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专题8.5 空间直线、平面的垂直
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.www-2-1-cnjy-com
1．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的个数是（ ）21*cnjy*com
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
⑤若，，则
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】根据空间线面位置关系的判定、性质或一般结论进行判断．
【详解】
解：对于①若，，则与可能平行，相交或异面，故错误；
对于②若，，根据线面垂直的性质定理可得，故正确；
对于③若，，则或，故错误；
对于④若，，则或或或与相交，故错误．
对于⑤若，，根据线面垂直的性质定理可得，故正确；
故选：B
2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】A
【解析】利用面面垂直的性质，线面的位置关系，面面的位置关系，结合几何模型即可判断.
【详解】
对于A，在平面内取一点P，在平面内过P分别作平面与，与的交线的垂线a,b，
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则由面面垂直的性质定理可得，又，
∴，由线面垂直的判定定理可得，故A正确；
对于B，若，，则与位置关系不确定，可能与平行、相交或在内，故B错误；
对于C，若，，则与相交或平行，故C错误；
对于D，如图平面，且，，，
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显然与不垂直，故D错误.
故选：A.
3．（2021·陕西·渭南市华州区咸林中学高一阶段练习）已知平面与平面交于直线，且直线，直线，且直线，，不重合，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，且与不垂直，则
B．若，，则
C．若，，且与不平行，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】根据面面垂直、线线垂直的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
依题意，直线，直线，且直线，，不重合，
对于A选项，，，且与不垂直，
设，则相交，根据面面垂直的性质定理可知，所以，
由于相交，所以，所以.所以A选项正确.
对于B选项，，，根据面面垂直的性质定理可知，所以，所以B选项正确.
对于C选项，，，且与不平行，则相交，所以，由于，所以，所以C选项正确.
对于D选项，，，与不一定垂直，所以D选项错误.
故选：D
4．（2020·江苏·东台创新高级中学高一阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法.【出处：21教育名师】
【详解】
选项A: 若，则或或与相交.说法错误；
选项B: 若，则.说法正确；
选项C: 若，则.说法错误；
选项D: 若，则或是异面直线.说法错误.
故选：B
5．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（ ）21*cnjy*com
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①平面；
②平面；
③平面平面.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】通过线线垂直证明线面垂直及面面垂直，通过线线平行证明线面平行.
【详解】
三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，
又为的中点，所以,且,平面ABA1,
所以平面，
又平面，所以平面平面，故①③都正确；
连接交于点，再连接，可知为的中位线，
所以，又平面，在平面外，
所以平面，故②正确.
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故选：D
6．（2021·全国·高一课时练习）下列关于直线与平面间的位置关系的命题正确的个数是（ ）
①若空间中四条直线、、、，满足，、，则、的位置关系不确定；
②设、、均为直线，其中、在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件；
③直线、互相平行的一个充分不必要的条件是、都垂直于同一个平面
④已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据线线，线面的位置关系，结合平行，垂直关系的转化，判断选项.
【详解】
对于A选项，若空间中四条直线、、、，满足，、，则、平行、相交或异面，故A正确；
对于B选项，根据线面垂直的性质可知，“”是“且”的充分条件，
但反过来，如果，就不能推出，
所以“”是“且”的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，两直线垂直于同一个平面，两直线平行，
但反过来，两直线平行，不一定垂直于平面，
所以直线、互相平行的一个充分不必要的条件是、都垂直于同一个平面，故C正确；
对于D选项，假设与平行，因为平面，平面，则，
这与“、为异面直线”矛盾，假设不成立，故与相交，设与的交线为，
因为平面，平面，，，则，，
因为直线满足，，且、为异面直线，
设直线，且，设直线、确定平面，
( http: / / www.21cnjy.com )
因为，则，因为且，，故，同理，
因为，，故与不重合，故，故D正确.
故选：D.
7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．平面 B．，
C．，平面平面 D．，
【答案】D
【解析】A选项利用线面垂直（平面）可推出线线垂直（），B选项利用两组线线垂直（，）推出线面垂直（平面），再推出线垂直（），C选项利用面面垂直的性质定理可推出，D选项不能证明出.
【详解】
平面，平面， ，故A选项可以证明，因此不选. ，，平面，平面，平面，.故B选项可以证明，因此不选.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性质定理知平面.平面，，故C选项可以证明，因此不选.由D选项，并不能推出.
故选：D.
8．（2022·贵州·模拟预测（ ( http: / / www.21cnjy.com )理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
【答案】C
【解析】利用面面垂直的判断，再结合面面关系的判断方法逐项分析作答.
【详解】
因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，
则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；
在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，
( http: / / www.21cnjy.com )
因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，
若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，
于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；
过A作边上的高，连，由得，是边上的高，
则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；
因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，
平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.
