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专题8.6 空间的角综合问题
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.www.21-cn-jy.com
1．（2021·陕西·西安市第八 ( http: / / www.21cnjy.com )十九中学高一阶段练习）如图，在四面体ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成角的大小为60°，则MN与CD所成角的大小为（ ）21*cnjy*com
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A．30° B．60°
C．30°或60° D．15°或60°
【答案】C
【解析】取中点做辅助线，将问题转化成一个三角形内的情况再求解.
【详解】
( http: / / www.21cnjy.com )取中点，连接、，
∵在四面体中，，M、N分别是BC、AD的中点，AB与CD所成角的大小为60°
∴，
，
∴是和所成的角或所成角的补角，
或，
∴或
∴MN与CD所成角为或．
故选：C．
2．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解析】首先取的中点，连接，，根据题意得到为二面角平面角，再计算其大小即可.
【详解】
取的中点，连接，，如图所示：
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由题知： ，又因为为的中点，
所以，且
又因为，所以为二面角平面角.
因为 ( http: / / www.21cnjy.com )，为锐角，所以.
故选：B
3．（2022·全国·高一）在四棱锥中，底面是矩形，平面，E为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点为，连接，然后可得或其补角即为所求，然后设，即可求出答案.
【详解】
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取的中点为，连接，因为E为中点，所以，
所以或其补角即为所求，
设，所以，
所以为等边三角形，所以，
故选：C
4．（2022·全国·高一课时练习）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.
【详解】
如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为
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，
由勾股定理得：，，
∴．
故选：C．
5．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知是等腰三角形，且，，点D是AB的中点．将沿CD折起，使得，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）【出处：21教育名师】
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A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面，可得，通过作，可得平面，并找到直线与平面所成角，然后利用等面积法计算，然后简单计算可得结果.
【详解】
如图，作，垂足为，连接.
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∵，，，
∴平面.
∵平面，∴，
又，，∴平面，
∴为直线与平面所成的角.
由题意：
可知，.
设中，边上的高为，
则.
由，得，
∴，
故选：A.
6．（2022·全国·高一单元测试）如图，已知直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点，且有平面，则直线与侧面所成角的正弦值的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面，可知的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，又为与侧面所成角，可得最长时直线与侧面所成角的正弦值的最小值，可得的最大值为，进而可得正弦的最小值.
【详解】
直三棱柱中，侧棱长为，，，
点是的中点，是侧面含边界上的动点.
由平面，面，
∴，即的轨迹是过与垂直的直线在侧面内的部分，
由及直棱柱的性质，易证：面，且，
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∴为与侧面所成角，
当越大时越小，同时正弦值也越小，又为与的交点时最长，
此时，由△∽△，可得，此时，
∴直线与侧面所成角的正弦值的最小值为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
故选：C.
7．（2021·陕西·虢镇中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高一阶段练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角为（ ）
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A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】由已知画出图形，找出异面直线与所成角，求解三角形得答案．
【详解】
解：如图，
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分别取、、、的中点、、、，
连接、，、、，
可得，，则异面直线与所成角即为（或其补角）．
，，，设，
，，，，
又平面，，则，
则为等边三角形，可得，
即异面直线与所成角为．
故选：．
8．（2022·山东·高一阶段练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且中点为M，过作平行于的截面，过作平行于的截面，记，与底面所成的锐二面角分别为，，若，则的值为（ ）21教育网
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】令平面平面，证明是与平面所成的锐二面角，同理可得，由此证得即可推理作答.
【详解】
令平面平面，平面平面，如图，
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因平面，平面，则，因O是的垂心，则，即有，
又平面，平面，则，而，平面，
于是得平面，又平面，即有，因此，是与平面所成的锐二面角，
即，同理，，因，即，在与中，，
令，显然，则F是AB中点，直线CF是线段AB的中垂线，则，
所以的值为1.
