2022--2023学年北师大版九年级数学上册 1.3正方形的性质与判定同步复习小测（Word版含答案）

1.3正方形的性质与判定---九年级同步复习小测（同步训练+课后作业）
【北师大版】
【同步训练】
一、单选题
1．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE=∠FAE，那么AF，AD，CF三条线段的关系是（　　）
A．AF＞AD+CF B．AF＜AD+CF
C．AD=AF﹣CF D．无法确定
2．在四边形 中， 是对角线 、 的交点，能判定这个四边形为正方形的是（　　）
A． ， B． ， ，
C． ， ， D． ，
3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）
A．3 B．2 C．4 D．8
4．如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，，AF与相交于点O，连接，若，则与之间的数量关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.小亮同学随机地在大正方形及其内部区域投针，若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、CD上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE沿EF翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD边上，B′C′交AB于点G，则GE的长是（　　）
A．3 ﹣4 B．4 ﹣5 C．4﹣2 D．5﹣2
二、填空题
7．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为　 　 度时，两条对角线长度相等．
8．如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是　 　．
9．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形OEFG的一边OG经过点D，且D是OG的中点，OG＝ AB，若正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕O点逆时针旋转α角，（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，当α＝　 　度时，∠OAG′＝90°.
10．如图，P是正方形内一点，，，，则　 　°．正方形的面积是　 　．
11．如图，已知点 在正方形 的边 上，以 为边向正方形 外部作正方形 ，连接 ， 、 分别是 、 的中点，连接 .若 ， ，则 　 　.
三、解答题
12．如图， 是正方形 的对角线 上的两点， .证明：四边形 是菱形.
13．如图，正方形 ，点 分别在 ， 上，且 ， 与 相交于点G.求证： .
14．如图，四边形 是正方形， 和 都是直角，且点 三点共线， ，求 的长.
15．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN.
16．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
【课后作业】
一、单选题
1．如图，在正方形ABCD中，△ABE经旋转，可与△CBF重合，AE的延长线交FC于点M，以下结论正确的是（　　）
A．AM⊥FC B．BF⊥CF C．BE=CE D．FM=MC
2．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
4．如图，将边长为2的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 ﹣4 D．2 ﹣2
5．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=3，则AE的长为（　　）
A． B．5 C．8 D．4
二、填空题
6．如图，点E为正方形ABCD外一点，AE=AD，∠ADE=75°，则∠AEB=　 　°.
,
7．两个边长为10cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则重叠部分的面积为　 　cm2．
8．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=　 　.
9．如图，将边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则2014个这样的正方形重叠部分的面积和为　 　．
三、解答题
10．（拓展创新）一位女士想买一条方纱巾，有一天她在商店里看到一块漂亮的纱巾，非常想买，但她拿起来看时感觉纱巾不太方，商店老板看她犹豫不决的样子，马上过来拉起一组对角，让女士看另一组对角是否对齐，如图所示，女士还有些疑惑，老板又拉起另一组对角让女士检验，女士终于买下这块纱巾，你认为女士买的这块纱巾是正方形的吗？当时采用什么方法可以检验出来？
11．感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
（1）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2= ∠ BAC，求证：△ABE≌△CAF．
（2）应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　 　．
12．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2，连接CF．求△FCG的面积．
【同步训练答案】
1．【答案】C
【解析】【解答】解：AD=AF﹣CF，
过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠BAE=∠EAF，∠B=∠AGE=90°，
又∵∠BAE=∠EAF，即AE为角平分线，EB⊥AB，EG⊥AG，
∴BE=EG，
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AB，
同理可知CF=GF，
∴AF=BC+FC=AD+CF．
故选C．
【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明△ABE≌△AGE，即可得AG=AB，同理证明出CF=GF，于是结论可以证明AD=AF﹣CF．
2．【答案】D
【解析】【解答】因为对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，故答案为：D．
【分析】根据正方形的判定方法逐一判断即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠FCD+∠BCD=180°，
∴∠A=∠FCD，
又∠AED=∠F=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，
∴DE=4．
故选C．
【分析】如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A=∠FCD，又∠AED=∠F=90°，AD=DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE=DF，S四边形ABCD=S正方形DEBF=16，DE=4．
4．【答案】A
【解析】【解答】过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
四边形ABFE是正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
故答案为：A．
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，根据矩形的性质可得四边形ABFE是正方形，，，由，可得，由勾股定理得，则。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意分析可得：正方形ABCD边长为 ，故面积为5；阴影部分边长为2-1=1，面积为1；则针扎到小正方形（阴影）区域的概率是即两部分面积的比值为 .
