1.2 空间向量基本定理(1)
学习目标：
1.理解空间向量基本定理及基底的概念；
2.在立体图形中，由基向量的线性运算合成其他向量.
学科素养：
1.有平面向量基本定理类比理解空间向量基本定理，发展数学抽象素养；
2.空间向量基本定理在立体图形中的应用，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：理解空间向量基本定理；
难点：理解空间向量基本定理的应用.
学习过程：
一、空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量，， ，那么对任意一个空间向量，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z.
2.基底与基向量
任意三个 向量，，，{，，}叫做空间的一个 ，，，都叫做 .
思考：能作为基向量吗？
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ，常用{，，}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量x，y，z，使＝x+y+z.像这样，把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量 分解．
二、基本题型
题型1---------基底的判断
【例】已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
【巩固练习】
若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
解题流程梳理：
题型2---------利用基底合成向量
【例1】已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为，上的点，，设，，，则向量用为基底表示为( )
A. B. C. D.
解题流程梳理：
【例2】如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
解题流程梳理：
【巩固练习】
1.在平行六面体中，是线段的中点，若，则 ．
2.如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点，以，，为基底，则 ．
【答案】
练习失误处反馈：
三、小结
四、课后作业
1.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
2.如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用，，表示向量；
若，，，求的长．
3.在平行六面体中，，，，， 若，，．
用基底表示向量；
求向量的长度．1.2 空间向量基本定理(1)
学习目标：
1.理解空间向量基本定理及基底的概念；
2.在立体图形中，由基向量的线性运算合成其他向量.
学科素养：
1.有平面向量基本定理类比理解空间向量基本定理，发展数学抽象素养；
2.空间向量基本定理在立体图形中的应用，发展数学运算素养.
学习重点与难点：
重点：理解空间向量基本定理；
难点：理解空间向量基本定理的应用.
学习过程：
一、空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量，， ，那么对任意一个空间向量，存在 的有序实数组(x，y，z)，使得=x+y+z.
2.基底与基向量
任意三个 向量，，，{，，}叫做空间的一个 ，，，都叫做 .
思考：能作为基向量吗？
3．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两 ，且长度都为 ，常用{，，}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量x，y，z，使＝x+y+z.像这样，把一个空间向量分解为三个两两 的向量，叫做把空间向量 分解．
二、基本题型
题型1---------基底的判断
【例】已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：，不可能含有， ，、、不共面，可以构成基底.
故选D．
解题流程梳理：
【巩固练习】
若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解题流程梳理：
题型2---------利用基底合成向量
【例1】已知四棱锥，底面为平行四边形，，分别为，上的点，，设，，，则向量用为基底表示为( )
A. B. C. D.
【答案】D
解析：
.
.
).
.
.
故选D.
解题流程梳理：
【例2】如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：
。
。
。
。
。
。
.
故选：．
解题流程梳理：
【巩固练习】
1.在平行六面体中，是线段的中点，若，则 ．
【答案】
解析：
.
，
，．
故答案为：．
2.如图，在空间四边形中，和为对角线，为的重心，是上一点，以，，为基底，则 ．
【答案】
解析：连接.
.
.
．
故答案为．
练习失误处反馈：
三、小结
四、课后作业
1.若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.如图所示，三棱柱中，，分别是，上的点，且，设，，．
试用，，表示向量；
若，，，求的长．
解析：
.
.
.
；
.
1
，
，．
3.在平行六面体中，，，，， 若，，．
用基底表示向量；
求向量的长度．
解析：
.
，
．
，
.
.
=
．
