[余角和补角]
一、选择题
1.[2019·怀化] 与30°的角互为余角的角的度数是 ( )
A.30° B.60° C.70° D.90°
2.若∠1与∠2互为补角,且∠1=53°,则∠2的度数为 ( )
A.147° B.127° C.27° D.117°
3.已知∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,且∠1=∠3,那么∠2与∠4的大小关系为 ( )
A.∠2>∠4 B.∠2<∠4
C.∠2=∠4 D.∠2与∠4的大小不确定
4.如图,AB为直线,∠AOD=90°,∠COE=90°,则图中互为余角的角有 ( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
5.已知∠α是锐角,∠α与∠β互补,∠α与∠γ互余,则∠β-∠γ为 ( )
A.45° B.60° C.90° D.180°
6.一个锐角的余角加上90°,就等于 ( )
A.这个锐角的两倍 B.这个锐角的余角
C.这个锐角的补角 D.这个锐角
7.如图,一副三角尺按不同的位置摆放,摆放位置中∠α=∠β的图形共有 ( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题
8.若∠α=35°,则∠α的补角为 °.
9.大雁迁徙时常排成人字形,这个人字形的一边与其飞行方向的夹角是54°44'8″,从空气动力学角度看,这个角度对于大雁队伍飞行最佳,所受阻力最小.54°44'8″的补角是 .
10.如图,O为直线AC上的一点,OM平分∠BOC,且∠BOM=35°,则∠AOB= °.
11.如图,AB为直线,OC平分∠BOD,OE平分∠AOD,则与∠COD互余的角是 .
12.一个角的余角比这个角的补角的一半小40°,则这个角的度数为 .
三、解答题
13.(1)已知两个角互补,且它们的度数之比为4∶5,求这两个角的度数;
(2)互补的两角之差是28°,求其中较小角的余角.
14.如图,∠AOB=50°,∠AOB与∠BOC互余,点B,O,D在同一条直线上.
(1)求∠AOD的度数;
(2)求∠COD的度数.
15.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC=72°,∠DOF=90°.
(1)写出图中任意一对互余的角;
(2)求∠EOF的度数.
16.如图所示,O是直线AB上一点,OC为任意一条射线,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.
(1)分别指出图中∠AOD与∠BOE的补角;
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
17.如图,已知∠AOC=2∠BOC,∠AOC的余角比∠BOC小30°.
(1)求∠AOB的度数;
(2)过点O作射线OD,使得∠AOC=4∠AOD,请你求出∠COD的度数.
[探究性问题] 如图①,将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起.
(1)试判断∠ACE与∠BCD的大小关系,并说明理由;
(2)若∠DCE=30°,求∠ACB的度数;
(3)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由;
(4)若改变其中一个三角尺的位置,如图②,则第(3)小题中的结论还成立吗 (不需说明理由)
答案
[课堂达标]
1.[答案] B
2. B 因为∠1与∠2互为补角,且∠1=53°,所以∠2=180°-∠1=180°-53°=127°.
3. C 根据等角的补角相等,得∠2=∠4.故选C.
4.[答案] C
5. C 由题意,得∠α+∠β=180°,∠α+∠γ=90°,两式相减可得∠β-∠γ=90°.
6.[答案] C
7. B 根据角的和差关系可得第一个图形中∠α=∠β=45°;根据同角的余角相等可得第二个图形中∠α=∠β;根据等角的补角相等可得第三个图形中∠α=∠β.因此满足∠α=∠β的图形共有3个.
8.[答案] 145
9.[答案] 125°15'52″
10.[答案] 110
11.[答案] ∠DOE和∠AOE
12.[答案] 80°
设这个角的度数为x,则它的余角为90°-x,补角为180°-x.依题意,得90°-x+40°=(180°-x),解得x=80°.故这个角的度数为80°.
13.解:(1)因为两个角的度数之比为4∶5,
所以设这两个角的度数分别为4x°和5x°.
根据题意,列方程得4x+5x=180,解这个方程,得x=20,所以4x°=80°,5x°=100°.
答:这两个角的度数为80°和100°.
(2)设较大角的度数为x,则它的补角为180°-x.
又因为两角之差是28°,
所以x-(180°-x)=28°,
所以x=104°,180°-x=76°,90°-76°=14°.
故其中较小角的余角为14°.
14.解:(1)因为∠AOB=50°,点B,O,D在同一条直线上,
所以∠AOD=180°-∠AOB=180°-50°=130°.
(2)因为∠AOB=50°,∠AOB与∠BOC互余,所以∠BOC=90°-50°=40°,
所以∠COD=180°-40°=140°.
15.解:(1)答案不唯一,如∠BOF与∠BOD,∠DOE与∠EOF.
(2)因为∠COF=180°-∠DOF=90°,
所以∠BOF=180°-∠AOC-∠COF=180°-72°-90°=18°,所以∠BOD=∠DOF-∠BOF=90°-18°=72°.因为OE平分∠BOD,
所以∠BOE=∠BOD=36°,
所以∠EOF=∠BOF+∠BOE=18°+36°=54°.