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的两条直角边结合勾股定理可得大正方形的边长，进而求出面积，由图形可得小正方形的边长为1，求出其面积，然后利用几何概率公式计算即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3，
由折叠的性质得：FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°，
∴∠DFC′=60°，
∴∠DC′F=30°，
∴FC′=FC=2DF，
∵DF+CF=CD=3，
∴DF+2DF=3，
解得：DF=1，
∴DC′= DF= ，
则C′A=3﹣ ，AG= （3﹣ ），
设EB=x，
∵∠B′GE=∠AGC′=∠DC′F=30°，
∴GE=2x，
则 （3﹣ ）+3x=3，
解得：x=2﹣ ，
∴GE=4﹣2 ；
故选：C．
【分析】由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=AD=3，由折叠的性质得出FC′=FC，∠C′FE=∠CFE=60°，∠FC′B′=∠C=90°，B′E=BE，∠B′=∠B=90°，求出∠DC′F=30°，得出FC′=FC=2DF，求出DF=1，DC′= DF= ，则C′A=3﹣ ，AG= （3﹣ ），设EB=x，则GE=2x，得出方程，解方程即可．本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
7．【答案】90
【解析】【解答】根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠α=90°．
【分析】根据矩形的判定方法即可求解．
8．【答案】
【解析】【解答】解：当DE=BF时，DE+BF取得最小值，连接BD与AC交于点O，连接BE，
∵ABCD是正方形，
在和中
≌
，
DE+BF
故答案为：
【分析】当DE=BF时，DE+BF取得最小值，连接BD与AC交于点O，连接BE，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAE=∠BAE=45°，AC⊥BD，利用勾股定理可得BD，证明△ADE≌△ABE，得到DE=BE=BF，根据等腰三角形的性质可得OE=OF=，利用勾股定理求出DE的值，据此解答.
9．【答案】30或150
【解析】【解答】解：当α为锐角时，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，OA＝OD＝ AC，
∴AC＝ AB，
∵OG＝ AB，
∴OG′＝OG＝AC＝2AO，
∵∠OAG′＝90°，OA＝ OG′，
∴∠AG′O＝30°，
∴∠AOG′＝60°，
∴∠DOG′＝90°﹣60°＝30°，即α＝30°；
当旋转到如图2所示位置，同理证得∠AG′O＝30°，
∴∠AOG′＝60°，
∴α＝90°+60°＝150°，
综上所述：α的度数为30°或150°，
故答案为30或150
【分析】根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到∠AG′O=30°，分两种情况求出α的度数.
10．【答案】135；
【解析】【解答】解：如图，将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H
∴BP=BE=4，CE=AP=7，∠PBE=90°，∠APB=∠BEC
∴由勾股定理得： ，∠BPE=∠BEP=45°
∵，
∴
∴∠PEC=90°
∵PH⊥EC
∴∠BHC=90°
∴PE∥BH
∴∠BEP=∠EBH=45°
∴BH=HE，∠APB=∠BEC=180°-∠BEH=135°
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴正方形的面积为
故答案为：135°， .
【分析】将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H，由勾股定理得： ，∠BPE=∠BEP=45°，利用勾股定理定理即可求解。
11．【答案】
【解析】【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=7，BE=5，
∴GF=GB=5，BC=7，
∴GC=GB+BC=5+7=12，
∴CF= ，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MN= CF= ；
故答案为： .
【分析】连接CF，由正方形的性质可得GF=GB=5，BC=7，从而求出GC=GB+BC=12，利用勾股定理求出CF=13，根据三角形中位线定理可得MN= CF= .
12．【答案】证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
又BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF为菱形.
【解析】【分析】连接BD，根据对角线互相平分证出四边形BEDF为平行四边形，再根据对角线互相垂直证出四边形BEDF是菱形.
13．【答案】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】由正方形的性质得出∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，得出AE=DF，由SAS证明△BAE≌△ADF，即可得出结论.
14．【答案】解：∵ 四边形AFDC是正方形，
∴ CA =AF，∠CAF= 90°；
∵ 点E，A，B三点共线 ，
∴ ∠EAC +∠BAF = 180°-∠CAF = 90°；
又∵ ∠CEA =∠ABF = 90°，
∴ ∠EAC +∠ECA = 90°，
∴ ∠BAF =∠ECA，
∴ △ABF ≌ △CEA（AAS），
∴ AB = CE = 5.
【解析】【分析】根据题意推出∠BAF =∠ECA，进而利用AAS证明△ABF ≌ △CEA，从而得出AB = CE = 5.
15．【答案】证明：如图，连结PB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°.
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）.
∴DP＝BP.
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形.
∴BP＝MN.
∴DP＝MN.
【解析】【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案.
16．【答案】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∴矩形DECF是正方形.
【解析】【分析】根据三个角是直角可证四边形DECF是矩形，利用角平分线的性质可得DE=DF，根据一组邻边相等的矩形是正方形即可求出结论.
