2012-2013学年江苏省淮安市车桥中学高二（上）期中数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）
1．（5分）用符号表示“点A在直线l上； l在平面外”． A∈l，l?α ．
考点：
平面的基本性质及推论．
专题：
规律型．
分析：
由题意，点与线的关系是属于关系，故有A∈l，线与面之间的关系是包含关系，故l在平面α外可表示为“l?α”，由此易和答案
解答：
解：由题意“点A在直线l上； l在平面α外”的符号表示是“A∈l，l?α”．
故答案为：A∈l，l?α
点评：
本题考查平面的基本性质及推论，点与线，线与面位置关系的符号表示，解题的关键是熟练掌握点与线，线与面位置关系的符号表示，本题是平面基本性质的基础题，概念型
2．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1平行的表面的对角线有 1 条．
考点：
空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
利用直线平行的条件进行判断和确定．
解答：
解：连结正方体各表面的对角线．
过点D1和A点的对角线和直线AD1是相交．
A1B，A1C1，C1D 分别于AD1是异面直线夹角为60°，
B1C，A1D和AD1是垂直的．
故只有直线BC1∥AD1．
故满足条件的直线只有1条．
故答案为：1．
点评：
本题主要考查直线平行的判定，比较基础．
3．（5分）有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是
①③ ．
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
证明题．
分析：
由直线在平面外的定义知①正确，由表示线与面的关系符号知②错误，由公理3知③正确．
解答：
解：平面外的一条直线包含了直线与平面相交和直线与平面平行，故①正确；
表示线与面的关系用“?”或“?”表示，故②错误．
由公理3知，两个平面有一个公共点，则这两个平面相交，故③正确．
故答案：①③
点评：
本题考查了空间线面位置关系，分别用了直线在平面外的定义、表示线与面的关系符号和公理3，是基础知识的简单应用．
4．（5分）a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
上述命题中正确的是 ① （只填序号）．
考点：
命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
①利用平行公理去判断．②利用直线垂直的性质判断．③利用直线的位置关系判断．④利用异面直线的定义判断．
解答：
解：①根据空间直线平行的平行公理可知，若a∥b，b∥c，则a∥c，所以①正确．
②在空间中，直线垂直时，直线的位置不确定，所以无法得到a∥c，所以②错误．
③在空间中，直线相交不具备传递性，所以③错误．
④满足条件的两条直线a，b，可能平行，可能相交，也可能是异面直线，所以④错误．
故答案为：①．
点评：
本题主要考查空间直线与直线位置关系的判断．比较基础．
5．（5分）已知α，β是平面，m，n是直线，则下列命题中不正确的是 ②
①若m∥n，m⊥α，则n⊥α
②若m∥α，α∩β=n，则m∥n
③若m⊥α，m⊥β，则α∥β
④若m⊥α，m?β，则α⊥β
考点：
命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
①利用线面垂直的性质和判定定理进行判断．②利用线面平行的性质判断．
③利用线面垂直的性质和面面平行的判定定理进行判断．④利用面面垂直的判定定理进行判断．
解答：
解：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α成立，所以①正确．
②根据线面平行的性质可知，只有当m?β时，结论才成立．所以②错误．
③根据线面垂直的性质可知，垂直于同一条直线的两个平面是平行的，所以③正确．
④根据面面垂直的判定定理可知，④正确．
故不正确的是②．
故答案为；②．
点评：
本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相关的性质定理和判定定理．
6．（5分）圆柱的底面半径为3cm，体积为18πcm3，则其侧面积为 12π cm2．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
先求得底面积，再利用体积求得高，最后利用侧面积公式计算．
解答：
解：圆柱的底面半径为3cm，底面积S=9π，
又体积V=Sh=18πcm3，所以h=2
侧面积=2π×3×2=12π
故答案为：12π
点评：
本题考查圆柱的侧面积、体积的计算．确定好有关数据，依公式计算即可．属于基础题．
7．（5分）（2010?崇明县二模）将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是
．
考点：
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．
专题：
计算题．
分析：
通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
解答：
解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，
所以圆锥的底面周长为：2π，
底面半径为：1，圆锥的高为：；
圆锥的体积为：=
点评：
本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．
8．（5分）直线经过原点和点（﹣1，﹣），则它的倾斜角是 60° ．
考点：
斜率的计算公式．
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
先由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的斜率和倾斜角的关系及倾斜角的范围求出倾斜角的大小．
