(共27张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
复习导入
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
新知探索&例析
例7.试以表示
(提示：与有什么关系？)
解：是的二倍角.在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴①
在倍角公式中，
以代替，以代替，得：
∴②
∴将①②两个等式的左右两边分别相除，得：
新知探索&例析
例7的结果还可以表示为：
并称之为半角公式，符号由所在象限决定.
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式.这是三角恒等变换的一个重要特点.
新知探索&例析
例8.求证：
(1)
(2)
证明：(1)因为
将以上两式的左右两边分别相加，得：
即
思考1：这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？
新知探索&例析
例8.求证：
(1)
(2)
证明(证法一)：(2)由(1)可得
①
设那么
把的值代入①，即得
.
思考2：如果不用(1)的结果，如何证明？
新知探索&例析
例8.求证：
(2)
证法二：∵
∴
新知探索&例析
例8.求证：
(1) 积化和差
(2) 和差化积
例8的证明用到了换元的方法.如把看作看作从而把包含的三角函数式转化成的三角函数式.或者，把看作看作把等式看作的方程，则原问题转化为解方程(组)求它们都体现了化归思想.
新知探索&例析
辨析1：判断正误.
(1)存在，使得 ( )
(2)对于任意，都不成立. ( )
(3)若是第一象限角，则 ( )
答案：√，×，√.
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(1)
因此，所求周期为最大值为，最小值为.
思考3：你能说一说这一步变形的理由吗？
辅助角公式：
其中，所在象限由和的符号确定.
新知探索&例析
例9.求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1)(2)
解：(2)设则
于是
于是所以
取则
由可知，所求周期为最大值为，最小值为.
新知探索&例析
例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：在中，
在中，
所以
设矩形的面积为，则
新知探索&例析
例10.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.即求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
解：
由得
所以当即时，
因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为
由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把转化为的形式，这个过程蕴含了化归思想.
练习
例1.(1)已知且求的值；
解：∵且，∴
又，
∴
题型一：化简、求值问题
练习
例1.(2)化简：(0).
解：原式
∵0，∴
∴
∴原式
练习
例2.(1)求证：；
(2)
证：(1)左边右边.
(2)左边
右边.
题型二：三角恒等式的证明
练习
变2.求证：
证:左边
右边.
练习
方法技巧：
三角恒等式证明的5种常用方法
执果索因法 证明的形式一般化繁为简
左右归一法 证明左右两边都等于同一个式子
拼凑法 针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异为同
比较法 设法证明“左边—右边=0”或“左边/右边=1”
分析法 从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立
练习
例3.已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调递减区间；
解：(1)∵
，
∴函数的最小正周期为
又函数的单调减区间为
令
解得
∴的单调递减区间为
题型三：三角恒等变换的综合应用
练习
例3.已知函数.
(2)若且，求的值.
解：(2)若则：
即
再由，可得：
∴，解得.
练习
变3.已知函数.
(1)求的最小正周期和对称中心；
解：(1)∵
∴的最小正周期为
由可得
∴的对称中心为
练习
变3.已知函数.
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求函数的最大值及取得最大值时的值.
解：(2)又函数的单调减区间为
令
解得
∴的单调递减区间为
(3)当时，
∴当即时，函数有最大值，最大值为.
练习
方法技巧：
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
运用和、差、倍角公式化简
统一化成的形式
利用辅助角公式化为的形式，研究其性质
练习
例4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的周长最大？
解：设的周长为则：
∴
∵∴
∴的最大值为此时，即.
∴当时，的周长最大.
题型四：三角函数的实际应用
练习
变4.如图所示，要把半径为的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使的面积最大？
解：设由题意可得，
则：
设矩形的面积为，
∵，∴
因此当即时，
∴当时，的面积最大.
练习
方法技巧：
应用三角函数解决实际问题的方法及注意点
方法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解
注意点 ①充分借助平面几何性质，寻找数量关系
②注意实际问题中变量的范围
③重视三角函数有界性的影响
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆倍角公式及其变形；
(2)理解并记忆辅助角公式；
(3)了解和差化积、积化和差公式的证明.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P228的练习12题；
(3)课本习题5.5P228——229的1题.(共18张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(第2课时)
复习导入
以公式为基础，我们已经得到六个和(差)角公式，下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.
新知探索
思考1：试利用公式，，推导出的公式？
；
；
新知探索
思考2：如果要求二倍角的余弦公式仅含的正弦(余弦)，那么又可得到：
证明：因为，
所以
以上这些公式都叫做倍角公式.倍角公式给出了的三角函数与的三角函数之间的关系.
例析
例5.已知，求的值.
解：由，得
又所以
于是
例析
例6.在中，求的值.
解法1：在中，由得
所以
又，所以
于是.
例析
例6.在中，求的值.
