2022-2023学年北师大版九年级数学上册第4章图形的相似 填空题专题训练（Word版含答案）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》填空题专题训练（附答案）
1．已知，则＝　 　．
2．若，则＝　 　．
3．如图，直线a∥b∥c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC＝4，CE＝6，BD＝3，那么BF等于 　 　．
4．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC为　 　．
5．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为 　 　．
6．如图，AB∥CD∥EF，点C，D分别在BE，AF上，如果BC＝4，CE＝6，AF＝8，那么DF的长　 　．
7．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 　 　．
8．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AC为对角线，E、F分别为边AB、CD上的动点，且EF⊥AC于点M，连接AF、CE，求AF+CE的最小值是 　 　．
9．在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，则△ABC的边长为 　 　．
10．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标为 　 　．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝　 　时，△ADP与△BCP相似．
12．如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是　 　m．
13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为　 　．
14．如图，菱形ABCD的边长为2，过点C作直线l交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则的值为　 　．
15．如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点M，N是边AD，AB上任意两点，将菱形ABCD沿MN翻折，点A恰巧落在对角线BD上的点E处，下列结论：
①△MED∽△ENB；②若∠DME＝20°，则∠ENB＝100°； ③若DE：BE＝1：2，则AM：AN＝1：2； ④若菱形边长为4，M是AD的中点，连接MC，则线段MC＝2，
其中正确的结论有：　 　（填写所有正确结论的序号）
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的动点，且PD⊥PQ，当△PDQ为等腰三角形时，则AP的长为　 　．
18．为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为　 　米．
19．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是　 　．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 　 　．
参考答案
1．解：由题意，设x＝3k，y＝5k，
∴＝＝．
故答案为：
2．解：设＝t，则
x＝3t，y＝5t，z＝7t．
∴＝＝5；
故答案是：5．
3．解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AC＝4，CE＝6，BD＝3，
∴＝，
解得：DF＝4.5，
∵BD＝3，
∴BF＝BD+DF＝3+4.5＝7.5，
故答案为：7.5．
4．解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故答案为：1：6．
5．解：如图1，点C在线段AB上，
过E作EF∥AB交OC于F，
∵点E为OA边的中点，EF∥AB，
∴OF＝CF，
∴EF＝AC，
∵BC＝3AC，
∴BC＝6EF，
∵EF∥AB，
∴，
∴CG＝6FG，
∴FC＝OF＝7FG，
∴OG＝OF+FG＝8FG，
∴＝＝；
如图2，点C在线段BA的延长线上，
过E作ED∥BC交OC于D，
∵点E为OA边的中点，ED∥BC，
∴OD＝CD，
∴DE＝AC，即AC＝2DE，
∵BC＝3AC，
∴BC＝6DE，
∵ED∥BC，
∴，
∴CG＝6DG，
∴CD＝OD＝5DG，
∴OG＝OD﹣DG＝4DG，
∴＝＝；
故答案为：或．
6．解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴＝，
∴DF＝，
故答案为：．
7．解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
8．解：如图，作FH⊥AB于点H，则∠AHF＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠HAD＝∠ADF＝90°，
∴四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF，HF＝AD＝2，
∵EF⊥AC于点M，
∴∠FMC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠HEF＝∠MFC＝90°﹣∠ACD＝∠DAC，
∵∠EHF＝∠ADC＝90°，
∴△EHF∽△ADC，
∴＝，
∵DC＝AB＝4，
∴EH＝＝＝1，
延长CD到点G，使DG＝DF，连接AG，作ER∥AG，交CD于点R，