故选：C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分， ( http: / / www.21cnjy.com )共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.21教育网
9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】根据空间直线、平面间的位置关系、线面垂直的判定定理和性质定理判断．
【详解】
由线面垂直的判定定理可得A正确，由线面垂直的性质定理可得B正确，
，可能有，C错误，时可能有，，与相交（可能垂直），D错误，
故选：AB．
10．（2021·河北邢台·高一阶段练习）设，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．若，，且，则 B．若，，，且，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
【答案】BC
【解析】利用空间中线面、面面之间得位置关系及性质逐一判断即可.
【详解】
解：如果，，且，那么，不一定平行，所以A错误；
如果，，且，那么是正确的，所以B正确；
如果，，，，那么由面面垂直的判定得是正确的，所以C正确；
若，，且，，不一定垂直，所以D错误．
故选：BC.
11．（2021·全国·高一课时练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】ABD
【解析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以A正确；
对于B中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以B正确；
对于C中，假设平面平面，过点作，可得平面，
因为平面，所以，又由，且，
所以平面，可得，这与矛盾，
所以平面与平面不垂直，所以C不正确；
对于D中，由已知底面，且底面为矩形，
所以，且,平面，
所以平面，又由平面，所以平面平面，所以D正确.
故选：ABD.
( http: / / www.21cnjy.com )
12．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体，则四个推断正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
【答案】BCD
【解析】对于A，与成角；对于B，由，，得；对于C，由，，得平面平面；对于D，由，，得平面平面．【版权所有：21教育】
【详解】
在正方体中，
( http: / / www.21cnjy.com )
对于A，由正方体的性质可知，
所以即为异面直线与所成的角，
在中显然，所以与成角，故A错误；
对于B，，，，故B正确；
对于C，，，、平面，、平面，
∴平面，平面，又，
平面平面，故C正确；
对于D，，，，平面，
所以平面，又平面
平面平面，故D正确．
故选：BCD．
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体的各条棱所在直线中，
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
【答案】 ##
【解析】根据线线垂直的知识确定正确结论.
【详解】
（1）与直线垂直的直线有：，共条.
（2）与直线异面且垂直的直线由，共条.
（3）与直线和都垂直的直线有，共条.
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线.
故答案为：；；；
14．（2022·全国·高一单元测试）已知所在的平面，且，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是___________.21·cn·jy·com
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【答案】4
【解析】直接由线面垂直的性质及线面垂直的判定即可得到答案.
【详解】
由所在的平面，得，，
所以，均为直角三角形，
由，可知为直角三角形，
因为所在的平面，所以，
又，且，
所以面，即，则为直角三角形.
故图中直角三角形的个数是4.
故答案为：4.
15．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】(答案不唯一)
【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.2·1·c·n·j·y
【详解】
根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.
故答案为：.
16．（2021·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.有下列四个命题：21·世纪*教育网
①若，，则；
②若，，；
③若，，，则；
④若，，，则.
其中正确命题的序号是___________.
【答案】②③##③②
【解析】对于①，④，举出符合条件的特例说明即可判断；对于②，利用面面、线面平行的定义即可判断；对于③，利用线面垂直的判定即可判断作答.21教育名师原创作品
【详解】
对于①，如图直三棱柱ABC-A1B1C1，侧面ABB1A1所在平面为，底面ABC所在平面为，侧面ABB1A1的对角线所在直线为m，
( http: / / www.21cnjy.com )
显然，，，而m不垂直于，①不正确；
对于②，因，则与无公共点，而，于是得m与无公共点，因此，，②正确；
对于③，因，，则，又，于是得，③正确；
对于④，在上述直三棱柱ABC-A1B1C1中，若底面是直角三角形，，必有平面ABB1A1，边BC所在直线为m，
侧面ABB1A1，侧面ACC1A1所在平面分别为，底面ABC所在平面为，显然有，，，而m为的斜线，④不正确，
所以正确命题的序号是②③.
故答案为：②③
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知正方体ABCD-的棱长为2.
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(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）将问题转化为求即可；
（2）根据线面垂直证明线线垂直.
(1)
在正方体ABCD-中，易知⊥平面ABD，
∴.
(2)
证明：在正方体中，易知，
∵⊥平面ABD，平面ABD，∴.
又∵，、平面，∴BD⊥平面.
又平面，∴.
18．（2022·湖南·高一课时练习）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，点D，E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且．求证：平面PFE．21cnjy.com
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【答案】证明见解析.
【解析】由等腰三角形的性质证明PE⊥AC.然后证明出PE⊥AB，AB⊥EF，利用线面垂直的判定定理证明直线AB⊥平面PEF.
【详解】
由知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC.
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，且平面PAC，PE⊥AC，
所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.
因为，EF//BC，故AB⊥EF，
从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，
所以AB⊥平面PEF.
