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专题8.2 简单几何体的表面积与体积
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2·1·c·n·j·y
1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ）21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
2．（2022·陕西商洛·高一期末）《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（ ）
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A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸
3．（2022·全国·高一单元测试）已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）【版权所有：21教育】
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A．
B．
C．
D．
4．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
5．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）21教育网
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
6．（2022·全国·高一）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ）21世纪教育网版权所有
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A．1cm B．2cm C．3cm D．
7．（2022·陕西渭南·高一期末）古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
8．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ）
A． B．5 C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题， ( http: / / www.21cnjy.com )每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.www-2-1-cnjy-com
9．（2021·全国·高一课时练习）（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高一课时练习）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高一专题练习）我 ( http: / / www.21cnjy.com )国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）21cnjy.com
A．半径是3 B．体积为
C．表面积为 D．表面积为
12．（2022·全国·高一课时练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
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A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）用长和宽分别为和的矩形纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径为___________.【来源：21·世纪·教育·网】
14．（2021·陕西·西安市远东 ( http: / / www.21cnjy.com )一中高一期末）已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.【来源：21cnj*y.co*m】
15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.www.21-cn-jy.com
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16．（2021·黑龙江鸡西·高一 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
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四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.
18．（2022·湖南·高一课时练习）《九章 ( http: / / www.21cnjy.com )算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及委米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有多少斛．【出处：21教育名师】
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19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．21·世纪*教育网
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20．（2022·湖南·高一课时练习）如图，有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少个（铁的密度是）？21*cnjy*com
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21．（2022·湖南·高一课时练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且．求三棱锥体积的最大值．
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22．（2022·湖南·高一课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题8.2 简单几何体的表面积与体积
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.www-2-1-cnjy-com
1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据等边三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】
因为四面体的各棱长均为，
所以四面体的四个面都是等边三角形，
所以该四面体的表面积为，
故选：D
2．（2022·陕西商洛·高一期末）《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（ ）
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A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸
【答案】C
【解析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长2·1·c·n·j·y
【详解】
由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).
设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).
故选：C
3．（2022·全国·高一单元测试）已知如左图棱长为的正方体，沿阴影面将它切割成两块，拼成如右图所示的几何体，那么拼成的几何体的全面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据新几何体与原正方体的对比，观察新增哪些部分，减少哪些部分，然后在进行计算.
【详解】
拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，
∵截面为矩形，长为，宽为，∴面积为，
∴拼成的几何体表面积为，
故选：B.
4．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为，其中，则此三棱柱的表面积为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图，然后可解.
【详解】
由斜二测画法的“三变”“三不变”可得底面平面图如图所示，其中，所以，所以此三棱柱的表面积为.
故选：C
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5．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）21教育网
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
【答案】A
【解析】设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.21·cn·jy·com
【详解】
设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，
∴6a2＝6，∴a＝1cm，即2R＝1，∴Rcm，
∴球的体积
故选：A.
6．（2022·全国·高一）牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为和的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A，在内球表面上有一点B，连接AB，则线段AB长度的最小值是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．1cm B．2cm C．3cm D．
【答案】A
【解析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求.
【详解】
设外球和内球的半径分别为和,则,解得,
当B在大球的过A的半径上时AB的长最小，
∴AB长度的最小值是,
故选：A
7．（2022·陕西渭南·高一期末）古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题目给出的条件可知，圆柱内切球的表面积圆柱表面积的，通过圆柱的体积求出圆柱底面圆半径和高，进而得出表面积，再计算内切球的表面积.
【详解】
设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，
所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为.
故选：A.
8．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，由球的体积求出的长度，再求出，由三棱锥体积公式求解即可.
【详解】
因为，，
易知三角形ABC为等腰直角三角形，
又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，
则可将三棱锥放入长方体内，如图，
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长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，
,
又，
解得,
所以三棱锥的体积，
故选：A
二、多项选择题：本大题共 ( http: / / www.21cnjy.com )4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.【出处：21教育名师】
9．（2021·全国·高一课时练习）（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．
【详解】
设圆柱底面半径为，
若高是，则，，，
若高是，则，，．
故选：AB．
10．（2022·全国·高一课时练习）正三棱锥的外接球半径为2，底面边长为，则此三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】首先设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，得到，再分类讨论求解三棱锥体积即可。
【详解】
设三棱锥的外接球的球心为，三角形的中心为，
由题知：，解得.
当外接球球心在线段上时，如图所示：
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，，
所以.
当外接球球心在线段的延长线上时，如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
，，
所以.