解答：
解：∵直线l经过原点和点（﹣1，﹣），
∴直线的斜率等于=
设直线的倾斜角为θ，
则 0°≤θ＜π180°，且tanθ=
故 θ=60°，
故答案为：60°
点评：
本题考查直线的斜率公式的应用，直线的倾斜角和斜率的关系，并注意倾斜角的取值范围．
9．（5分）已知点A（4，6），B（﹣2，4），则直线AB的方程为 x﹣3y+14=0 ．
考点：
直线的两点式方程．
专题：
直线与圆．
分析：
直接利用直线的两点式方程求解在方程即可．
解答：
解：因为A（4，6），B（﹣2，4），则直线AB的方程：
即x﹣3y+14=0．
故答案为：x﹣3y+14=0
点评：
本题考查直线方程的求法，两点式方程的应用，基本知识的考查．
10．（5分）直线ax+by+c=0的倾斜角为α，且sinα+cosα=0，则a﹣b= 0 ．
考点：
任意角的三角函数的定义；直线的一般式方程．
专题：
计算题．
分析：
由sinα+cosα=0，可知tanα=﹣1，即函数的斜率为﹣1，进而可以得到a﹣b的值．
解答：
解：∵sinα+cosα=0
∴tanα=﹣1，k=﹣1，即﹣=﹣1，a=b，a﹣b=0
故答案为：0．
点评：
本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角，根据已知求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键．
11．（5分）（2010?江苏模拟）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是 x﹣2y﹣1=0 ．
考点：
两条直线平行的判定；直线的一般式方程．
分析：
先求直线x﹣2y﹣2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程．
解答：
解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是
所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0
故答案为：x﹣2y﹣1=0
点评：
本题考查两条直线平行的判定，直线的点斜式方程，是基础题．
12．（5分）若直线l经过直线2x﹣y+3=0和3x﹣y+2=0的交点，且垂直于直线y=2x﹣1，则直线l的方程为 x+2y﹣11=0． ．
考点：
直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：
直线与圆．
分析：
依题意，可求得两直线2x﹣y+3=0和3x﹣y+2=0的交点，利用所求直线与直线y=2x﹣1垂直可求得其斜率，从而可得其方程．
解答：
解：由 得交点（1，5）…（3分）
又直线y=2x﹣1斜率为2，…（5分）
所求的直线与直线y=2x﹣1垂直，
所以所求直线的斜率为﹣，…（7分）
所求直线的方程为y﹣5=﹣（x﹣1），
化简得：x+2y﹣11=0．，…（12分）
故答案为：x+2y﹣11=0．
点评：
本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，考查直线的点斜式方程，求得直线2x﹣y+3=0和3x﹣y+2=0的交点与斜率是关键，属于基础题．
13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2）、B（1，1），直线 l经过点B且与线段OA相交．则直线 l倾斜角α的取值范围是 ．
考点：
直线的倾斜角．
专题：
直线与圆．
分析：
如图所示：根据直线OB的方程求出OB的倾斜角等于45°，根据AB的方程求出AB的倾斜角等于135°，结合图象由条件可得 直线l的倾斜角α的取值范围．
解答：
解：如图所示：直线OB的方程为y=x，斜率等于1，倾斜角等于45°，
AB的方程为 y=﹣x，斜率等于﹣1，倾斜角等于135°，
结合图象由条件可得 直线l的倾斜角α的取值范围是 0°≤α≤45°，或 135°≤α＜180°，
故答案为：
点评：
本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
14．（5分）圆柱形容器内盛有高度为3cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm．
考点：
球的体积和表面积．
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
解答：
解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×πr3+πr2×3=πr2×6r，解得r=．
故答案为：
点评：
本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分）
15．（12分）如图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3．求证：EF、GH、BD交于一点．
考点：
平面的基本性质及推论．
专题：
证明题．
分析：
由“E、G分别为BC、AB的中点”可得GE∥AC；再由“DF：FC=2：3，DH：HA=2：3”，比例相等，可得HF∥AC；此时根据公理4就可得GE∥HF．同时GE≠HF，所以EF与GH相交，再由公理2可知，交点应该在两平面的交线上．
解答：
证明：连接GE、HF，
∵E、G分别为BC、AB的中点，
∴GE∥AC．
又∵DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，
∴HF∥AC．∴GE∥HF．
故G、E、F、H四点共面．
又∵EF与GH不能平行，
∴EF与GH相交，设交点为O．
则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD．∴EF、GH、BD交于一点．
点评：
