2022-2023学年冀教版九年级数学上册25.4相似三角形的判定 同步达标测试题 （Word版含答案）

2022-2023学年冀教版九年级数学上册《25.4相似三角形的判定》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共5小题，满分20分）
1．如图，在△ABC中，高BD、CE相交于点F．图中与△AEC一定相似的三角形有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线交AB于点D，增添下列条件仍然不能判断△ABC∽△CBD的是（　　）
A．∠A＝36° B．BC＝DC C．BC2＝BD AB D．∠B＝∠ACB
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝45°，将△ABC绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点C'落在CA的延长线上，得到△A'BC'，连接AA'，交BC'于点O．下列结论：①∠AC'A'＝90°；②AA'＝BC'；③∠A'BC'＝∠A'AC'；④△A'OC'∽△BOA．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
二．填空题（共9小题，满分36分）
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 　 　个．
7．如图△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，AD＝2，要在AB上找一E，使△ADE与△ABC相似，AE＝　 　．
8．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　 　．
9．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝　 　时，△ADE与△CMN相似．
10．如图，一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，过线段AB的中点P（4，3）作一条直线与△AOB交于点Q，使得所截新三角形与△AOB相似，则点Q坐标是　 　．
11．如图，点E在线段AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AC＝1，AB＝5，EB＝2，点P是射线BD上的一个动点，则当BP＝　 　时，△CEA与△EPB相似．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，P是CD边上的一个动点，则当△ADP与△BCP相似时，DP＝　 　．
13．如图，AB、CD交于点O，且OC＝45，OD＝30，OB＝36，当OA＝　 　时，△AOC与△BOD相似．
14．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，∠AEF＝90°，有以下结论：①△ADE∽△AEF；②△ECF∽△AEF；③△ADE∽△ECF；④△AEF∽△ABF；⑤△ADE∽△ABF，其中正确的是 　 　（把你认为正确的序号都填上）．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．如图，点D为△ABC边AB上一点，AD＝2，BD＝6，AC＝4．求证：△ACD∽△ABC．
16．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F，连接AE．求证：△BAE∽△ACE．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一个点，且AE＝，过点E作EF∥CB交AD于点F．
（1）求EF的长．
（2）求证：△DEF∽△ABD．
19．如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
20．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，联结AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．
（1）求证：AD＝BC；
（2）求证：△AGD∽△EGF．
21．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P为BC的中点，小明拿着含有30°角的透明直角三角板，使30°角的顶点落在点P上，三角板绕P点旋转．
（1）如图1，当三角板的一直角边和斜边分别与AB、BC交于点E、F时，连接EF，请说明△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F，连接EF．
①探究1：△BPE与△CFP相似吗？请说明理由；
②探究2：△BPE与△PFE相似吗？请说明理由．
22．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：PE PF＝PC2．
（2）如图2，连接AC交BD于O，连接OE，若CE⊥BC，求证：△POC∽△AEC．
参考答案
一．选择题（共5小题，满分20分）
1．解：∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴△AEC∽△ADB，
∴∠ACE＝∠ABD，
又∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴△AEC∽△FEB，
∵∠ACE＝∠ACE，∠AEC＝∠ADB＝90°，
∴△AEC∽△FDC，
故选：C．
2．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
当∠A＝36°时，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠DCB＝36°，
∴∠A＝∠DCB，
又∵∠DBC＝∠ABC，
∴△ABC∽△CBD，故选项A不符合题意；
当BC＝DC时，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠CBD＝∠CDB，
∴△ABC∽△CBD，故选项B不符合题意；
当BC2＝BD AB时，
∴，
又∵∠CBD＝∠ABC，
∴△ABC∽△CBD，故选项C不符合题意；
故选：D．
3．解：在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和，
因为＝，所以A选项中的三角形与△ABC相似．
故选：A．
4．解：∵将△ABC绕着点B逆时针方向旋转，
∴∠C＝∠BC'A'＝45°，∠CBC'＝∠ABA'，BC＝BC'，AB＝BA'，
∴∠C＝∠BC'C＝45°，
∴∠A'C'A＝90°＝∠CBC'＝∠ABC'，故①正确；
∴点A，点B，点A'，点C'四点共圆，
∴AA'是直径，∠A'BC'＝∠A'AC'，故②错误，③正确，
∵点A，点B，点A'，点C'四点共圆，
∴∠BC'A'＝∠BAA'，
又∵∠AOB＝∠A'OC'，
∴△AOB∽△A'OC'，故④正确，
故选C．
5．解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
二．填空题（共9小题，满分36分）