故选：AB
11．（2022·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )一专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）
A．半径是3 B．体积为
C．表面积为 D．表面积为
【答案】ABC
【解析】作出正四棱锥的对角面，为半球的半个大圆的内接三角形，由图形可用球的半径表示出棱锥底面边长，高，由棱锥体积求得半球半径．然后计算半球体积，表面积，判断各选项．
【详解】
如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为，是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为，棱锥体积为，，
半球体积为，
表面积为，
故选：ABC．
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12．（2022·全国·高一课时练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ）
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A．该圆台轴截面面积为
B．该圆台的体积为
C．该圆台的母线与下底面所成的角为30°
D．沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为
【答案】ABD
【解析】求出圆台的高，由梯形的面积公式可判断A；由台体的体积公式可判断B；由台体的母线与高可判断C；将圆台补成圆锥，侧面展开，取的中点为，连接，可判断D.
【详解】
解：由，且，
可得，高，
则圆台轴截面面积为，故A正确；
圆台的体积为，故B正确；
圆台的母线与下底面所成的角为，其正弦值为，
所以，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为，底面半径为，
侧面展开图的圆心角为，
设的中点为，连接，
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可得，，，
则，所以沿着该圆台表面，
从点到中点的最短距离为，故D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2021·陕西·西安高级中学高一阶段练习）用长和宽分别为和的矩形纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径为___________.21世纪教育网版权所有
【答案】或
【解析】分别以和为圆柱底面的周长，然后根据圆的周长公式，即可求出底面的半径．
【详解】
设底面圆的周长半径为，
若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长，
∴，
若以长的边为底面周长，则圆柱的底面周长
∴.
故答案为：或.
14．（2021·陕西·西安市远 ( http: / / www.21cnjy.com )东一中高一期末）已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为____________.21cnjy.com
【答案】##
【解析】由题可得，然后利用圆锥的体积公式即得.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，高为h,由圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，
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∴，
∴该圆锥的体积为.
故答案为：.
15．（2022·湖南·高一课时练习）如图，在三棱柱中，D，E，F分别是AB，AC，的中点.设三棱锥F－ADE的体积为，三棱柱的体积为，则＝________.21·世纪*教育网
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【答案】1∶24##
【解析】分别算出三棱锥F－ADE的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.【版权所有：21教育】
【详解】
设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积.
∵D，E分别为AB，AC的中点，∴的面积等于.
又∵F为的中点，∴F到底面ABC的距离是到底面ABC距离h的一半，即为.
∴于是三棱锥F－ADE的体积，则.
故答案为：.
16．（2021·黑龙江鸡西·高一期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.
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【答案】32
【解析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.
【详解】
在正四面体中易知，是正棱锥的高，是正棱锥的斜高，
, ,
,
，
故答案为：32
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·湖南·高一课时练习）已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.
【答案】πa3
【解析】将四面体返还到正方体，进而求该正方体的外接球体积即可.
【详解】
如图，将该四面体返还到正方体，则四面体的外接球与正方体的外接球是同一个球，球的直径恰为正方体的对角线长.www.21-cn-jy.com
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易知正方体的棱长为，则对角线长为，故球的半径，体积.
18．（2022·湖南·高一课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及委米几何？”其意思是：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有多少斛．21*cnjy*com
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【答案】斛
【解析】由地面弧长求出圆锥底面半径，再利用体积公式求总体积，再代换为斛即可.
【详解】
解：设圆锥的底面半径为，则，又取圆周率约为3
解得，故米堆的体积（立方尺）．
∵1斛米的体积约为1.6立方尺，故总体积为（斛）.
19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现：图中圆柱的体积是球体积的，圆柱的表面积也是球表面积的．他的发现是否正确？试说明理由．2-1-c-n-j-y
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【答案】正确，理由见解析
【解析】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球与圆柱的体积与表面积，作比即可得出结论．21*cnjy*com
【详解】
解：设球的半径为，
则圆柱的底面半径为，高为，
，，
，
，，
．
所以他的发现正确.
20．（2022·湖南·高一课时练习）如图，有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．问约有毛坯多少个（铁的密度是）？
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【答案】252
【解析】根据图形可知六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱体积和一个圆柱体积之差，
结合正六棱柱和圆柱的体积公式计算即可.
【详解】
六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱体积和一个圆柱体积之差，
由题意知，正六棱柱的底面积为：，
则正六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以毛坯的体积为：
，
则毛坯的数量为：(个)
21．（2022·湖南·高一课时练习）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且．求三棱锥体积的最大值．
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【答案】.
【解析】根据给定条件求出的最大值即可计算作答.
【详解】
依题意，，则，当且仅当时取“=”，
即当时，，因平面，
则，
所以三棱锥体积的最大值是.
22．（2022·湖南·高一 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）一个几何体共有六个侧面且都是全等的等腰梯形，等腰梯形的上底长为10cm，下底长为15cm，腰为9cm，上、下底面都是正六边形，求该几何体的全面积．
【答案】
【解析】分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，先求出斜高AE，分别求出侧面积和底面积，即可求出表面积.
【详解】
如图所示其中一个等腰梯形,
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分别过A,B作AE⊥CD,BF⊥CD,E,F分别为垂足，则四边形AEFB为矩形.其中EF=AB=9,，所以.
所以该几何体的侧面积,上下底面积的和，
所以该几何体的全面积.
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