此题主要考查了公理2与公理4，是一道典型的平面题：“若两平面相交，则必产生一条交线，此时两面内各有一条直线，若他们相交，则交点必在交线上”．这个小结论，好多题目中都会用到．
16．（13分）（2012?平遥县模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：
证明题；综合题；转化思想．
分析：
（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，要证EF∥平面PAD，只需证明EF∥PA即可；
（2）求三棱锥C﹣PBD的体积，转化为P﹣BCD的体积，求出底面面积和高，即可求出体积．
解答：
解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴（14分）
点评：
本题考查直线和平面平行的判定，棱锥的体积，是中档题．
17．（13分）（2012?盐城一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
（1）求证：PD∥面AEC；
（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．
考点：
直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
专题：
证明题．
分析：
（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．
（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD
解答：
解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点
，所以PD∥EO…（4分）
而PD?面AEC，EO?面AEC，
所以PD∥面AEC…（7分）
（2）连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，
又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD…（10分）
而PO?面PBD，BD?面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD…（13分）
又AC?面AEC，
所以面AEC⊥面PBD…（14分）
点评：
本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．
18．（12分）求经过点A（﹣5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线的方程．
考点：
直线的一般式方程；直线的截距式方程．
专题：
直线与圆．
分析：
当直线不过原点时，设直线的方程为，把点A（﹣5，2）代入求得a的值，即可求得直线方程．当直线过原点时，直线的方程可设为y=kx，把点A（﹣5，2）代入求得k的值，即可求得直线方程．综合可得答案．
解答：
解：当直线不过原点时，设直线的方程为，把点A（﹣5，2）代入可得，∴a=﹣1，
此时，直线方程为x+2y+1=0．
当直线过原点时，直线的方程为y=kx，把点A（﹣5，2）代入可得，∴k=﹣，
即2x+5y=0，
综上可得，满足条件的直线方程为：2x+5y=0或x+2y+1=0．
点评：
本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19．（14分）记直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直时m的取值集合为M，直线x+ny+3=0与直线nx+4y+6=0平行时n的取值集合为N，求M∪N．
考点：
直线的一般式方程与直线的垂直关系；并集及其运算．
专题：
计算题；直线与圆．
分析：
首先根据两直线垂直和平行的条件，求出集合M和N，然后根据并集的定义得出结果．
解答：
解：直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直?（m+2）?（m﹣2）+3m?（m+2）=0?m=﹣2或 m=
故集合M={﹣2，}，
∵直线nx+4y+6=0的斜率为﹣ 直线x+ny+3=0的斜率为﹣
直线x+ny+3=0与直线nx+4y+6=0平行
∴﹣=﹣
∴n=2或n=﹣2
当n=2时，两直线重合
∴n=﹣2
∴N={﹣2}
故M∪N=
点评：
此题考查了两直线垂直和平行的条件，属于基础性题目．
20．（16分）已知y=2x是△ABC中∠C的内角平分线所在直线的方程，若A（﹣4，2），B（3，1）．
（1）求点A关于y=2x的对称点P的坐标；
（2）求直线BC的方程；
（3）判断△ABC的形状．
考点：
与直线关于点、直线对称的直线方程；三角形的形状判断；直线的一般式方程．
专题：
计算题；解三角形；直线与圆．
分析：
（1）设P（m，n）根据轴对称的性质建立关于m、n的方程组，解之得m=4且n=﹣2，即可得到所求点P的坐标；（2）根据角的两边关于角平分线所在直线对称，得到P（4，﹣2）在BC上，用点斜式写出直线PB的方程，即得
直线BC的方程；
（3）则BC方程与AC方程联解得出C（2，4），从而得到AB、BC、AC的长度，算出|AB|2=|BC|2+|AC|2，从而得到△ABC为以∠C为直角的直角三角形．
解答：
解：（1）设A关于y=2x的对称点为P（m，n）．
∴
解之得，即点P的坐标为（4，﹣2）．
（2）∵P（4，﹣2）在BC上，
∴BC的方程为y﹣1=﹣3（x﹣3），即3x+y﹣10=0．
（3）由，解得
∴C的坐标为（2，4）．
由，，，
得|AB|2=|BC|2+|AC|2，
∴△ABC为以∠C为直角的直角三角形．
点评：
本题给出△ABC的顶点A、B的坐标，在给出角A平分线的基础之上求BC的方程，并判断三角形的形状，着重考查了两点的距离公式、直线与直线的位置关系和三角形形状的判断等知识，属于中档题．
