江苏省连云港市赣榆县海头高级中学2012-2013学年高二（下）期中数学试卷（文科）(含解析)

2012-2013学年江苏省连云港市赣榆县海头高级中学高二（下）期中
数学试卷（文科）
　
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共计70分.）
1．（5分）若集合A={x|x+2＞0}，B={x|x＜1}，则A∩B=　{x|﹣2＜x＜1}　．
考点：
交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
求解不等式化简集合A，然后直接利用交集运算求解．
解答：
解：∵A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x＜1}，
∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}．
故答案为{x|﹣2＜x＜1}．
点评：
本题考查了不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．
　
2．（5分）（2010?安徽）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是　对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0　．
考点：
命题的否定．
分析：
根据命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“=“改为“≠”即可得答案．
解答：
解：∵命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题
∴命题的否定为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．
故答案为：对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0．
点评：
这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
　
3．（5分）函数的定义域为　{x|x≥1或x=0}　．
考点：
函数的定义域及其求法．
专题：
计算题．
分析：
要求函数的定义域，由题可知，这是一个无理函数，根号里边的数必须为非负数才能有意义得到两个不等式求出解集即可．
解答：
解：据题可知：x（x﹣1）≥0①且x≥0②
由①得x≥1或x≤0
则x≥1或x=0
故答案为{x|x≥1或x=0}
点评：
考查学生对定义域的理解及其求法．
　
4．（5分）复数的模为，则实数a的值是　　．
考点：
复数求模；复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
根据复数模的运算性质，应有||=，再利用模的计算公式得出关于a的方程，并解即可求出a的值．
解答：
解：||===，化简得2+4a2=2（a2+4），a2=3，a=
故答案为：．
点评：
本题考查复数模的计算，根据复数模的运算性质进行转化，比将复数化成代数形式求再模会减少计算量．
　
5．（5分）设函数f（x）是定义在[a，b]上的奇函数，则f（a+b）=　0　．
考点：
函数奇偶性的性质．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数奇偶性的定义和性质进行求值．
解答：
解：因为函数f（x）是定义在[a，b]上的奇函数，所以定义域关于原点对称，
所以a+b=0，且f（0）=0．
所以f（a+b）=f（0）=0．
故答案为：0．
点评：
本题主要考查奇函数的定义和性质的应用．若函数具备奇偶性，则定义域必须关于原点对称．
　
6．（5分）已知幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），则k+α=　　．
考点：
幂函数的图像．
专题：
计算题．
分析：
根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=k?xα的图象过点（，），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．
解答：
解：由幂函数的定义得k=1，
再将点（，）代入得=（）α，
从而α=，故k+α=．
故答案为：
点评：
本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象，其中利用幂函数的定义，得到k=1是解答本题的关键．
　
7．（5分）设=　5　．
考点：
函数的值．
专题：
计算题．
分析：
由题中问题，求的是十个数的函数值的和，这十个数恰好可以分为五组，每组两个数的和都是1，故可先探究两数和为1时，函数值的和的取值规律，再利用此规律求此十个数的函数值的和
解答：
解：令α+β=1，则α=1﹣β
f（α）+f（β）=+=+=+=1
即两自变量的和为1时，函数值的和也是1
∴=5
故答案为5
点评：
本题是一个指数函数综合题，熟练掌握指数的运算性质是解题的关键，求解本题的难点是观察出按自变量的和为1，可以分为五组，这为探究规律指明了方向，一般运算时所做的重复运算较多时，就应该有探究规律的意识，这也是数学素养
　
8．（5分），则m=　10　．
考点：
指数式与对数式的互化．
专题：
计算题．
分析：
先将指数式2a=5b=m，化成对数式a=log2m，b=log5m，再利用换底公式及对数运算法则计算求解．
解答：
解：由已知，a=log2m，b=log5m．
∴+=logm2+logm5=logm10=1
∴m=10
故答案为：10．
点评：
本题考查了指数式与对数式的互化，换底公式及对数运算法则．
　
9．（5分）（2010?淄博二模）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集是　（﹣1，0）∪（0，1）　．
考点：
