类比归纳专题：配方法的应用
——体会利用配方法解决特定问题
类型一 配方法解方程
1．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是（ ）
A．x1＝x2＝1
B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝－1＋，x2＝－1－
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100
B．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25
C．2t2－7t－4＝0化为＝
D．3x2－4x－2＝0化为＝
3．利用配方法解下列方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)(x＋4)(x＋2)＝2；
(3)4x2－8x－1＝0； (4)3x2＋4x－1＝0.
类型二 配方法求最值或证明
4．代数式x2－4x＋5的最小值是（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．5
5．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（ ）
A．有最大值13 B．有最小值－3 C．有最大值37 D．有最小值1
6．求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．
7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.
类型三 完全平方式中的配方
8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．－1 B．1 C．±1 D．±2
9．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．－9或11 B．－7或8 C．－8或9 D．－6或7
类型四 利用配方构成非负数求值
10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（ ）
A．3 B．－1 C．2 D．－2
11．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．
参考答案一元二次方程（二）
知识点思维导图
知识点一：因式分解法解一元二次方程
因式分解法
通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
用因式分解法解一元二次方程的理论依据
如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0，即若ab＝0，则a＝0或b＝0.
【例1】用因式分解法解下列方程：
x2＋2x＝0； （2）(2x＋3)2－2x－3＝0；
（3）(2x－1)2－x2＝0； （4）y2－5y＋6＝0.
【例1】【解析】解一元二次方程时，要先观察方程结构，看看方程能否转化为一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积形式，若能，则采用因式分解法来解答比较简单.
【答案】解：（1）因式分解，得x(x＋2)＝0.
于是得x＝0，或x＋2＝0.
x1＝0，x2＝－2.
因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－1)＝0.
于是得2x＋3＝0，或2x＋3－1＝0.
，.
因式分解，得(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0.
于是得2x－1＋x＝0，或2x－1－x＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－3)＝0.
于是得y－2＝0，或y－3＝0.
y1＝2，y2＝3.
【巩固】
1. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（ ）
16 B. 12 C. 14 D. 12或16
解下列方程：
； （2）2(x－3)＝3x(x－3)；
（3）16x2－9＝0； （4）y2－17y＋30＝0.
【巩固答案】
A
解：（1）因式分解，得.
于是得，或.
，.
移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0.
因式分解，得(x－3)(2－3x)＝0.
于是得x－3＝0，或2－3x＝0.
，.
因式分解，得(4x－3)(4x＋3)＝0.
于是得4x－3＝0，或4x＋3＝0.
，.
因式分解，得(y－2)(y－15)＝0.
于是得y－2＝0，或y－15＝0.
y1＝2，y2＝15.
知识点二：列一元二次方程解常见的实际问题
列一元二次方程解实际问题的一般步骤
审：审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系；
设：设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法；
列：用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程；
解：根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值；
验：检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义；
（6）答：写出实际问题的答案.
列一元二次方程解常见的实际问题
常见问题 列方程的依据
行程问题 路程＝速度×时间
平均增长率（降低率）问题 a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，平均增长率公式：a(1＋x)n＝b（x为平均增长率），平均降低率公式：a(1－x)n＝b（x为平均降低率）
传播问题 传播的第二轮可以抽象为一元二次方程，设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播两轮后感染总个数为a(1＋x)2
销售利润问题 利润＝售价－进价；；售价＝进价×（1＋利润率）；总利润＝总售价－总成本＝单件利润×总销售量
几何图形问题 几何图形的面积、周长公式和图形之间的等量关系
存款利息问题 本息和＝本金＋利息；利息＝本金×利率×期数
数字问题 两位整数＝十位数字×10＋个位数字；三位整数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字
【例2】2018年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2020年，家庭年人均纯收入达到了3 600元.
