2022-2023学年北师大版九年级数学上册 第4章图形的相似 选择题专题训练（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》选择题专题训练（附答案）
1．若，则的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．
2．下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 B．a＝1，b＝2，c＝3，d＝4
C．，b＝3，c＝2， D．a＝2，，，
3．若（3b+d﹣2f≠0），则的值是（　　）
A．1 B． C．3 D．无法确定
4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC．若AD＝6，BD＝3，AE＝8，则EC的长是（　　）
A．4 B．2 C．5 D．
5．如图，已知点A（0，4）、B（4，1），BC⊥x轴于点C，点P为线段OC上一点，且PA⊥PB．则点P的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（1.5，0） C．（1.8，0） D．（2，0）
6．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，1），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（　　）
A．（7，4） B．（7，3） C．（6，4） D．（6，3）
7．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（　　）
A．2：1 B．1：2 C．3：2 D．：1
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的点，若BE：EC＝1：2，AE交BD于F，则S△BEF：S△DFA等于（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
9．如图，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AE＝AD，连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF2＝CF AC．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP＝6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（　　）
A．8m B．9m C．16m D．18m
11．如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
12．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
13．如图，在直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的位似比为的位似图形△OCD．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（2，3） C．（3，） D．（3，2）
14．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
15．如图，已知直线AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
16．《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，BC＝3，点D为AC延长线上的一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，若∠CBD＝∠A，则AB的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．4.2
18．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①∠DEC＝∠AEB；②CF⊥DE；③AF＝BF；④＝，其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH PC．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案
1．解：∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
故选：D．
2．解：A.4×10≠6×5，故不符合题意，
B.1×4≠2×3，故不符合题意，
C.≠2×3，故不符合题意，
D.，故符合题意，
故选：D．
3．解：∵（3b+d﹣2f≠0），
∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，
∴＝＝＝3．
故选：C．
4．解：∵DE∥BC，
∴，即，
解得，EC＝4，
故选：A．
5．解：如图所示：
∵PA⊥PB，
∴∠2+∠3＝90°．
∵AO⊥x轴，
∴∠1＝∠2．
又∵BC⊥x轴，AO⊥x轴，
∴∠BCP＝∠POA＝90°．
∴△BCP∽△POA．
∴＝．
∵点A（0，4）、B（4，1），
∴AO＝4，BC＝1，OC＝4，
∴＝，
解得OP＝2．
∴P（2，0）．
故选：D．
6．解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴AB∥DE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），即E点的坐标为（6，3），
故选：D．
7．解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y＝y：，
解得x：y＝：1．
故选：D．
8．解：∵BE：EC＝1：2，
∴设BE＝x，则EC＝2x，BC＝3x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3x，AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴＝（）2＝，
故选D．
9．解：∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB，
故③结论正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝36°，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝36°，
∴∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
故②结论正确；
假设DE＝GE，则∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，
∵∠ABE＝36°，
∴∠AEG＝∠ABE，
∴AE∥AB（这与AE与AB交于A点矛盾），
∴假设不成立，
故①结论不正确；
∵∠FAB＝∠FBA＝∠CBF＝36°，∠BCF＝∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，
∴，
∴BC2＝CF AC
∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，
∴∠BFC＝72°，
∴BF＝BF，
∴BF2＝AC CF，
故④结论正确．
故选：C．
10．解：根据题意得∠APB＝∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP＝∠CDP＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，即＝，
解得：CD＝8．
答：该古城墙CD的高度为8m．
故选：A．
11．解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，
∴BC：AC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；
C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．
故选：C．
12．解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2m，FD＝8m；
∵∠E+∠F＝90°，∠E+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠F，
∴△EDC∽△CDF，
∴＝，即DC2＝ED FD＝2×8＝16，
解得CD＝4m．
故选：B．
13．解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，C（﹣1，﹣），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣3）），即（3，2），
故选：D．
14．解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
15．解：∵AB∥CD∥EF，BD＝2，DF＝4，
∴＝＝＝，
故选：A．
16．解：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x，则CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的边长为．
故选：B．
17．解：∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴，
∵BC＝3，AC＝3CD，
∴CH＝1．
∴BH＝4，
∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴，
∵△ABC∽△DHC，
∴，
∴AB＝3DH，
∴，
解得DH＝2，
∴AB＝3DH＝3×2＝6，
故选：A．
18．解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时，＝，即＝，
解得，x＝，
当△PAE∽△CBP时，＝，即＝，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
19．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴∠DEC＝∠AEB，∠BAE＝∠CDE，DE＝AE，故①正确，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS）
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，且∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故②正确，
∵∠CDE＝∠BCF，DC＝BC，∠DCE＝∠CBF＝90°，
∴△DCE≌△CBF（ASA），
∴CE＝BF，
∵CE＝BC＝AB，
∴BF＝AB，
∴AF＝FB，故③正确，
③解法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∵E是BC的中点，
∴＝＝，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∵AB＝CD，
∴BF＝AB．
∵DC＝6，CE＝3，
∴DE＝＝＝3，
∵S△DCE＝×CD×CE＝×DE×CH，
∴CH＝，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴CF＝＝3，
∴HF＝CF﹣CH＝，
∴＝，故④正确，
故选：D．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH PC，故④正确，
故选：C．