∵RG∥AE，
∴四边形AERG是平行四边形，
∴RG＝AE，RE＝AG，
∴RD＝RG﹣DG＝RG﹣DF＝AE﹣AH＝EH＝1，
∴CR＝4﹣1＝3，
∴点R为定点，
∵AD⊥FG，DG＝DF，
∴AG＝AF，
∴RE＝AG＝AF，
∴AF+CE＝RE+CE，
作点R关于直线AB的对称点P，连接PR交AB于点N，连接PE、PC，PC交AB于点Q，
∵AB垂直平分PR，
∴RE＝PE，
∴AF+CE＝RE+CE＝PE+CE≥PC，
∴当点E与点Q重合时，PE+CE＝PC，
∴AF+CE＝PC，此时AF+CE的值最小，
∵∠BCR＝∠B＝∠BNF＝90°，
∴四边形BCRN是矩形，
∴PN＝RN＝BC＝AD＝2，∠PRC＝90°，
∴PR＝PN+RN＝4，
∴PC＝＝＝5，
∴AF+CE的最小值是5．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴，
∵BP＝4，CD＝2，
∴，解得AB＝8，
∴△ABC的边长为8．
故答案为：8．
10．解：∵△ABC的顶点A（﹣4，2），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△A'B'C′，
∴点A的对应点A'的坐标为（﹣4×，2×）或[﹣4×（﹣），2×（﹣）]，即（﹣，）或（，﹣）．
故答案为：（﹣，）或（，﹣）．
11．解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
，
即＝，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案是：2或8或5．
12．解：∵∠ABC＝∠DBE，∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴BC：BE＝AC：DE，
即1：5＝1.6：DE，
∴DE＝8（m），
故答案为：8．
13．解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝120，AD＝60，
∴AN＝60﹣x，
∴＝，
解得：x＝40，
∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．
故答案为20．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD＝2，AD∥BC，CD∥AB，
∴△NDC∽△NAM，△MBC∽△MAN，
∴＝，＝，
∴+＝+，
∴+＝＝1，
∴+＝，
故答案为：．
15．解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小，
∵P是BC的中点，
∴E为CD的中点，
∴PE＝BD，
∵AB＝BD，AB＝PE，
∴PE∥BD，PM'∥AE，
∴四边形PEN'M'是平行四边形，
∴PE＝M'N'，
∴AB＝M'N'＝MN，满足题中条件，
∵AE＝＝3，
∵AB∥CD，
∴△ABN'∽△EDN'，
∴＝2，
∴AN'＝2，即AN＝2．
16．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，
∵∠A＝∠MEN＝60°，
∴∠MED+∠BEN＝120°，
∵∠MED+∠DME＝120°，
∴∠DME＝∠BEN，
∴△MED∽△ENB，故①正确，
∵∠DME＝20°，
∴∠BEN＝∠DME＝20°，
∴∠ENB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，故②正确，
设DE＝a，BE＝2a，则AB＝AD＝3a，设BN＝x，则AN＝EN＝3a﹣x，
∵△MED∽△ENB，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝AM＝，DM＝，
∵AM+DM＝3a，
∴+＝3a，
解得x＝a，
∴AM＝a，AN＝a，
∴AM：AN＝4：5，故③错误，
作MH⊥CD交CD的延长线于H．
在Rt△DMH中，∵∠H＝90°，∠MDH＝60°，DM＝2，
∴DH＝1，MH＝，CH＝4+1＝5，
∴CM＝＝2，
故④正确，
故答案为①②④．
17．解：当P点在边AB上，如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝3，∠A＝∠B＝90°，
∵PD⊥PQ，
∴∠DPQ＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝90°，∠APD+∠BPQ＝90°，
∴∠ADP＝∠BPQ，
∴Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB﹣PB＝4﹣3＝1．
当P点在AB的延长线上时，如图2，
同样方法得到Rt△ADP∽Rt△BPQ，
∴＝＝1，
∴PB＝AD＝3，
∴AP＝AB+PB＝4+3＝7．
综上所述，AP的长度为1或7．
故答案为1或7．
18．解：由题意得：∠DEF＝∠DCA＝90°，∠EDF＝∠CDA，
∴△DEF∽△DCA，
则＝，即＝，
解得：AC＝10，
故AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米），
即旗杆的高度为11.5米；
故答案为：11.5．
19．解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
20．解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，
∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴MN＝．
故答案为：．