19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
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(1)平面PAD；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)利用面面得到平面；
(2)证明面，从而得．
(1)
四边形是的菱形，
∴为等边三角形，又为的中点，∴，
又∵平面平面，平面，平面平面，
∴平面；
(2)
，为的中点，∴，
又，，平面，
∴平面，又∵面，
∴．
20．（2022·陕西·西安市第七 ( http: / / www.21cnjy.com )十五中学高一阶段练习）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：2-1-c-n-j-y
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(1)PC∥平面EBD；
(2)BC⊥平面PCD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）连AC，与BD交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）证明BC⊥PD，BC⊥CD，即可证明BC⊥平面PCD．
(1)
连AC，与BD交于O，连接EO
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∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵E是PA的中点，
∴EO∥PC
又∵EO 平面EBD，PC 平面EBD
∴PC∥平面EBD；
(2)
∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD＝D
∴BC⊥平面PCD．
21．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．
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(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；
(2)求证：平面平面ABCD．
【答案】(1)垂直，理由见解析；
(2)证明见解析.
【解析】(1)根据给定条件证明即可推理作答.
(2)利用(1)的信息可得，结合已知证得平面即可推理作答.
(1)
CD与平面PAD垂直，
在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，
则有，即，而，，平面，
所以平面.
(2)
由(1)知，平面，而平面，则，又，
因是直角梯形的两条腰，即直线必相交，因此，平面，而平面，
所以平面平面.
22．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．
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(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定推理作答.
（2）将到平面的距离转化为到平面的距离，再利用等体积法计算作答.
(1)
在四棱锥中，底面，平面，则，
在中，，而，即有，
则有，因，平面，
所以平面.
(2)
由（1）可得，，因，则，
，，令到平面的距离为h，
由，即得：，解得，
因，平面，平面，于是得平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离.
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专题8.5 空间直线、平面的垂直
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.www-2-1-cnjy-com
1．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
①若，，则
②若，，则
③若，，则
④若，，则
⑤若，，则
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．（2021·陕西·西安市远东一中高一期末）已知，，是三个不同的平面，是一条直线，则下列说法正确的是（ ）21·世纪*教育网
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
3．（2021·陕西·渭南市华州区咸林中学高一阶段练习）已知平面与平面交于直线，且直线，直线，且直线，，不重合，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，且与不垂直，则
B．若，，则
C．若，，且与不平行，则
D．若，，则
4．（2020·江苏·东台创新高级中学高一阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）【出处：21教育名师】
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）如图，在直三棱柱中，为的中点，下列说法正确的个数有（ ）2·1·c·n·j·y
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①平面；
②平面；
③平面平面.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2021·全国·高一课时练习）下列关于直线与平面间的位置关系的命题正确的个数是（ ）
①若空间中四条直线、、、，满足，、，则、的位置关系不确定；
②设、、均为直线，其中、在平面内，则“”是“且”的充分不必要条件；
③直线、互相平行的一个充分不必要的条件是、都垂直于同一个平面
④已知、为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于.21教育网
A． B． C． D．
7．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．平面 B．，
C．，平面平面 D．，
8．（2022·贵州·模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )预测（理））如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（ ）2-1-c-n-j-y
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A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5 ( http: / / www.21cnjy.com )分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.21世纪教育网版权所有
9．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·河北邢台·高一阶段练习）设，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）21cnjy.com
A．若，，且，则 B．若，，，且，则
C．若，，且，则 D．若，，且，则
11．（2021·全国·高一课时练习）在四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中正确的是（ ）【版权所有：21教育】
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
12．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知正方体，则四个推断正确的是（ ）
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A． B．
C．平面平面 D．平面平面
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·全国·高一课时练习）如图，在长方体的各条棱所在直线中，
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（1）与直线AB垂直的直线有__________条；
（2）与直线AB异面且垂直的直线有__________条；
（3）与直线AB和都垂直的直线有__________条；
（4）与直线AB和都垂直且相交的直线是直线__________．
14．（2022·全国·高一单元测试）已知所在的平面，且，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是___________.21·cn·jy·com
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15．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学高一期末）如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
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16．（2021·陕西·西安市第八十九中学高一阶段练习）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面.有下列四个命题：21*cnjy*com
①若，，则；
②若，，；
③若，，，则；
④若，，，则.
其中正确命题的序号是___________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知正方体ABCD-的棱长为2.
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(1)求三棱锥的体积；
(2)证明：.
18．（2022·湖南·高一课时练习）如图，三棱锥中，平面平面ABC，，点D，E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且．求证：平面PFE．【来源：21cnj*y.co*m】
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19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．求证：
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(1)平面PAD；
(2)．
20．（2022·陕西·西安市第七 ( http: / / www.21cnjy.com )十五中学高一阶段练习）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：21教育名师原创作品
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(1)PC∥平面EBD；
(2)BC⊥平面PCD．
21．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．
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(1)判断CD是否与平面PAD垂直，并证明你的结论；
(2)求证：平面平面ABCD．
22．（2021·江苏·南京师大苏州实验学校高一阶段练习）如图，如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面．
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(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
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