故选：B
二、多项选择题：本大题共4小题，每 ( http: / / www.21cnjy.com )小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．（2022·全国·高一课时练习）两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角 B．一个0度，一个90度 C．均为0度 D．均为90度
【答案】ABC
【解析】根据题意，作出适当的立体图形，结合图形一一判断即可.
【详解】
根据题意，作正方体，连接与.
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对于选项A，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为锐角，故A正确；
对于选项B，由图可知，异面直线和与平面的夹角分别为和，故B正确；
对于选项C，由图可知，异面直线和与平面的夹角都为为，故C正确；
对于选项D，由线面垂直的性质，知若两条直线垂直于同一个平面，则两直线平行，故不可能异面，故D错误.
故选：ABC.
10．（2021·湖南·长郡中学高一期中）下列关于空间角的判断正确的是（ ）．
A．如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
B．两条平行直线与同一个平面所成的角相等
C．一条直线与两条异面直线中的一条所成角为，那么该直线与另一直线所成角也为
D．如果平面平面，如果平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】BD
【解析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项.
【详解】
A.如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故错误；
B. 两条平行直线与同一个平面所成的角相等,故正确；
C. 一条直线与两条异面直线中的一条所成角为，那么该直线与另一直线平行，垂直，或所成角为，都有可能，故错误；21·cn·jy·com
D. 如果平面平面，如果平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补，故正确.21·世纪*教育网
故选：BD
11．（2022·全国·高一课时练习）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
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A．点A到平面A1BC的距离为 B．平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P
C．三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D．二面角A1-BC-A的大小为
【答案】BC
【解析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
A选项，四边形是正方形，所以，所以，
但与不垂直，所以与平面不垂直，所以到平面的距离不是，A选项错误.
B选项，根据三棱柱的性质可知，平面平面，所以平面，
设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知，B选项正确.
C选项，由于平面,平面，所以平面.所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，C选项正确.
D选项，设是的中点，由于，所以，所以二面角的平面角为，由于，所以，D选项错误.
故选：BC
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12．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）
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A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
【答案】BCD
【解析】过D作，交分别于O，R，证明平面即可推理判断A；
作出二面角的平面角，计算判断B；求出点P到平面的最大距离计算
判断C；取AB中点K，证明即可推理判断D作答.
【详解】
在正方形中，过D作，交分别于O，R，令，如图，
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有，则，即是BC中点，
在翻折到的过程中，，，则平面，如图，
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若存在某一翻折位置，使得，而，平面，
则平面，而平面平面，
与过一点有且只有一个平面垂直于已知平面矛盾，即在翻折中AM，PB不垂直，A不正确；
当平面平面时，因，平面平面，平面，
则有平面，又平面，有，在平面内过O作于Q，连PQ，
，平面，则平面，可得，是二面角的平面角，
显然，而，，
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，B正确；
梯形的面积，当且仅当平面平面，即平面时，
点P到平面的距离最大，四棱锥的体积的最大值，最大体积为，C正确；
取AB中点K，连接CK，CN，KN，则有，且，而，
即四边形是平行四边形，，显然与同方向，
由等角定理知，在中，边均为定值，夹角也为定值，
由余弦定理知，CN长为定值，D正确.
故选：BCD
【点睛】
思路点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足
作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）已知圆锥的底面半径为3，母线与底面所成角为，则圆锥侧面积等于___________.2-1-c-n-j-y
【答案】
【解析】画出圆锥的直观图，结合题意，求得圆的底面半径和母线长，利用侧面积公式，即可求解.
【详解】
根据题意，可得，如图所示，
在直角中，可得，即圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
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14．（2021·全国·高一课时练习）如图，若两个平面且平面间的距离为10，是夹在这两个平面间的线段,且长为20，则与这两个平面所成的角为________.
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【答案】##
【解析】
【详解】
如图，过作平面的垂线, 垂足为,因为，则
连接， 则即为与平面所成角的平面角.
因为是直角三角形.所以 因为是锐角
所以
故答案为：
15．（2021·全国·高一课时练习）已知在菱形中，，沿对角线将折起使二面角为，则点到所在平面的距离为_____.
