例2.(2)判断下列函数的奇偶性：
①；② .
练习
变2.(1)(多选)已知函数，则下列结论正确的是( ).
A.是的一个周期
B.
C.的值域为R
D.的图象关于点对称
答案：ACD.
解：∵的最小正周期为，∴是的一个周期，故A正确.
∵∴B错误.
易知的值域为R，∴C正确.
的图象关于点对称，∴D正确.
练习
(2)，若，则的值为( ).
A.0 B.3 C.1 D.2
答案：A.
解：∵，
∴当时，有，
∴
则
练习
方法技巧：
1.函数周期的求解方法
(1)定义法.
(2)公式法：对于函数，它的最小正周期.
(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看与的关系.
提醒：的对称中心坐标为
练习
题型三：正切函数的单调性及应用
例3.求函数的单调递减区间.
解：∵
∴的单调递减区间是的单调递增区间.
由得：
，
所以函数的单调递减区间是
练习
变3.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小.
(1)与；(2)与.
解：(1)∵
，
且在上是增函数，
∴即.
(2)，
∵在上单调递增，
∴即.
练习
方法技巧：
1.求函数,且都是常数)的单调区间的方法
(1)若，由于在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令，解得的范围即可.
(2)若，可利用诱导公式先把转化为，即把的系数转化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得的范围即可.
练习
方法技巧：
2.运用正切函数单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.
注：只有增区间；只有减区间.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)正切函数的图象；
(2)正切函数的性质.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P213的练习15题；
(3)课本P213的习题5.4的4、6、7、8、9.
