甘肃省临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试数学文科试题（Word版含解析）

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临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试
数学文科
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 班级 考场号 座位号 考生号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知施肥量与玉米产量之间的回归方程为，则当施肥量时，对玉米产量的估计值为（ ）
A. B.545 C. D.
4.若为第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
5·若圆心为的圆的方程为，圆心为的圆的方程为，则两圆的圆心距等于（ ）
A.2 B. C.3 D.
6.函数的最小正周期为，则（ ）
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，则判断框内可填人的条件是（ ）
A. B.？ C.？ D.？
8.已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.设为定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的最大值是（ ）
A. B.2 C. D.3
11.如图，长方体中，，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
12.已知为各项都大于零的等比数列，公比，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.与的大小关系不能由已知条件确定
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等差数列的前项和为.若，则等于__________.
14.设为正数，且，则的最小值是__________.
15.在平面直角坐标系中，已知向量，且满足，则__________（写出满足条件的一种表示即可）.
16.在四面体中，平面，则四面体外接球的表面积为__________.
三 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）已知等差数列.请你在①，②中选择一个求解：
①若；②若，前3项和.
注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本题满分12分）已知函数.
（1）判断的奇偶性并予以证明；
（2）求使的的解集.
19.（本题满分12分）如图，直三棱柱中，是侧棱的中点，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
20.（本题满分12分）已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且.
（1）求角；
（2）求边长的最小值.
21.（本题满分12分）京兰高铁线路全长约1700公里，是沟通华北 西北的最快捷高速铁路.现甘肃省交通部门随机抽取了某日出行人群中的200名旅客，对其出行乘坐意愿进行调查统计，得到如下统计图.
（1）请根据统计图估计抽取200名旅客的平均年龄；
（2）为提升服务质量，交通部门从这200名旅客中按年龄采用分层抽样的方法选取6人参加座谈会，再从选出的6人中抽2人作为主题发言人，求抽到的2人中恰有1人为40岁及以上的概率.
22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.
（1）求和的普通方程；
（2）设点和交于两点，求.
临夏回族自治州2021-2022学年高二下学期期末考试
数学文科全解全析
1.【命题说明】本题依托集合的概念，考查了集合的交集运算，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
B 由，得.
2.【命题说明】本题依托直线方程的一般式，考查了直线的斜率与倾斜角，强调综合运用所学基础知识的能力.
【学科素养】本题重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
C 因为直线，所以直线斜率为，所以倾斜角为.
3.【命题说明】本题依托回归方程，突出考查了函数值的求解，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
C 具有线性相关关系的两个变量可以通过回归方程进行预测，本题中当时，.
4.【命题说明】本题依托三角函数的变换公式，突出考查了倍角公式的应用.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
D 因为，所以，所以.
5.【命题说明】本题考查圆的方程，强调运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量适当，重点考查了数学运算和直观想象的核心素养.
【解题提示】化为圆的标准方程，得到两圆圆心坐标，再由两点间距离公式可求.
B 圆心为的圆的标准方程为，圆心为的圆的标准方程为，所以两圆圆心分别为，所以圆心距.
6.【命题说明】本题依托三角函数的基本性质，考查了三角函数求值，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
A 依题意，函数的最小正周期为，则，得，
得.
7.【命题说明】本题依托程序框图，考查了数列求和，设计灵活，强调运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量不大，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
B 由满足条件，则，满足条件；，满足条件；，不满足条件，输出，所以可填？.
8.【命题说明】本题依托不等式的基本性质，考查了不等式性质的应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解题提示】由，可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可.
A 方法一：因为，所以，所以，所以，所以正确，B，C错误.因为，所以，所以错误.
方法二：因为，设，所以，所以，所以正确，B，C，D错误.
9.【命题说明】本题依托函数的基本性质，突出考查了函数的奇偶性应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.
【解题提示】结合奇函数的定义可得，代入已知函数解析式即可.
D 因为为定义在上的奇函数，所以，由，得，即.
10.【命题说明】本题依托不等式表示的平面区域，考查了目标函数的最值，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算 联想与推理，重点考查了数学运算 直观想象和逻辑推理的核心素养.
D 画出可行域如图所示：
，由几何意义知，过时取最大值，.
11.【命题说明】本题依托长方体，突出考查了异面直线所成角的概念，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算 联想与推理，考查了数学运算 直观想象和逻辑推理的核心素养.