【答案】
【解析】由，得到即为二面角的平面角，结合，得到点到所在平面的距离为，即可求解.
【详解】
如图所示，设，则，
所以即为二面角的平面角，
所以，且，
所以点到所在平面的距离为.
故答案为：.
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16．（2021·江苏省如皋中学高一阶段练习）如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为_______.
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【答案】或##或1
【解析】取的中点，连接、，求出的值，利用余弦定理可求得线段的长.
【详解】
取的中点，连接、，
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、分别为、的中点，
且，
同理可得且，
为异面直线与所成的角或其补角，则或.
在中，.
若，则为等边三角形，此时，；
若，由余弦定理可得.
综上所述，或.
故答案为：或.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.
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(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明平面，可得，同理可证，然后由线面垂直的判断定理即可证明平面；
（2）由，可得即为异面直线与BD所成的角，易知为等边三角形，从而可得异面直线与BD所成的角.www-2-1-cnjy-com
(1)
证明：连接AC，交BD于点O，在正方体中，底面ABCD是正方形，
∴，又∵， 平面，，
∴平面，又∵平面，
∴；同理可证，
又∵ 平面，，
∴平面.
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(2)
解：∵，∴即为异面直线与BD所成的角，
设正方体的边长为a，则易得，
∴为等边三角形，∴，
故异面直线与BD所成的角为.
18．（2022·宁夏·银川一中高一期末）如图，三棱柱中，，，，为的中点，且.
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(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连结与交于点，连结，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；2·1·c·n·j·y
（2）方法一：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面，所以即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；
方法二: 根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证 平面；所以即与平面所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.21教育名师原创作品
(1)
证明：如图一，连结与交于点，连结.
在中，、为中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
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图一
(2)
证明：（方法一）如图二，
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图二
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，
∴四边形是平行四边形，∴与平行且相等.
又平面，∴平面，∴即所求角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设
∴，，，.
（方法二）如图三，
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图三
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，则，∴平面.
∴即与平面所成的角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设，∴，，
∴.
19．（2022·宁夏·银川一中 ( http: / / www.21cnjy.com )高一期末）如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.
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(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由已知可证BC⊥平面SAC，又PM∥BC，则PM⊥面SAC，从而可证平面MAP⊥平面SAC；21cnjy.com
（2）由AC⊥平面SBC，可得∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，则∠AMN=60°，由勾股定理可得，在中，可得，从而在中，即可求解二面角M—AC—B的平面角的正切值.
(1)
证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，
∴BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC；
(2)
解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，
∴AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
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则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，
在中，，
在中，.
20．（2021·甘肃武威·高一期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.21世纪教育网版权所有
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(1)求证A1C⊥平面EBD；
(2)求二面角B1—BE—A1的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）先证明平面，则，再证明平面，则，从而即可证明A1C⊥平面EBD；
（2）由平面，又，则，进而可得是二面角的平面角，在中，求出，即可在中求出，从而即可得答案.【版权所有：21教育】
(1)
证明：平面，，又，，
平面，，
又平面，，且，，
平面，
，又，
A1C⊥平面EBD；
(2)
解：平面，又，
是二面角的平面角，
在中，，
在中，，
.
