湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 单元综合测试（Word版含答案）

第2章 　一元二次方程　 单元综合测试
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
1．如果关于x的方程(m－3)xm2－7－x＋3＝0是一元二次方程，那么m的值为(　　)
A．±3 B．3 C．－3 D．都不对
2．一元二次方程3x2－2＝x化成一般形式后，二次项系数为3，它的一次项系数和常数项分别是(　　)
A．1，2 B．－1，－2 C．3，2 D．0，－2
3．用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是(　　)
A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2
C．(x－2)2＝－2 D．(x－2)2＝6
4．已知2＋是关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个实数根，则实数m的值是(　　)
A．0 B．1 C．－3 D．－1
5．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(　　)
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
6．若方程x2＋x－1＝0的两个实数根为α，β，则下列式子正确的是(　　)
A．α＋β＝1 B．αβ＝1 C．α2＋β2＝2 D.＋＝1
7．国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为(　　)
A．5000(1＋2x)＝7500
B．5000×2(1＋x)＝7500
C．5000(1＋x)2＝7500
D．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝7500
8．王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的根为(　　)
A．x1＝－1，x2＝－4 B．x1＝1，x2＝4
C．x1＝－1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝3
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
9．一元二次方程3x(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为____________．
10．若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为1，则这个一元二次方程的另一个根为________．
11．已知关于x的方程ax2＋4x－2＝0(a≠0)有实数根，那么负整数a＝________．
12．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．下列关于这个方程的根和△ABC形状的判断的结论：①若x＝－1是方程的根，则△ABC是等腰三角形；②若方程有两个相等的实数根，则△ABC是直角三角形；③若△ABC是等边三角形，则方程的根是x1＝0，x2＝－1；④若方程没有实数根，则△ABC是锐角三角形．其中错误的是________．(填序号)
三、解答题(本大题共5小题，共60分)
13．(20分)解下列方程：
(1)(3x－1)2－4＝0(用直接开平方法)；
(2)x(x－3)－4(3－x)＝0(用因式分解法)；
(3)x2＋4x－7＝0(用配方法)；
(4)(3－x)(4－x)＝48－20x＋2x2(用公式法)．
14．(8分)已知关于x的方程(x－3)(x－2)－p2＝0.
(1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＝3x1x2，求实数p的值．
15．(10分)宾馆有50间房供游客居住，原定价每间房每天190元．当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房(物价部门规定：此类宾馆的入住费用不得超过原定价的1.5倍)．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元，那么宾馆________间房有游客居住(用含x的代数式表示)；
(2)当每间房当天的定价为多少元时，宾馆当天的利润为9450元？
16．(10分)如图所示，用一面足够长的墙和80 m长的篱笆围成一个矩形场地．
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2
(2)能否使所围的矩形场地的面积为810 m2？为什么？
17.(12分)娄底市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套150平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送三年物业管理费，物业管理费为每平方米每月1.5元．请问选哪种方案更优惠．
答案
1． C　由题意知解得m＝－3.
2． B　方程整理，得3x2－x－2＝0，则方程的一次项系数和常数项分别是－1，－2.
3．[答案] A　
4． B　根据题意，得(2＋)2－4×(2＋)＋m＝0，解得m＝1.
5． D　因为关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，
所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，
解得m≤2.
又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，
所以m－1≠0，解得m≠1.
综上所述，m的取值范围是m≤2且m≠1.
故选D.
6．[答案] D
7． C　我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则2018年的快递业务收入为5000(1＋x)亿元，2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1＋x)(1＋x)亿元，∴可列方程5000(1＋x)2＝7500.
8． C　∵王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，∴把x＝1代入x2＋3x＋c＝0，得1＋3＋c＝0，解得c＝－4，即原方程为x2－3x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.故选C.
9．[答案] x2－9x－1＝0
10．[答案] －2
设一元二次方程的两根为x1，x2，并设x1＝1.根据x1x2＝，可得1·x2＝－2，∴另一个根为x＝－2.
11．[答案] －2或－1
∵关于x的方程ax2＋4x－2＝0(a≠0)有实数根，∴Δ＝42＋8a≥0，解得a≥－2，∴负整数a＝－2或a＝－1.故答案为－2或－1.
12．[答案] ④
①∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，
∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，
即4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；
③当△ABC是等边三角形时，(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，可整理为2ax2＋2ax＝0，
即x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1；
④∵方程没有实数根，
∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＜0，
即4b2－4a2＋4c2＜0，∴a2＞b2＋c2，
∴△ABC是钝角三角形．
故错误的是④.
13．解：(1)(3x－1)2＝4，∴3x－1＝±2，
∴3x＝1±2，∴x＝，
即x1＝1，x2＝－.
(2)原方程可变形为(x－3)(x＋4)＝0，
即x－3＝0或x＋4＝0，解得x1＝3，x2＝－4.
(3)x2＋4x＝7，∴x2＋4x＋4＝7＋4，
即(x＋2)2＝11，∴x＋2＝±，
∴x＝－2±，
即x1＝－2＋，x2＝－2－.
(4)将方程化为一般形式，得x2－13x＋36＝0.
∵a＝1，b＝－13，c＝36，
∴b2－4ac＝(－13)2－4×1×36＝25＞0，
∴x＝＝，∴x1＝9，x2＝4.
14．解：(1)证明：(x－3)(x－2)－p2＝0，x2－5x＋6－p2＝0，Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝1＋4p2.
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1＋4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2.
∵x12＋x22＝3x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5(6－p2)，∴p＝±1.
15．解：(1)当每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆会空闲间房，
所以此时宾馆(50－)间房有游客居住．
故答案为(50－)．
(2)依题意，得(180＋x－20)(50－)＝9450，
整理，得x2－340x＋14500＝0，
解得x1＝50，x2＝290.
当x＝50时，180＋x＝230，190×1.5＝285(元)，230＜285，符合题意；
当x＝290时，180＋x＝470，470＞285，不符合题意，舍去．
答：当每间房当天的定价为230元时，宾馆当天的利润为9450元．
16．解：设AD＝BC＝x m，则AB＝(80－2x)m.
(1)由题意，得x(80－2x)＝750，
解得x1＝15，x2＝25.
当x＝15时，AD＝BC＝15 m，AB＝50 m；
当x＝25时，AD＝BC＝25 m，AB＝30 m.
答：当平行于墙的边长为50 m，与其相邻的两边长为15 m或平行于墙的边长为30 m，与其相邻的两边长为25 m时，矩形场地的面积为750 m2.
(2)不能．理由：由题意，得x(80－2x)＝810，整理，得x2－40x＋405＝0.
∵b2－4ac＝(－40)2－4×405＝1600－1620＝－20<0，
∴方程无实数根，
即不能围成面积为810 m2的矩形场地．
17．解：(1)设平均每次下调的百分率是x.
依题意得5000(1－x)2＝4050，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)．
答：平均每次下调的百分率为10%.
(2)方案①的房款是4050×150×0.98＝595350(元)；
方案②的房款是4050×150－1.5×150×12×3＝599400(元)．
∵595350＜599400，∴选方案①更优惠．