【解题提示】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.
C 连接，
因为，所以四边形为平行四边形，所以，所以异面直线与所成角即为与所成角，设，由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以异面直线与所成角的余弦值为.
12.【命题说明】本题依托等比数列基本性质，突出考查了数列通项公式的应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解题提示】作差化简得，根据讨论差的正负即可得解.
A .
因为，所以若，则，所以，
所以；若，则，所以，
所以.综上所述，恒有.
13.【命题说明】本题依托等差数列的性质，考查了等差数列前项和的应用.
【学科素养】本题重在运算技巧与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得.
答案：42
14.【命题说明】本题依托基本不等式性质，考查了基本不等式应用.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】因为为正数，所以，当且仅当时取等号.
答案：
15.【命题说明】本题依托平面向量的基本运算，突出考查了平面向量数量积应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算，重点考查了数学运算的核心素养.
【解题提示】根据得到向量满足的条件即可写出.
【解析】已知，由，所以有，取，得.（答案不唯一）
答案：（答案不唯一，满足即可）
16.【命题说明】本题依托四面体性质，突出考查了四面体的线面关系及其外接球的表面积，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算 联想与推理，重点考查了数学运算 直观想象和逻辑推理的核心素养.
【解析】如图所示，平面，由勾股定理得，，
又，得，
则.设外接球半径为，则，
故外接球的表面积为.
答案：
【名师指点】本题考查四面体的外接球问题.解答时，利用几何条件找出球心的位置是关键，然后通过计算得到半径，从而得出表面积.
17.【命题说明】本题依托数列的性质，考查了等差数列的概念和通项公式以及公式法求数列的和，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解题提示】（1）由等差数列的性质可得.
（2）由（1）可得，求出.
【解析】（1）选择①，因为等差数列满足，设公差为，
则解得
所以；
选择②，因为等差数列满足，则，
即，得，
所以；
（2）由（1）可得，
所以
.
18.【命题说明】本题依托对数函数的基本性质，考查了函数的奇偶性 单调性应用，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）函数是奇函数，.
证明如下：
由，解得，
所以函数的定义域为，.
因为，
又函数的定义域为，关于原点对称，
所以是奇函数.
（2）不等式等价于，
等价于，解得.
所以不等式的解集为.
19.【命题说明】本题依托三棱柱，考查了棱柱中的线面位置关系及棱锥的体积，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算 联想与推理，重点考查了数学运算 直观想象和逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱，
所以平面，又因为平面，
所以，又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
（2）因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
由（1）知为三棱锥的高，
，
，
所以..
20.【命题说明】本题依托三角形边角关系，考查了正弦 余弦定理及三角形面积公式的应用，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，所以.
（2）由，得，
又由余弦定理可知，，当且仅当时等号成立，即，
所以，即边长的最小值为6.
21.【命题说明】本题依托数据问题，考查了概率应用及古典概型概率求解，试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题运算量不大，重在联想与推理，重点考查了数学抽象 数学运算和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）由区间中值代替每组的平均年龄，直接代入加权平均数公式即可求解；
（2）首先根据分层抽样得到每个年龄段抽样的人数，再根据古典概型可得所求概率.
【解析】（1）由已知人；人；[40，48），40人；[48，56），35人；[56，64]，25人，所以平均年龄（岁），
即抽取的200名旅客的平均年龄为岁..
（2）采用分层抽样的方法，则从“40岁以下”的人中抽取3人，分别记为，
从“40岁及以上”的人中抽取3人，分别记为，
则基本事件为，，共15个，
符合条件的有，共9种，
故抽到的2人中恰有1人为40岁及以上的概率为..
22.【命题说明】本题依托曲线的参数方程和极坐标方程，考查了参数方程和极坐标方程的应用，强调综合运用所学知识来解决问题的能力.
【学科素养】本题重在运算与推理，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养.
【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程公式得到普通方程.
（2）判断点在直线上，建立直线参数方程，代入圆的方程，利用根与系数的关系得到答案.
【解析】（1）由消去参数得，即为的普通方程..
由，得
将，代入（*），化简得即为直线的普通方程；.
（2）由（1）知，点在直线上，可设直线的参数方程为
即（为参数），代入并化简，得
设两点对应的参数分别为，则，
所以.