解法2：在中，由得
所以
又，所以
所以
练习
例1.化简求值：
(1)(2)
解：(1)原式
(2)原式
题型一：给角求值
练习
例1.化简求值：
(3)(4)
解：(3)原式
(4)原式
题型一：给角求值
练习
变1.化简求值：
(1)(2)(3)；(4)
解：(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
练习
方法技巧：
对于给角求值问题的两种类型及解题策略
(1)直接正用、运用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数值相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
练习
例2.已知则
答案：
解：由于
∴
整理得：
∴则
题型二：条件求值
练习
变2.已知求的值.
解：∵
∴
又
∴
练习
方法技巧：
解决条件求值问题的方法
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明确化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.
(2)当遇到这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通，巧妙地建立等量关系，从而求值.
类似的变换还有：
等.
练习
例3.(1)化简：
(2)求证：
解：(1)原式
(2)证明：左边
右边.
∴
题型三：利用倍角公式解化简与证明问题
练习
变3.求证：
(1)；
(2)
证明：(1)左边
右边，
∴等式成立.
(2)原式
练习
方法技巧：
证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两边的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低、复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明恒等式的一般步骤：
①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆两倍角公式及其变形；
(2)了解两倍角公式的推导过程.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P223的练习15题.(共27张PPT)
5.5 三角恒等变换
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(第1课时)
复习导入
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角的和(或差)的三角函数与任意角，那么任意角与的和(或差)的三角函数与的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题.
新知探索
思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系.
不妨令
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点
新知探索
思考1：如果已知任意角的正弦、余弦，能由此推出的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究与角的正弦、余弦之间的关系.
不妨令
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点以轴非负半轴为始边作角，，它们的终边分别与单位圆相交于点
终边
终边
终边
新知探索
连接.若把扇形绕着点旋转角，则点分别与点重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而，所以
注：
根据两点间的距离公式，得：
化简得：.
新知探索
当时，容易证明上式仍然成立.
所以，对于任意角有
此公式给出了任意角的正弦、余弦与其差角的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为.
例析
例1.利用公式证明.
(1); (2).
证明：(1)
(2)
例析
例2.已知是第三象限角，求的值.
解：由，，得：
又由，是第三象限角，得：
所以.
新知探索
思考2：由公式出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
下面以公式为基础来推导其他公式.
例如，比较与，并注意到与之间的联系：
=，则由公式，有
.
于是得到了两角和的余弦公式，简记作.
新知探索
思考3：上面得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化.你能根据及诱导公式五(或六)，推导出用任意角的正弦、余弦表示的公式吗？
于是得到了两角和的正弦公式，简记作.
新知探索
于是得到了两角和的正弦公式，简记作.
思考4：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？
新知探索
因为，所以有：
(同除以“”)
.
于是得到了两角和的正切公式，简记作.
新知探索
因为，所以有：
(同除以“”)
.
于是得到了两角和的正切公式，简记作.
新知探索
公式，，给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式.
类似地，，，都叫做差角公式.
新知探索
辨析1：判断正误.
(1)对于任意实数，都不成立. ( )
(2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角是任意的. ( )
(3)对任意都成立. ( )
答案：×，√，×.
辨析2：
(1)若则
(2)设角的终边过点，则
答案：(1)；(2).
例析
例3.已知是第四象限角，求的值.
解：由，是第四象限角，
得：
所以
于是有
例析
例3.已知是第四象限角，求的值.
解：
思考5：由以上解答可以看到，在本题条件下有那么对于任意角，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？
若(即角互余)，则
证明：因为，所以
例析
例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(1)
(2)
解：(1)由公式，得：
(2)由公式，得：
例析
例4.利用和(差)角公式计算下列各式的值：
(3)
解：(3)由公式及得：
练习
例1.求下列各式的值：
(1)(2)
解：(1)原式
(2)∵
∴
题型一：给角求值
练习
例1.求下列各式的值：
(3)
(4)
解：(3)∵
∴原式
(4)∵
∴
∴原式
练习
变1.(1)的值是( ).
A.0 B. C. D.
答案：C.
解：∵∴原式
变1.(2)若是第二象限角且，则
答案：
解：∵是第二象限角且，∴
∴.
练习
例2.已知且则
答案：
解：∵且∴
∴可得：又，
可得：
∴
题型二：给值(式)求值问题
练习
变2.已知是锐角，且求的值.
解：∵是锐角，∴
又∵是锐角，∴∴
∴
∴
练习
例3.已知是锐角，且求的值.
解：∵是锐角，且
∴
∴
∵∴
又∴，则
∴
题型三：给值(式)求角问题
练习
变3.已知且求.
解：∵∴
∵
∴
∴
，即
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)理解记忆两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
(2)了解两角和与差的正弦、余弦和正切公式的推导过程.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P217的练习15题；
(3)课本P220的练习15题.