求该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
若年平均增长率保持不变，2021年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4 200元？
【例2】【解析】（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据该贫困户2021年的家庭年人均纯收入＝该贫困户2020年的家庭年人均纯收入×（1＋增长率），可求出该贫困户2021年的家庭年人均纯收入，再将其与4 200元比较后即可得出结论.
【答案】解：（1）设该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
根据题意，得2 500(1＋x)2＝3 600，
解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）.
答：该贫困户2018年到2020年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％.
（2）3 600×（1＋20％）＝4 320（元），
∵4 320＞4 200，
∴2021年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4 200元.
【巩固】
一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计这次聚会上所有人一共握了21次手，则这次聚会的人数是（ ）
4 B. 5 C. 6 D. 7
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气. ”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
求进馆人次的月平均增长率；
因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由.
【巩固答案】
D
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则
根据题意，得128＋128(1＋x)＋128(1＋x)2＝608，
化简，得4x2＋12x－7＝0，
解得x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.
答：进馆人次的月平均增长率为50％.
∵进馆人次的月平均增长率为50％，
∴第四个月的进馆人次为128×(1＋50％)3＝432（人次）
∵432＜500，
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
【例3】某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件. 现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨1元，其销售量就会减少20件. 那么，将售价定为多少，才能使每天所赚利润为640元？
【例3】【解析】根据等量关系“总利润＝单件利润×销售量”列出每天的销售利润与销售单价提高量的方程求解即可.
【答案】解：设每件售价提高x元，则单件利润为（10＋x－8）元，即（x＋2）元，每天的销售量为（200－20x）件.
根据题意，得(x＋2)(200－20x)＝640，
化简，得x2－8x＋12＝0，
解得x1＝2，x2＝6.
当x＝2时，售价为每件12元，每天的销售量为200－20×2＝160（件）；
当x＝6时，售价为每件16元，每天的销售量为200－20×6＝80（件）.
因为要减少进货量，所以售价应定为每件16元.
答：将售价定为每件16元，才能使每天所赚利润为640元.
【巩固】
将进价为90元的某种商品按100元出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售数量就减少10个，若想使利润达到9 000元，售价应是多少？设售价为x元，则可列方程（ ）
(x－100)(500－10x)＝9000 B. (x－90)(500－10x)＝9000
C. (x－100)[500－10(x－100)]＝9000 D. (x－90)[500－10(x－100)]＝9000
2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元. 为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？
【巩固答案】
D
解：（1）26
（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元.
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
∴x＝10.
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元.
【例4】如图，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm，在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子，当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2？
【例4】【解析】设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm. 根据长方体盒子的侧面积为200 cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论.
【答案】解：设剪去正方形的边长为x cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为（30－2x）cm，宽为（20－2x）cm，高为x cm.
根据题意，得2[x(30－2x)＋x(20－2x)]＝200，
化简，得2x2－25x＋50＝0，
解得x1＝2.5，x2＝10.
当x＝10时，宽为20－2×10＝0，不合题意，舍去.
答：当剪去正方形的边长为2.5 cm时，所得长方体盒子的侧面积为200 cm2.
【巩固】
如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为 .
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm ，BC＝7 cm. 点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动. 当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设运动时间为x s.
几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
运动过程中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由.
【巩固答案】
(12－x)(8－x)＝77
解：（1）根据题意，得AP＝x cm，PB＝（5－x）cm，BQ＝2x cm，
∴.
解得x1＝2，x2＝3.
答：2 s或3 s后，△PBQ的面积等于6 cm2.
（2）不能，理由：
根据题意，得，
化简，得x2－5x＋8＝0.
∵Δ＝25－32＝－7＜0，
∴△PQB的面积不能等于8 cm2.类比归纳专题：一元二次方程的解法
——学会选择最优的解法
类型一 一元二次方程的一般解法
方法点拨： 形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.
1.用合适的方法解下列方程：
（1）－＝0；
（2）x2－6x＋7＝0；
（3）x2－x＋＝0；
（4）3x（2x＋1）＝4x＋2.
