11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
人教版八年级上册
知识回顾
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你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
放、
靠、
过、
画.
教学目标
3. 掌握利用三角形的高、中线、角平分线解决问题的能力.
1. 了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念.
2. 掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点.
新知导入
知识点 1
三角形高的概念
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
A
B
C
D
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新知探究
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图， 线段AD是BC边上的高.
几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°.
新知探究
问题1：一个三角形只有一条高吗？你还能画出其他高吗？
A
B
C
D
E
F
新知探究
问题2：你能画出直角三角形和钝角三角形各条边上的高吗？
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
新知探究
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
问题3：综合上述，三种三角形的高各有什么特点？
答：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；
直角三角形有两条高就是直角的边；
钝角三角形有两条高再三角形外部。
新知探究
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
问题4：三种三角形的高有没有共同点？
答：三种三角形的高都交于1点，锐角三角形交点在三角形内部，直角三角形交点在直角顶点上，钝角三角形交点在三角形外部。
课堂小结
三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部
三条高的交点 三条高交于三角形内部 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
新知典例
1．下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（　　）
A
B
D
C
B
课堂练习
3．在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（　　）
A
B
D
C
D
新知探究
三角形中线的概念
知识点 2
一位农民伯伯想把一块三角形的土地平均分给自己的两个孩子，你能帮助老人平分这个三角形土地吗？
新知探究
问题1 能够平分一个线段的点叫 。
A
C
B
AC=BC= AB
线段的中点
问题2 如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
新知探究
问题3 如果点D是△ABC的边AB的中点，连接CD，是否能将△ABC分成面积相等的两个三角形呢？你能验证这个结论吗？
B
A
C
D
新知探究
B
A
C
D
验证 计算△BCD和△ACD的面积，看看是否相等。
①延长AB，过点C做AB的垂线CE（AB边上的高）
②△BCD的面积
△ACD的面积
而AD=BD，所以△BCD和△ACD的面积相等。
E
= CE×BD
= CE×AD
这条重要的线段CD就叫做△ABC的中线
新知探究
三角形中线的概念
2.表示方法：
AD是△ABC的边BC上的中线，
点D是边BC的中点，
BD=CD= BC.
1.定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
D
C
B
A
问题4 一个三角形可以画出几条中线呢？动手画一画
新知探究
　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
归纳发现：
①三角形的三条中线相交于一点，
②定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
新知典例
例2 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28 cm，AB比AC长5 cm，则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm　 B.23 cm　 C.22 cm 　D.21 cm
解： ∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差
=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC.
∵△ABD的周长为28 cm，AB比AC长5 cm，
∴△ACD的周长为28–5=23(cm).
B
课堂小结
三角形中线相关概念
课堂练习
2．如图，AD是△ABC的中线，AC＝6cm，AB＝4cm，且△ABD的周长为11cm，则△ACD的周长是 　 　cm．
13
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD，
∵△ABD的周长为11cm，
∴AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝11cm，
∵AB＝4cm，
∴CD+AD＝7cm，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝13cm，
新知探究
知识点 3
三角形的角平分线
　　问题1　准备一个三角形纸片ABC ，按图所示的方法折叠，展开后，折痕BD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
A
B
C
D
B
C
A
A
B
C
D
1
2
答：∠1=∠2
BD这条特殊的线段叫做△ABC的角平分线。
新知探究
D
B
C
A
E
F
问题2 △ABC可以画出几条条角平分线？
问题3 观察三条角平分线，你有什么发现？
答：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
新知典例
例3：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
∵DE∥BC,
∴∠ACB=∠AED=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
新知探究
1.定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
D
B
C
A
三角形的角平分线的概念
2.表示方法：AD是△ABC的角平分线，
AD平分∠BAC，交BC于点D，
∠BAD=∠CAD= ∠BAC.
3.三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.
课堂练习
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝72°，
∴∠DAC＝∠DAB＝36°.
在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°–∠B–∠DAB
＝180°–36°–36°
＝108°.
3. 如图，在△ABC中，∠BAC=72°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
课堂总结
课堂小测
1．如图，线段BD是△ABC高的图形是（　　）
A
B
D
C
D
课堂小测
2．如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 　 　是△ABC中AC边上的高．
BD
课堂小测
3．如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠　 　＝∠　 　＝ ∠　 　（角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴　 　＝　 　＝ （ 　 　）
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠　 　＝90（角平分线的定义）．
BC
BE
EC
BAD
DAC
BAC
三角形中线定义
F
课堂小测
4．如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，求AD的长．
解：S△ABC＝
AB CE＝ BC AD，
∵AB＝4cm，BC＝8cm，CE＝6cm，
∴
×4×6＝ ×8 AD，
解得AD＝3cm．
课堂小测
5．如图，已知△ABC的周长为24cm，AD是BC边上的中线，
AD＝ AB，AD＝5cm，△ABD的周长是18cm，求AC的长．
解：∵AD＝ AB，AD＝5cm，
∴AB＝8cm．
∵△ABD的周长是18cm，
∴BD＝5cm．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2BD＝10cm．
∵△ABC的周长为24cm，
∴AC＝24﹣8﹣10＝6cm．
作业布置
谢谢
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