湘教版数学九年级上册第3章　图形的相似 单元综合测试(word版含答案)

第3章　图形的相似　 单元综合测试
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
1．以下列数据为长度的线段中，能成比例的是(　　)
A．3 cm，6 cm，8 cm，9 cm
B．3 cm，5 cm，6 cm，9 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
2．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．5
3．在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为(　　)
A. B. C. D.
4．在△ABC和△DEF中，AB＝AC，DE＝DF，根据下列条件，能判定△ABC和△DEF相似的是(　　)
A.＝ B.＝
C．∠A＝∠E D．∠B＝∠D
5．宽与长的比是(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF.以F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G.作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是(　　)
A．矩形ABFE B．矩形EFCD
C．矩形EFGH D．矩形DCGH
6．如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得到△DEF，则下列说法正确的个数是(　　)
①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1∶2；④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.
A．1 B．2
C．3 D．4
7．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度(其中点A，E，D共线，点A，B，C共线)，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高度是(　　)
A．17.5 m B．17 m
C．16.5 m D．18 m
二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
8．已知＝3，则＝________．
9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，需添加一个条件是____________．(写出一种情况即可)
10．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，AB＝3，则A′B′＝________．
11．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.若BC＝2 ，AB＝3，则BD＝________．
12．如图，在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1.已知A(2，3)，则点A1的坐标是________．
13．如图，为了测量一水塔的高度，小强用2 m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m，与水塔相距32 m，则水塔的高度为________m.
14．在每个小正方形的边长均为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是________．
三、解答题(本大题共4小题，共44分)
15．(10分)如图所示，AD，BE分别是钝角三角形ABC的边BC，AC上的高．求证：＝.
16．(10分)已知：如图0，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)．
(1)在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
图0
17．(12分)如图1(示意图)，小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺EF(EF∥AB)，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的顶部和底部(视点为C)．如果小明的手臂长l＝40 cm，小尺的长a＝20 cm，点D到旗杆底部的距离AD＝25 m，求旗杆BA的高度．
图1
18．(12分)如图2，在 ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交DE于点F，连接FC，H为线段AO上一点，连接HD，HF.
(1)判断四边形GECF的形状，并说明理由；
(2)当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH·CH＝EC·AD.
图2
答案
1．[答案] D
2． A　∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2∶1.
∵△FHB∽△EAD，
∴＝2，即＝2，解得EA＝3.
3．[答案] C
4．[答案] B
5． D　设正方形ABCD的边长为2，则CD＝2，CF＝1.在Rt△DCF中，DF＝＝＝，∴FG＝，
∴CG＝－1，
∴＝，
∴矩形DCGH为黄金矩形．故选D.
6． C　根据位似的性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形．∵△DEF是将△ABC的三边缩小为原来的得到的，∴△ABC与△DEF的周长比为2∶1，故③错误．根据面积比等于相似比的平方，可知④△ABC与△DEF的面积比为4∶1.故选C.
7． A　∵AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，
∴AC＝1.2＋12.8＝14(m)．
∵标杆BE和建筑物CD均垂直于地面，
∴BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
即＝，解得CD＝17.5(m)．
故选A.
8．[答案] 2
9．[答案] ∠A＝∠D(答案不唯一)
10．[答案] 5
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，其位似中心为点O，OC＝6，CC′＝4，
∴＝＝，
∴＝.
又∵AB＝3，∴A′B′＝5.
11．[答案]
易得△BCD∽△BAC，从而BC∶BA＝BD∶BC，代入求得BD＝.
12．[答案] (，2)
∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A(2，3)，∴点A1的坐标是(×2，×3)，即A1(，2)．故答案为(，2)．
13．[答案] 10
14．[答案] 5
∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6 ，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2 ，DF＝5 的三角形，
∵＝＝＝，
∴△ABC∽△DFE，
∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为×2 ÷2＝10，△DEF为所求面积最大的三角形，其斜边长为5 .
15．证明：∵AD，BE是钝角三角形ABC的高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°.
又∵∠DCA＝∠BCE，
∴△DAC∽△EBC，
∴＝.
16．解：(1)(2)画图如下图所示，B2(10，8)．
17．解：过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点P，则CH＝AD＝25 m，CP＝40 cm＝0.4 m，EF＝20 cm＝0.2 m.
由题意，得EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝，即＝，
解得BA＝12.5(m)．
答：旗杆BA的高度为12.5 m.
18．解：(1)四边形GECF是菱形．理由：
∵EG＝EC，DE⊥AC，
∴GO＝CO.
∵GF∥AD，AD∥BC，
∴GF∥BC，
∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，
∴△GFO≌△CEO(AAS)，
∴GF＝EC.
又∵GF∥EC，
∴四边形GECF是平行四边形．
又∵EG＝EC，
∴四边形GECF是菱形．
(2)证明：∵∠DHC＝∠DAH＋∠ADH＝∠DHF＋∠FHC，∠DHF＝∠HAD，
∴∠ADH＝∠FHC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH＝∠ACB.
∵四边形GECF是菱形，
∴CE＝CF，∠HCF＝∠ACB，
∴∠HCF＝∠DAH，
∴△ADH∽△CHF，
则＝.
又∵CF＝EC，∴AH·CH＝EC·AD.