*类型二 一元二次方程的特殊解法
一、十字相乘法
方法点拨：例如：解方程：x2＋3x－4＝0.
第1种拆法：4x－x＝3x（正确），
第2种拆法：2x－2x＝0（错误），
所以x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＝0，即x＋4＝0或x－1＝0，所以x1＝－4，x2＝1.
解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.
3.用十字相乘法解下列一元二次方程：
（1）x2－5x－6＝0；
（2）x2＋9x－36＝0.
二、换元法
方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.
4.若实数a，b满足（4a＋4b）（4a＋4b－2）－8＝0，则a＋b＝_______.
5.解方程：（x2＋5x＋1）（x2＋5x＋7）＝7.
1.解：（1）移项，得＝，
两边开平方，得x－＝±，
即x－＝或x－＝－，
∴x1＝3，x2＝2；
（2）移项，得x2－6x＝－7，
配方，得x2－6x＋9＝－7＋9，即（x－3）2＝2，
两边开平方，得x－3＝±，
∴x1＝3＋，x2＝3－；
（3）原方程可化为8x2－4x＋1＝0.
∵a＝8，b＝－4，c＝1，
∴b2－4ac＝（－4）2－4×8×1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝x2＝；
|（4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）
＝0，
∴2x＋1＝0或3x－2＝0，
∴x1＝－，x2＝.
2. x－1＝0或x＋3＝0.
3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）
＝0，
∴x－6＝0或x＋1＝0，
∴x1＝6，x2＝－1；
原方程可变形为（x＋12）（x－3）
＝0，
∴x＋12＝0或x－3＝0，
∴x1＝－12，x2＝3.
－或1
解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t
＋6）＝7，
∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.
当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，
x（x＋5）＝0，
∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；
当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x
＋8＝0，
∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程
无实数根.
∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题
类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a≠0”
1．若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为______.【易错1】
2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．－1 B．1
C．1或－1 D．－1或0
3．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.
(1)求m的值；
(2)求方程的解．
类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a≠0”及“中的a≥0”
4．若关于x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m≥
C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2
5．已知关于x的一元二次方程x2＋x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.
6．若m是非负整数，且关于x的方程(m－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．
类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”
7．关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x＋x＝1，则k的值为_______.【易错2】
8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】
类型四 与三角形结合时忘记取舍
9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）
A．11 B．17
C．17或19 D．19
10．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．
参考答案一元二次方程（一）
知识点思维导图
知识点一：一元二次方程的相关概念
一元二次方程
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程必须同时满足三个条件：
是整式方程；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是2.
2. 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
3. 一元二次方程的解（根）
一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
判断一个数是不是一元二次方程的解的方法（代入检验法）
将此数代入一元二次方程，若能使方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解；反之，它不是一元二次方程的解.
【例1】下列式子：①2x2＋x－3；②；③t2－m＝1－4t－m；④(y－1)2＝y2＋2；⑤y2－2y＋1＝0；⑥x2＋y－6＝0. 其中一定是一元二次方程的有 .（把所有正确选项的序号都填上）
【例1】【解析】①2x2＋x－3不是等式，故不是一元二次方程；②x2＋2x－＝0不是整式方程，故不是一元二次方程；③t2－m＝1－4t－m是整式方程，可整理为t2＋4t－1＝0，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；④(y－1)2＝y2＋2可整理为2y＋1＝0，故不是一元二次方程；⑤y2－2y＋1＝0符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；⑥x2＋y－6＝0含有两个未知数，故不是一元二次方程. 所以一定是一元二次方程的有③⑤.
【答案】③⑤
【巩固】
下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（ ）
ax2＋bx＋c＝0 B. x2＋1－x2＝0
C. D. x2－x－2＝0
2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 .
【巩固答案】
D
－1
【例2】若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则6m＋2n＝ .