21．（2021·重庆·高一期末）如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足， . 21*cnjy*com
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(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）构造平行四边形，利用线线平行推线面平行（2）借助（1）的结论，将问题转化为求与平行的直线与平面所成的角
(1)
证明：在中，，
，,
是的中点,,
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在三棱锥中，取的中点,连接,
分别是棱的中点，
,连接,
满足,
四边形是平行四边形，
平面,平面
平面
(2)
翻折前，翻折后，
平面,
平面,
,
，是中点
平面
与平面的所成角为
与平面的所成角等于与平面的所成角，
22．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
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(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析．
(2)．
【解析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理得，从而可得线面平行；
（2）证明平面，得是二面角的平面角，然后在三角形中求得其余弦值．
(1)
连接交于点，连接，如图，
则是中点，又是中点，所以，
平面，平面，所以平面；
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(2)
平面，平面，所以，
又，是中点，所以，
，平面，所以平面，
平面，所以，所以是二面角的平面角，
由，，，得，，，所以，
．
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专题8.6 空间的角综合问题
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21cnjy.com
1．（2021·陕西·西安市第八十 ( http: / / www.21cnjy.com )九中学高一阶段练习）如图，在四面体ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成角的大小为60°，则MN与CD所成角的大小为（ ）21·cn·jy·com
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A．30° B．60°
C．30°或60° D．15°或60°
2．（2021·全国·高一课时练习）如图，在直三棱柱中，底面三角形是等边三角形，且，，则二面角的大小为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2022·全国·高一）在四棱锥中，底面是矩形，平面，E为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知是等腰三角形，且，，点D是AB的中点．将沿CD折起，使得，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为（ ）2-1-c-n-j-y
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A． B． C． D．
6．（2022·全国·高一单元测试）如图，已知直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是侧面含边界上的动点，且有平面，则直线与侧面所成角的正弦值的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
7．（2021·陕西·虢镇中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )一阶段练习）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（2022·山东·高一阶段练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且中点为M，过作平行于的截面，过作平行于的截面，记，与底面所成的锐二面角分别为，，若，则的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B．1 C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5 ( http: / / www.21cnjy.com )分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.www.21-cn-jy.com
9．（2022·全国·高一课时练习）两条异面直线与同一平面所成的角可能是（ ）
A．均为锐角 B．一个0度，一个90度 C．均为0度 D．均为90度
10．（2021·湖南·长郡中学高一期中）下列关于空间角的判断正确的是（ ）．
A．如果空间中的两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等
B．两条平行直线与同一个平面所成的角相等
C．一条直线与两条异面直线中的一条所成角为，那么该直线与另一直线所成角也为
D．如果平面平面，如果平面平面，那么平面与平面所成的二面角和平面与平面所成的二面角相等或互补www-2-1-cnjy-com
11．（2022·全国·高一课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）21*cnjy*com
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A．点A到平面A1BC的距离为 B．平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1P
C．三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D．二面角A1-BC-A的大小为
12．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）【出处：21教育名师】
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A．存在某一翻折位置，使得
B．当面平面时，二面角的正切值为
C．四棱锥的体积的最大值为
D．棱PB的中点为N，则CN的长为定值
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·西藏·拉萨中学高一期末）已知圆锥的底面半径为3，母线与底面所成角为，则圆锥侧面积等于___________.【版权所有：21教育】
14．（2021·全国·高一课时练习）如图，若两个平面且平面间的距离为10，是夹在这两个平面间的线段,且长为20，则与这两个平面所成的角为________.
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15．（2021·全国·高一课时练习）已知在菱形中，，沿对角线将折起使二面角为，则点到所在平面的距离为_____.
16．（2021·江苏省如皋中学高一阶段练习）如图，在四面体中，，AC与BD所成的角为，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为_______.
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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高一期末）已知正方体.
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(1)证明：平面；
(2)求异面直线与BD所成的角.
18．（2022·宁夏·银川一中高一期末）如图，三棱柱中，，，，为的中点，且.
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(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
19．（2022·宁夏·银川一 ( http: / / www.21cnjy.com )中高一期末）如图，在三棱锥S—ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM=AC=1，∠ACB=90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.
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(1)求证：平面MAP⊥平面SAC.
(2)求二面角M—AC—B的平面角的正切值；
20．（2021·甘肃武威·高一期末 ( http: / / www.21cnjy.com )）已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.21教育网
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(1)求证A1C⊥平面EBD；
(2)求二面角B1—BE—A1的正切值.
21．（2021·重庆·高一期末）如图所示，图（1）中的中，，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点、分别是棱、的中点，、分别在棱、上，满足， . 2·1·c·n·j·y
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(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
22．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在三棱柱中，点D是AB的中点．
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(1)求证：平面．
(2)若平面ABC，，，，求二面角的平面角的余弦值．
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