湘教版数学九年级上册 第4章　锐角三角函数 单元综合测试(word版含答案)

第4章　锐角三角函数　 单元综合测试
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是(　　)
A. B. C. D.
2．如图，在5×4的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是(　　)
A．2 B. C. D.
3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为(　　)
A. B. C. D.
4．若α，β是直角三角形的两个锐角，则－tan的值为(　　)
A．0 B．1 C．1－ D.－1
5．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为(　　)
A. B. C. D.
6．如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1∶0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45 m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)(　　)
A．76.9 m B．82.1 m C．94.8 m D．112.6 m
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
7．已知α是锐角，且sinα＝，那么cos(90°－α)＝________，tanα＝________．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝________.
9．计算：sin230°＋tan44°tan46°＋sin260°＝________．
10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，P是第二象限内一点，连接OP.若OP与x轴负半轴之间的夹角α＝50°，OP＝13.5，则点P到x轴的距离约为________．(用科学计算器计算，结果精确到0.01)
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．
12.人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD约为________m．(结果精确到0.1 m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
13．如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面AB的坡度为1∶，则斜坡AB的长是________米．
14．三角尺是我们学习数学的好帮手．将一对三角尺如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是________．
三、解答题(本大题共3小题，共44分)
15．(12分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，解直角三角形：
(1)c＝8 ，∠A＝60°；
(2)a＝2 ，b＝6 .
16．(16分)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，D是AC上一点，若tan∠DBA＝.
(1)求AD的长；
(2)求sin∠DBC的值．
17．(16分)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图0所示，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22°，然后沿MP方向前进16 m到达点N处，测得点A的仰角为45°.测角仪的高度为1.6 m．求观星台最高点A距离地面的高度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41)
图0
答案
1． C　在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝2，∴AB＝2CD＝4，∴sinB＝.故选C.
2． D　如图，连接AC.由勾股定理，得AC＝，AB＝2 ，BC＝，∴△ABC为直角三角形，∴tanB＝＝.
3． A　设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∴sinA＝，tanB＝，a2＋b2＝c2.
∵sinA＝，故设a＝3x，则c＝5x(x＞0)，
结合a2＋b2＝c2，得b＝4x，
∴tanB＝＝＝.
4． A　由题意，得－tan＝－tan45°＝1－1＝0.故选A.
5． D　如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ACD中，CD＝CA·cosC＝1，
∴AD＝＝.
在Rt△ABD中，BD＝CB－CD＝3，AD＝，∴AB＝＝2 ，
∴sinB＝＝.
6． B　如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则四边形DFBE是矩形．
在Rt△DCF中，
∵CD的坡度为1∶0.75，
∴＝.
设DF＝4k，CF＝3k，则CD＝5k.
∵CD＝45，∴k＝9，DF＝36，CF＝27，
∴BE＝36，DE＝BF＝27＋60＝87.在Rt△ADE中，AE＝DE·tan∠ADE≈87×0.53＝46.11，
∴AB≈46.11＋36≈82.1(m)．
7．[答案] 　
8．[答案]
9．[答案] 2
原式＝＋1＋＝2.
10．[答案] 10.34
如图，过点P作PA⊥x轴于点A.
∵sinα＝，
∴PA＝OP·sin50°≈10.34.
故答案为10.34.
11．[答案]
在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A＋∠B＝90°，∠BCD＋∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴tan∠BCD＝tanA＝＝＝.
12．[答案] 1.5　
在Rt△ADC中，AC＝2，α＝50°，则sin50°＝，∴AD＝AC·sin50°≈2×0.77≈1.5(m)．
13．[答案] 20 　
由题意得∠APB＝60°－15°＝45°，PH＝30.∵在P处测得B处的俯角为60°，∴∠PBH＝60°.
又∵斜面AB的坡度为1∶，
∴tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，则△ABP是等腰直角三角形，∴AB＝PB.
由sin∠PBH＝＝，
∴PB＝＝＝20 ，
∴AB＝20 (米)．
14．15－5 　 过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 .
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC·sin30°＝10 ×＝5 ，
CM＝BC·cos30°＝15.
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°.
又∵∠DMB＝90°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM－MD＝15－5 .
故答案是15－5 .
15．解：(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵c＝8 ，∴b＝4 ，
∴a＝＝12.
(2)∵a2＋b2＝c2，a＝2 ，b＝6 ，
∴c＝＝4 .
∵tanA＝＝，∴∠A＝30°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
16．解：(1)过点D作DH⊥AB于点H.
∵△ABC为等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴∠A＝45°，AC＝BC＝8，
∴AH＝DH.
设AH＝x，则DH＝x.
∵tan∠DBA＝，
∴BH＝3x，∴AB＝4x，
由勾股定理可知AB＝＝＝8 ，
∴x＝2 ，
由勾股定理可得AD＝＝4.
(2)∵AD＝4，
∴DC＝AC－AD＝4，
由勾股定理得DB＝＝＝4 ，
∴sin∠DBC＝＝＝.
17．解：如图，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，延长AE交MP于点F，设AE＝x m.
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝x m.
∵BC＝16 m，∴BE＝(x＋16)m.
在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，∴tan22°＝，即0.40≈，解得x≈10.67.
由题意，易知四边形BEFM为矩形，
∴EF＝BM＝1.6 m，
∴AF≈10.67＋1.6＝12.27≈12.3(m)．
答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3 m.