【例2】【解析】把x＝1代入x2＋3mx＋n＝0，得1＋3m＋n＝0，即3m＋n＝－1，则6m＋2n＝2(3m＋n)＝2×(－1)＝－2.
【答案】－2
【巩固】
把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一元二次方程的一般形式，则二次项系数，一次项系数，常数项的值分别是（ ）
1，－3，10 B. 1，7，－1
C. 1，－5，12 D. 1，3，2
2. 若2是关于x的方程x2－(3＋k)x＋12＝0的一个根，求以2和k为两边长的等腰三角形的周长.
【巩固答案】
A
解：把x＝2代入原方程得4－2(3＋k)＋12＝0，解得k＝5.
当以2为腰长时，等腰三角形的三边长分别为2，2，5，因为2＋2＜5，所以不能组成三角形，即此种情况不存在.
当以5为腰长时，等腰三角形的三边长分别为2，5，5，能够组成三角形. 所以等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12.
知识点二：直接开平方法解一元二次方程
直接开平方法
利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
方程x2＝p的根
一般地，对于方程x2＝p.
当p＞0时，根据平方根的意义，方程x2＝p有两个不相等的实数根x1＝－，x2＝；
当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2＝p无实数根.
【例3】用直接开平方法解下列方程：
x2－9＝0； （2）3x2－54＝0；
（3）(x＋2)2＝9； （4）2(2y＋3)2－16＝0.
【例3】【解析】用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式再进行计算.
【答案】解：（1）移项，得x2＝9.
开平方，得x＝±3，
即x1＝3，x2＝－3.
（2）移项，得3x2＝54.
二次项系数化为1，得x2＝18.
开平方，得x＝±3，
即x1＝3，x2＝－3.
（3）开平方，得x＋2＝±3，
即x＋2＝3或x＋2＝－3.
所以x1＝1，x2＝－5.
（4）移项，得2(2y＋3)2＝16.
二次项系数化为1，得(2y＋3)2＝8.
开平方，得2y＋3＝，
即2y＋3＝或2y＋3＝，
所以y1＝，y2＝.
【巩固】
若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值可以为 （写出一个即可）.
2. 用直接开平方法解下列方程：
（1）2x2－8＝0； （2）(y－5)2－36＝0.
【巩固答案】
1（答案不唯一，合理即可）
解：
移项，得2x2＝8.
二次项系数化为1，得x2＝4.
开平方，得x＝±2，
即x1＝2，x2＝－2.
移项，得(y－5)2＝36.
开平方，得y－5＝±6，
即y－5＝6或y－5＝－6，
所以y1＝11，y2＝－1.
知识点三：配方法解一元二次方程
配方法
把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.
可化为(x＋n)2＝p的形式的一元二次方程的根
当p＞0时，方程(x＋n)2＝p有两个不相等的实数根x1＝－－n，x2＝－n；
当p＝0时，方程(x＋n)2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；
当p＜0时，方程(x＋n)2＝p无实数根.
用配方法解一元二次方程的一般步骤
（1）移项；（2）二次项系数化为1；（3）配方；（4）开平方；（5）求解 .
一般步骤 方法 例：2x2－7x＋3＝0
一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的项移到左边 2x2－7x＝－3
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 ，即
四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 ，
【例4】用配方法解下列方程：
x2－4x－1＝0；
；
2x2＋7x＋3＝0.
【例4】【解析】用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义开平方求解.
【答案】解：（1）移项，得x2－4x＝1.
配方，得x2－4x＋22＝1＋22，
即(x－2)2＝5.
由此可得x－2＝±，
所以x1＝2＋，x2＝2－.
（2）移项，得x2－4x＝－5.
二次项系数化为1，得x2－16x＝－20.
配方，得x2－16x＋82＝－20＋82，
即(x－8)2＝44.
由此可得x－8＝，
所以x1＝8＋2，x2＝8－2.
（3）移项，得2x2＋7x＝－3.
