03　含参二次函数的最值　讲义——2022-2023学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册（word版含答案）

课程主题： 含参二次函数的最值
学习目标 学会通过判断开口方向、对称轴和区间解决二次函数的最值 2、学会分类讨论的方法
教学内容
一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设，求在上的最大值与最小值． 分析：将配方，得对称轴方程 当时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 当时，抛物线开口向上，此时函数在上具有单调性，故在离对称轴较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 二次函数是中学数学最基本也是最重要的函数，是函数内容中的核心知识之一，二次函数最值渗透在高中整个过程的许多环节里，历来都是高考试题的重点、热点；二次函数最值与二次函数的开口方向、给定区间、对称轴位置有关，当三者确定时，结合图象最值容易求出，当三者中有不确定因素时，往往需要配方、分类讨论与数形结合。 一、轴定区间动 【例题精讲】 例1.已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论． 解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2； （2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2； （3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0； （4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0． 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 例2.当时，求函数的最小值(其中为常数)． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：由于所给的范围随着的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数的对称轴为．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时：当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时： 当时，． 综上所述： 【课堂练习】 1.设a为实数，函数，求f(x)的最小值． 解析：（1）当时， ①若，则; ②若，则 （2）当时， ①若，则;； ②若，则 综上所述，当时，；当时，；当时，． 2.求函数在x∈［a,a+2］上的最值。 解： ∴此函数图像开口向上，对称轴x=1 ①当a＞1时，a距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远， ∴当x=a时，=- a２+3 ,x=a+2时，= a２ +2a+3 ②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远， ∴当x=1时，=2 ,x=a+2时，= a２ +2a+3 ③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a距x=1最远， ∴当x=1时，=2 ,x=a时，=a２-2a+3 ④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a距x=1最远， ∴当x=a+2时，= a２ +2a+3 ,x=a时，= a２ -2a+3 二、轴动区间定 【例题精讲】 例1.当时，求函数的最大值（其中为常数）． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析：二次函数开口向下，对称轴方程为，对称轴随的变化而变化，所以需要比较对称轴与范围的相对位置。 解：函数的对称轴方程为，画出其草图： (1) 当对称轴在所给范围左侧．即时：当时，； (2) 当对称轴在所给范围之间．即时： 当时，； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即时：当时，． 综上所述：． 例2.求函数在上的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）；由图可知 （2）；由图可知 （3） 时；由图可知 ；即． 【课堂练习】 1.求函数在上的最值。
分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解： ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a＜0时，0距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远， ∴x=0时，=3，x=4时，=19-8a ②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远， ∴x=a时，=3-a2，x=4时，=19-8a ③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远， ∴x=a时，=3-a2，x=0时，=3 ④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，0距对称轴x=a最远， ∴x=4时，=19-8a，x=0时，=3 2.已知函数在区间上最大值为1,求实数a的值 分析:取a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论. 解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在上取不到最大值为1,∴a≠0 2)若a≠0,则的对称轴为 (Ⅰ)若，解得，此时 a<0, 为最大值，但 (Ⅱ) 若解得此时 距右端点2较远 最大值符合条件 (Ⅲ) 若解得 当时 当时 综收所述或 三、轴变区间变 【例题精讲】 例1.已知，求的最小值． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】将代入u中，得 ①，即时， ②，即时， 所以． 【课堂练习】 1.已知函数在上恒大于或等于０，其中实数,求实数b的范围． 分析：找出函数的对称轴：结合区间讨论或的情况 解：∵ 若时，f(x)在上是减函数 ∴=即≥0则条件成立 令 (Ⅰ)当3b+5≤3时.即则函数g(x)在上是增函数 ∴ 即解得b≥3或b≤-1 ∵,∴b≤-1 (Ⅱ)当3b+5>3即, 若-30b-31≥0解得与矛盾; (2)若时, 即-10a-6≥0 解得与矛盾; 综上述：b≤-1 评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。 最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行． 逆向型 【例题精讲】 例1、已知函数在区间上的值域是，求m，n的值． 解析1：讨论对称轴中1与的位置关系． ①若，则 解得 ②若，则，无解 ③若，则，无解 ④若，则，无解 综上， 解析2：由，知，则，f(x)在上递增． 所以 解得 评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m，n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了． 例2、函数在2x3上有最大值5及最小值2，求a，b的值． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】对称轴方程为 当时，有时取最大值，时取最小值，则 得 当时，有时取最大值，时取最小值，则 得 经检验均符合题意， 所以或 【课堂练习】 1、已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪．若注意到的最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程简明． 解：（1）令，得，此时抛物线开口向下，对称轴为，且 故不合题意； （2）令，得，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故符合题意； （3）若，得，经检验，符合题意． 综上，或 评注：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法． 2、已知函数的最大值为，求的值． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】，对称轴为， （1）当，即时，，得或（舍去）． （2）当，即时，函数在单调递增， 由，得． （3）当，即时，函数在单调递减，由，得（舍去）． 综上可得：的值为或． 1、二次函数最值与二次函数的开口方向、给定区间、对称轴位置有关，当三者确定时，结合图象最值容易求出，当三者中有不确定因素时，往往需要配方、分类讨论与数形结合。 2、在用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行． 1、已知y= x2+2ax+1a在0x1上最大值是2，求实数a的值． 【难度】★★ 【答案】 2、已知函数在区间上有最小值3，求的值． 【难度】★★★ 【答案】或 3、设函数，对于满足的一切值都有，求实数的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 4、已知关于的函数，当函数图像经过点时，试证明函数有两个不等的零点，且分别在和内。 答案：利用 5、无论m取何值时，方程的实根个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C、 2个 D、 3个 6、如果函数对任意实数都有，那么（ ） A、 B、 C、 D、 7、已知二次函数(为常数)且满足条件：，有等根 求的解析式 是否存在实数使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出，如果不存在说明理由。 答案：（1） （2）存在