6．解：∵CD⊥AB，DE⊥BC，
∴∠CDA＝∠CDB＝∠DEB＝∠DEC＝90°＝∠ACB，
∴∠A+∠B＝90°＝∠A+∠ACD＝∠B+∠DCB＝∠B+∠BDE＝∠DCB+∠CDE，
∴∠A＝∠BDE＝∠BCD，∠B＝∠ACD＝∠CDE，
∴△ACB∽△ADC∽△DEB∽△CDB∽△CED，
故答案为：4．
7．解：∵∠A是公共角，
∴当，即时，△AED∽△ABC，
解得：AE＝；
当，即时，△ADE∽△ABC，
解得：AE＝，
故答案为：或
8．解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
9．解：∵AE＝EB，
∴AD＝2AE，
又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，
∴分两种情况：
①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，
∴CM2+CN2＝MN2＝4，
即CM2+CM2＝4，
解得：CM＝；
②CM与AE是对应边时，CM＝CN，
∴CM2+CN2＝MN2＝4，
即CM2+4CM2＝4，
解得：CM＝．
综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．
故答案是：或．
10．解：∵一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，AB＝＝＝10，
如图有两种情形：①当PQ∥OB时，满足条件．
∵AP＝PB，
∴AQ＝OQ，
∴Q（0，3）．
②当PQ′⊥AB时，满足条件．连接AQ′．
∵PA＝PB，PQ′⊥AB，
∴Q′A＝Q′B，设Q′A＝Q′B＝m，
在Rt△AOQ′中，则有m2＝62+（8﹣m）2，
解得m＝，
∴OQ′＝8﹣＝，
∴Q′（，0）．
③当PQ∥y轴时，同法可得P（4，0）．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，3）或（，0）或（4，0）．
11．解：∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
又∵AB＝5，EB＝2，
∴AE＝AB﹣EB＝3，
①当△CAE∽△PBE时，＝，即＝，
解得：PB＝；
②当△CAE∽△EBP时，＝，即＝，
解得：BP＝6；
综上，当BP＝或6时，△CEA与△EPB相似．
故答案为：或6．
12．解：①当△APD∽△PBC时，
＝，即＝，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
＝，
即＝，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案是：2或8或5．
13．解：∵OC＝45，OD＝30，OB＝36，△AOC∽△BOD，
∴，
即，解得OA＝54；
若△AOC∽△DOB，
∴，
即，
解得OA＝，
综上所述OA的长为54或．
故答案为：54或．
14．解：在矩形ABCD中，
∵∠D＝∠C＝90°，∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，∠DEA+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴△ADE∽△ECF，
其余都不符合相似的条件．
故答案为：③．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．解：∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝8，
∴，，
∴，
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
16．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠ADE﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠B，
∴△BAE∽△ACE．
17．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
18．解：（1）∵AC＝3，CB＝5，DB＝1，AE＝，
∴CD＝CB﹣DB＝5﹣1＝4，
∵EF∥CB，
∴△AEF∽△ACD，
∴，
∴EF＝＝＝．
（2）∵CE＝AC﹣AE＝3﹣＝，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∴∠EDC＝∠B，
∵∠EDC＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∵∠DFE＝∠ADB，
∴△DEF∽△ABD．
19．解：相似．
理由如下：
∵AB＝＝，BC＝5，AC＝＝，DE＝1，EF＝＝，DF＝，
∴＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
20．证明：（1）∵GE是AB的垂直平分线，
∴GA＝GB，
同理：GD＝GC，
在△AGD和△BGC中，
，
∴△AGD≌△BGC（SAS），
∴AD＝BC；
（2）∵GA＝GB，GD＝GC，
∴，
∵∠AGD＝∠BGC，
∴∠AGD+∠DGB＝∠BGC+∠DGB，
即∠AGB＝∠DGC，
∴△AGB∽△DGC，
∴∠GAB＝∠GDC，
又∵GE、GF是对应高，
∴，∠AGE＝∠DGF，
∴，∠AGD＝∠EGF，
∴△AGD∽△EGF．
21．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝150°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，∠EPF＝30°，
∴∠BPE+∠CPF＝150°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：①△BPE∽△CFP；②△BPE与△PFE相似．
下面证明结论：
同（1），可证△BPE∽△CFP，
∴CP：BE＝PF：PE，
∵CP＝BP，
∴BE：BP＝PE：PF．
又∵∠EBP＝∠EPF，
∴△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
22．证明：（1）∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝CD，∠CDP＝∠ADP，CD∥AB，
在△CDP和△ADP中，
，
∴△CDP≌△ADP（SAS），
∴PC＝PA，∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCP＝∠F，
∴∠DAP＝∠F，
∵∠APE＝∠FPA，
∴△PAE∽△PFA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∴PE PF＝PC2；
（2）∵CE⊥BC，
∴∠ECB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠CEA＝∠BCE＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COP＝90°，
∴∠COP＝∠CEA，
∵∠OCP＝∠ECA，
∴△POC∽△AEC．