【课后作业答案】
1．【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABE经旋转，可与△CBF重合，
∴∠BAE=∠BCF，∠ABE=∠CBF．
∴∠BCF+∠BFC=90°．
∴∠BFC+∠BAE=90°．
∴∠FMA=90°．
∴AM⊥FC．
故选：A．
【分析】依据旋转的性质可知∠BAE=∠BCF，然后可证明∠BFC+∠BAE=90°，从而可得到问题的答案．
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°，
∴∠EFD=60°﹣45°=15°．
故选：B．
【分析】由旋转前后的对应角相等可知，∠DFC=∠BEC=60°；一个特殊三角形△ECF为等腰直角三角形，可知∠EFC=45°，把这两个角作差即可．
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=2，∠CDA=90°，
∵正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CE=CD=2， ，∠EFC=45°，
∴∠HDF=∠CDA=90°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴ ；
故答案为：D．
【分析】首先求出CF和DF，继而证明DH=DF，得到结论即可。
5．【答案】A
【解析】【解答】解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴△ADE≌△ABF
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，
∴AD=DC=5，
∵DE=3，
∴Rt△ADE中，AE=
故答案为：A
【分析】利用旋转的性质，可证得△ADE≌△ABF，就可得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，再求出AD的长，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AE的长。
6．【答案】30
【解析】【解答】 ， ，
，
，
，
，
.
故答案为： .
【分析】根据等腰三角形的性质求出 ，然后求出 的度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.
7．【答案】25
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OD，
则∠AOD＝∠GOE＝90°，
∴∠AOM＝∠DON，
∵ABCD是正方形，O为正方形ABCD的中心，
∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，
在 和 中，
，
∴ ≌ （ASA），
∴ ，
∴ (cm2），
故答案是：25．
【分析】连接OA、OD，根据正方形的性质可以得到OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°，再利用“ASA”证明 ≌ ，可以得到，即可得到。
8．【答案】15°
【解析】【解答】由题意可知：
是等腰三角形.
故答案为：
【分析】利用正方形的性质及等边三角形的性质，可证得∠B=90°，∠DAE=60°，AB=AD，再求出∠BAE的度数，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出答案。
9．【答案】4026
【解析】【解答】解：如图，过点A1作A1D、A1E与正方形的边垂直，
∵A1是正方形的中心，
∴A1D=A1E，A1D⊥A1E，
∵∠BA1D+∠BA1E=∠CA1E+∠BA1E，
∴∠BA1D=∠CA1E，
在△A1BD和△A1CE中，
，
∴△A1BD≌△A1CE（SAS），
∴阴影部分的面积=正方形面积的 = ×（2 ）2=2，
∴2014个这样的正方形重叠部分的面积和=2×（2014﹣1）=4026．
故答案为：4026．
【分析】标注字母，过点A1作A1D、A1E与正方形的边垂直，根据正方形的性质可得A1D=A1E，再求出∠BA1D=∠CA1E，然后利用“角边角”证明△A1BD和△A1CE全等，然后根据全等三角形的性质可得阴影部分的面积等于正方形面积的 ，再根据重叠部分的个数比正方形的个数少1进行计算即可得解．
10．【答案】解：根据老板的方法，只能说明这块纱巾的两组对角分别相等，四条边都相等，也就是说纱巾的两条对角线是对称轴（图①），这只能保证纱巾是菱形，并不能保证它是正方形．因为正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折，看另一组对边是否重合（图②）．若另一组对边不能重合，那么此纱布不是正方形；若另一组对边能重合，那么此纱布一定是正方形．
【解析】【分析】根据正方形的性质知，正方形的对称轴共有四条，除了两条对角线外，还有两条是对边中点的连线．
11．【答案】拓展：证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴ ，∴△ABE≌△CAF（AAS）．应用：解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴ ，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．
（1）证明：如图 ∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，，
∴△ABE≌△CAF（AAS）．
（2）6
【解析】【解答】（2）应用：
解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，
∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，
∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，
∵△ABC的面积为9，
∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；
由（1） 可知 △ABE≌△CAF，
∴△ABE与△CAF面积相等，
∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，
∴△ABE与△CDF的面积之和为6，
故答案为：6．
【分析】拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．
12．【答案】解：过点F作FM⊥CD于M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=CD=6，DC∥AB，
∴∠CGE=∠AEG，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HE=GF，GF∥HE，
∴∠FGE=∠HEG，
∴∠CGF=∠AEH，
在△FGM和△HEA中，，
∴△FGM≌△HEA（AAS），
∴FM=AH=2，
∵DG=2，DC=6，
∴GC=4，
∴△FCG的面积=GC FM=×4×2=4．
【解析】【分析】过点F作FM⊥CD于M，先证明△FGM≌△HEA得出FM=AH=2，再求出GC，即可求出△FCG的面积