二次项系数化为1，得.
配方，得，
即.
由此可得，
所以x1＝－3，x2＝.
【巩固】
用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
方程x2－6x－5＝0，可化为(x－3)2＝4
方程y2－2y－2022＝0，可化为(y－1)2＝2022
方程a2＋8a＋9＝0，可化为(a＋4)2＝25
方程2x2－6x－7＝0，可化为
用配方法解下列方程：
x2－6x－16＝0；
；
3x2－5x＋2＝0.
【巩固答案】
D
解：（1）移项，得x2－6x＝16.
配方，得x2－6x＋32＝16＋32，
即(x－3)2＝25.
由此可得x－3＝±5，
所以x1＝8，x2＝－2.
（2）移项，得.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝99.
配方，得x2＋2x＋12＝99＋12，
即(x＋1)2＝100.
由此可得x＋1＝±10，
所以x1＝－11，x2＝9.
（3）移项，得3x2－5x＝－2.
二次项系数化为1，得.
配方，得，
即.
由此可得，
所以x1＝1，x2＝.
知识点四：一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式
将ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方成后，可以看出，只有当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2－4ac的值就决定着一元二次方程根的情况.
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac.
判别式Δ与一元二次方程根的情况的关系：
Δ＞0方程有两个不相等的实数根；
Δ＝0方程有两个相等的实数根；
Δ＜0方程无实数根.
【例5】一元二次方程x2－2x＋3＝0根的情况是（ ）
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
无法判断
【例5】【解析】由题可知，Δ＝4－4×3＝－8＜0，所以该一元二次方程没有实数根，故选C.
【答案】C
【巩固】
若关于x的方程kx2＋2x＋1＝0有实数根，则实数k的取值范围是 .
2. 已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝∣m∣.
求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一根.
【巩固答案】
k≤1.
（1）证明：原方程可化为x2－5x＋6－∣m∣＝0，
∴Δ＝(－5)2－4(6－∣m∣)＝1＋4∣m∣.
∵∣m∣≥0，∴1＋4∣m∣＞0，即Δ＞0.
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：把x＝1代入原方程，得∣m∣＝2，∴m＝±2.
当∣m∣＝2时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4.
∴方程的另一个根是4.
知识点五：公式法解一元二次方程
求根公式
解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可以写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式.
公式法
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
一元二次方程求根公式的推导
一元二次方程求根公式的推导过程就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的过程. 推导过程如下：
移项，得ax2＋bx＝－c.
二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
当b2－4ac≥0时，
开方，得，所以.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
把方程化为一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；
求出Δ＝b2－4ac的值；
根据求根公式求解.
【例6】用公式法解下列方程：
x2－3x－2＝0；
；
3x2＋2x＋7＝(x＋2)2.
【例6】【解析】按照用求根公式解一元二次方程的步骤求解.
【答案】解：（1）a＝1，b＝－3，c＝－2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0.
方程有两个不相等的实数根
.
即，.
（2）方程化为x2－2x＋5＝0.
a＝1，b＝－，c＝5.
Δ＝b2－4ac＝()2－4×1×5＝0.
方程有两个相等的实数根
.
即x1＝x2＝.
（3）方程化为2x2－2x＋3＝0.
a＝2，b＝－2，c＝3.
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×3＝－20＜0.
所以方程没有实数根.
【巩固】
方程(x＋1)(x＋2)＝1化成一般形式是 ，b2－4ac＝ ，用求根公式可求得x1＝ ，x2＝ .
2. 用公式法解下列方程：
x2＋4x－1＝0；
2x2－3x＋2＝0.
【巩固答案】
x2＋3x＋1＝0 5
解：（1）a＝1，b＝4，c＝－1.
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20＞0.
方程有两个不相等的实数根
.
即x1＝，x2＝.
（2）a＝2，b＝－3，c＝2.
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×2＝－7＜0.
所以方程没有实数根