其他不等式的解法．
专题：
计算题；作图题；数形结合．
分析：
由函数f（x）是奇函数，将原等式转化为f（x）x＜0，反映在图象上，即自变量与函数值异号，然后根据条件作出一函数图象，由数形结合法求解．
解答：
解：∵函数f（x）是奇函数
∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴不等式可转化为：
f（x）x＜0
根据条件可作一函数图象：
∴不等式的解集是（﹣1，0）∪（0，1）
故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）
点评：
本题主要考查函数的奇偶性转化不等式及数形结合法解不等式问题．
　
10．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0则f（0），，f（3）的大小关系是（要求用“＜”连接）　f（3）＜f（0）＜f（）　．
考点：
利用导数研究函数的单调性．
分析：
先求其对称轴，再判断函数的单调性，进而可解．
解答：
解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，
根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0，此时f（x）为增函数，
x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0＜0，f（x）为减函数，
所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，
故选B．
点评：
本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．属基础题．
　
11．（5分）（2012?甘谷县模拟）若正实数a，b，c满足：3a﹣2b+c=0，则的最大值为　　．
考点：
基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
根据题意，由3a﹣2b+c=0可得3a+c=2b，将其代入，消去b可得t=，结合基本不等式的性质可得3+的最小值，由分式的性质可得的最大值，即可得答案．
解答：
解：根据题意，设t=，
由3a﹣2b+c=0可得3a+c=2b，
则t====；
又由3+≥2，
则t≤=，即的最大值为；
故答案为．
点评：
本题考查基本不等式的运用，关键将3a﹣2b+c=0变形为3a+c=2b，进而运用换元法对分析．
　
12．（5分）设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3，则有d1+d2+d3为定值a；由以上平面图形的特性类比到空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内任意一点，且P到平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD的距离分别为h1、h2、h3、h4，则有h1+h2+h3+h4为定值　a　．
考点：
类比推理；点、线、面间的距离计算．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
通过类比，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．判断求解h1+h2+h3+h4的定值．
解答：
解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值a；
证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S△APB=a?PE，S△CPB=a?PE，S△APC=a?PG，
于是S△APB+S△CPB+S△APC=a?PE+a?PF+a?PG，
即 a?PE+a?PF+a?PG=S，
PE+PF+PG=，为定值．
即d1+d2+d3=，为定值．
由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：
有d1+d2+d3+d4为定值a．
故答案为：a．
点评：
本题考查类比推理，升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结论不一定是正确的．
　
13．（5分）若方程=x+m有两个不同的实数解，则m的取值范围是　[2，1+）　．
考点：
函数的零点与方程根的关系．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意得，函数y=与函数y=x+m 有两个不同的交点，结合图象得出结果．
解答：
解：方程=x+m有两个不同的实数解，即函数y=与函数y=x+m 有两个不同的交点．
y=的图象过圆心在（﹣1，0）半径为1的半圆，直线y=x+m 的图象斜率为1的平行直线系，如图所示：
故直线y=x+m在y轴上的截距m；﹣2≤a＜1+，
故答案为[2，1+）．
点评：
本题考查方程根的个数的判断，体现了数形结合及转化的数学思想．
　
14．（5分）已知定义域为D的函数f（x），对任意x∈D，存在正数K，都有|f（x）|≤K成立，则称函数f（x）是D上的“有界函数”．已知下列函数：①f（x）=2sin x；②f（x）=；③f（x）=1﹣2x；④f（x）=，其中是“有界函数”的是
　①②④　．（写出所有满足要求的函数的序号）
考点：
函数的值域．
专题：
计算题；新定义．
分析：
分别求四个函数的值域，对照“有界函数”的概念即可判断．
解答：
解：①中|f（x）|=|2sinx|≤2 为有界函数
②中|f（x）|≤1 为有界函数
③f（x）＜1 不是有界函数
④
当x=0时，f（x）=0
总之 是有界函数
故答案为：①②④
点评：
本题以新“概念”为平台，考查学生知识迁移与理解能力，考查几种常见函数的值域，属于基础题．
　
二、解答题：本大题共六小题，共计90分.请在指定区域答题.