16. 解这类题目的关键在于结合图形,根据余角、补角的定义,有时还需考虑角平分线的性质,分析并找到角与角之间的关系,再进行计算得出答案.
解:(1)∠AOD的补角为∠BOD,∠COD;
∠BOE的补角为∠AOE,∠COE.
(2)因为OD平分∠BOC,
所以∠COD=∠BOC.
因为OE平分∠AOC,
所以∠COE=∠AOC,
所以∠COD+∠COE=∠BOC+∠AOC=(∠BOC+∠AOC)=∠AOB=90°.
17.解:(1)设∠BOC=x°,则∠AOC=2x°.
根据题意,得90-2x=x-30,
解得x=40.
所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=2x°-x°=40°.
(2)由(1)得∠AOC=2x°=80°.
因为∠AOC=4∠AOD,
所以∠AOD=∠AOC=20°.
①若射线OD在∠AOC的内部,
则∠COD=∠AOC-∠AOD=80°-20°=60°;
②若射线OD在∠AOC的外部,
则∠COD=∠AOD+∠AOC=20°+80°=100°.
综上可知,∠COD的度数为60°或100°.
[素养提升]
解:(1)∠ACE=∠BCD.理由如下:
因为∠ACD=∠BCE=90°,
即∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=90°,
所以∠ACE=∠BCD.
(2)因为∠DCE=30°,∠ACD=90°,
所以∠ACE=∠ACD-∠DCE=90°-30°=60°.
因为∠BCE=90°,∠ACB=∠ACE+∠BCE,
所以∠ACB=60°+90°=150°.
(3)∠ACB+∠DCE=180°.理由如下:
∠ACB+∠DCE=∠ACD+∠BCD+∠DCE=∠ACD+∠BCE=90°+90°=180°.
(4)成立.[角的度量与计算]
一、选择题
1.如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为 ( )
A.45° B.55° C.125° D.135°
2.下列各角中是钝角的为 ( )
A.周角 B.平角 C.直角 D.直角
3.已知∠1=37°36',∠2=37.36°,则∠1与∠2的大小关系为 ( )
A.∠1<∠2 B.∠1=∠2 C.∠1>∠2 D.无法比较
二、填空题
4.(1)把15°30'化成度的形式,则15°30'= °;
(2)把角度化为度、分的形式,则20.5°=20° '.
5.填空:2700″= °.
6.计算:(1)77°42'+34°45'= ;
(2)108°18'-56°23'= .
7.如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°18',则∠AOC的度数为 .
8.时钟4点15分时,时针和分针所成的角为 .
9.已知OC平分∠AOB,若∠BOC=29°34',则∠AOB= .
三、解答题
10.计算:(1)49°38'+66°22';
(2)180°-79°19'.
11.如图,∠AOB=35°40',∠BOC=50°30',∠COD=21°18',OE平分∠AOD,求∠BOE的度数.
12.如图,∠BAC和∠DAE都是70°30'的角.
(1)如果∠DAC=27°30',那么∠BAE的度数是多少 (写出过程)
(2)请写出图中相等的角;
(3)若∠DAC变大,∠BAC与∠DAE不变,且点D始终在∠BAC内部,则∠BAD如何变化
[方程思想] 时钟在12点时,时针和分针是重叠的.时针至少转过多少度时,时针和分针又重叠了 (精确到1″)
答案
[课堂达标]
1.[答案] B
2.[答案] B
3. C 因为37°36'=37.6°,37.6°>37.36°,所以∠1>∠2.
4.[答案] (1)15.5 (2)30
5.[答案] 0.75
因为1°=60',1'=60″,
所以1°=3600″,所以1″=°,
所以2700″=°=0.75°.
6.[答案] (1)112°27' (2)51°55'
7.[答案] 150°42'
8.[答案] 37.5°
9.[答案] 59°8'
10.解:(1)49°38'+66°22'=116°.
(2)180°-79°19'=100°41'.
11.解:因为∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=35°40'+50°30'+21°18'=107°28',且OE平分∠AOD,所以∠AOE=∠AOD=53°44',
所以∠BOE=∠AOE-∠AOB=53°44'-35°40'=18°4'.
12.解:(1)∠BAE=(∠BAC-∠DAC)+∠DAE=(70°30'-27°30')+70°30'=113°30'=113.5°.
(2)因为∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC,且∠BAC=∠DAE,
所以∠BAD=∠CAE.
故图中相等的角为∠BAC=∠DAE,∠BAD=∠CAE.
(3)因为点D在∠BAC内部,
所以∠BAD=∠BAC-∠DAC.
因为∠BAC不变,
所以若∠DAC变大,则∠BAD变小.
[素养提升]
这道题可看做环形跑道同向而行的问题,出发时两者在同一起跑线上(12点处),到首次相遇时,分针正好比时针多跑一圈(360°),相等关系为分针转过的角度-时针转过的角度=360°.
解:设至少经过x分钟,时针和分针又重叠了,x分钟内,时针转过(0.5x)°,分针转过(6x)°,
则6x-0.5x=360,解得x=.
(0.5x)°=0.5×°≈32°43'38″.
答:时针至少转过约32°43'38″时,时针和分针又重叠了.