15．（14分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合B={x|x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣3m≤0，m∈R}，
（I）若A∩B=[2，4]，求实数m的值；
（Ⅱ）设全集为R，若A??RB，求实数m的取值范围．
考点：
集合的包含关系判断及应用．
专题：
计算题．
分析：
（Ⅰ）化简A=[﹣2，4]，B=[m﹣3，m]，根据A∩B=[﹣2，4]，可得，从而求出m 的值；
（Ⅱ）根据补集的定义求出 CRB={x|x＜m﹣3，或x＞m}，由A?CRB，得到4＜m﹣3，或﹣2＞m，由此求得实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）∵A={x|（x+2）（x﹣4）≤0}={x|﹣2≤x≤4}=[﹣2，4]，
B={x|（x﹣m）（x﹣m+3）≤0，m∈R}={x|m﹣3≤x≤m}=[m﹣3，m]
∵A∩B=[2，4]，
∴，解得m=5
（ II）由（Ⅰ）知CRB={x|x＜m﹣3，或x＞m}，
∵A?CRB，∴4＜m﹣3，或﹣2＞m，解得m＜﹣2，或m＞7．
故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（7，+∞）
点评：
本题考查集合中参数的取值问题，补集与子集的定义，两个集合的交集的定义，属基础题．
　
16．（14分）已知z∈C，z+2i 和 都是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．
考点：
复数的代数表示法及其几何意义；复数的基本概念．
专题：
计算题．
分析：
（1）化简等式，利用复数为实数的条件求出a，b的值，即得复数z．
（2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围．
解答：
解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，
，
∵z+2i 和 都是实数，∴，解得，∴z=4﹣2i．
（2）由（1）知z=4﹣2i，∴（z+ai）2=[4+（a﹣2）i]2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i，
∵（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，∴，
即，∴，∴﹣2＜a＜2，即实数a 的取值范围是（﹣2，2）．
点评：
本题考查两个复数代数形式的混合运算，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，
式子的变形是解题的难点．
　
17．（14分）已知函数y=a2x+2ax﹣1（a＞1）在区间[﹣1，1]上的最大值是14，求a的值．
考点：
二次函数在闭区间上的最值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由题意令t=ax，则原函数变成关于t的二次函数，求出t的范围，根据在区间上的单调性求出函数有最大值时对应的t值，进而求出a的值．
解答：
解：令t=ax，则y=t2+2t﹣1=（t+1）2﹣2，
当a＞1时，∵x∈[﹣1，1]，则t∈[，a]，
∴函数在[，a]上是增函数，
∴当t=a时，函数取到最大值14=a2+2a﹣1，
解得a=3或﹣5，
故a=3
点评：
本题的考点是函数的最值问题，考查了用换元法将原函数转变为二次函数，注意求出换元后变量的范围，本题是对底数进行分类后，根据指数函数的性质求出变量范围，再根据二次函数在区间上的单调性求有关最值问题．
　
18．（16分）（2013?绵阳二模）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=
（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千年时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）
考点：
分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．
专题：
分类讨论．
分析：
（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．
解答：
解：（1）当；
当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．
∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，
且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，
∴当x=9时，W取最大值，且
②当x＞10时，
当且仅当，
即x=时，W=38，
故当x=时，W取最大值38．
综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
点评：
本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
　
19．（16分）（2005?浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．
（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
考点：
函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可．
（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2﹣|x﹣1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．
（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．
解答：
解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），
则即
∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上
∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故g（x）=﹣x2+2x
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0
当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．
当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得．
因此，原不等式的解集为．
（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1
①当λ=﹣1时，h（x）=4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1
②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x=．
ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1．
ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0．
点评：
本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题．
　
20．（16分）已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）关于x的方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
（3）若：h（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，求实数a的取值范围．
考点：
函数单调性的判断与证明；函数的零点；函数的零点与方程根的关系．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
（1）作出函数f（x）=|x2﹣4x+3|的图象，由图象直接得到单调区间；
（2）由f（x）﹣a=x，得f（x）=x+a，把方程根的问题转化为两个函数图象的交点问题，数形结合即可得到答案；
（3）若h（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，即方程|4x﹣x2|+a=0有4个根，即方程|4x﹣x2|=﹣a有4个根，作出函数g（x）=|4x﹣x2|，t（x）=﹣a，数形结合即可得到答案．
解答：
解：（1）函数f（x）的图象如图，
由图象可知函数f（x）的减区间为（﹣∞，1]，（2，3]；
函数f（x）的增区间为（1，2]，（3，+∞）；
（2）由f（x）﹣a=x，得f（x）=x+a，
联立，得x2﹣3x+a+3=0，
由△=（﹣3）2﹣4（a+3）=0，得．
所以方程f（x）﹣a=x至少有三个不相等的实数根的实数a的取值范围是（﹣1，﹣）；
（3）若h（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，即方程|4x﹣x2|+a=0有4个根，
即方程|4x﹣x2|=﹣a有4个根．
令g（x）=|4x﹣x2|，t（x）=﹣a，作出g（x）的图象如图，
由图象可知要使方程|4x﹣x2|=﹣a有4个根，则g（x）与t（x）的图象应有4个交点，
∴0＜﹣a＜4，即﹣4＜a＜0，
∴a的取值范围是（﹣4，0）．
点评：
本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了数学转化和数形结合的解题思想方法，属中档题．