2022-2023学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 解答题专题提升训练 （Word版含答案）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．
（1）求线段AE的长；
（2）求△ABC的面积．
2．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝　 　．
（2）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，若CD是∠ACB的平分线．
①求证：△BDC为近直角三角形．
②求BD的长．
3．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，AD＝13m，∠B＝∠ACD＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的平分线上，求t的值．
5．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝16，CD＝21，AD＝29，点E是AD的中点，求CE的长．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝5cm，点P为CB边上一动点，当动点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．设CP长为xcm，△APC的面积为ycm2．
（1）求y与x的关系式；
（2）当点P运动到BC的中点时，△APC的面积是多少？
（3）若△APC的面积为8cm2，则CP的长为多少？
7．数学之美，不仅是几何图形经过排列组合后呈现的炫美图案，还包括严谨推理引发的思维律动．已超过400种勾股定理的证明方法呈现的数学之美让我们陶醉，其中一种方法是：将两个全等的Rt△ABE和Rt△DEC如图所示摆放，使点A，E，D在同一条直线上，∠A＝∠D＝90°中，即可借助图中几何图形的面积关系来证明a2+b2＝c2．请写出证明过程．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
9．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AC的中点，连接AD，BE．
（1）若CD＝8，CE＝6，AB＝20，求证：∠C＝90°；
（2）若∠C＝90°，AD＝13，AE＝6，求△ABC的面积．
10．如图，△ABC在正方形网格中，点A、B、C均在小方格的格点上，若小方格边长为1，请判断△ABC的形状，并说明理由．
11．在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求原来的路线AC的长；
12．已知，△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10．
（1）如图1，若点D是AB的中点，且∠B＝40°，求∠DCA的度数；
（2）如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．
13．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：
n 2 3 4 5 6 …
a 22﹣1 32﹣1 42﹣1 52﹣1 62﹣1 …
b 4 6 8 10 12 …
C 22+1 32+1 42+1 52+1 62+1 …
（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）在（1）的条件下判断：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．
14．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．
15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD，
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
16．如图是某设计师打造的一款项目的示意图，其BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF是一木质平台的侧面示意图，测得CD＝1m，AD＝15m，求出AB段的长度．
17．如图，旗绳AC自由下垂时，比旗杆AB长2米，如果将旗绳斜拉直，下端在地面上，距旗杆底部的距离BC＝6米，求旗杆AB的高度．
18．为了测量如图风筝的高度CE，测得如下数据：①BD的长度为8米（注：BD⊥CE）；②放出的风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的同学身高为1.60米．
（1）求风筝的高度CE．
（2）若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
19．LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品．当人（或动物）移至LED灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便．如图，有一个由传感器A控制的LED灯安装在门的上方，离地面高4.5m的墙壁上，当人移至距离该灯5m及5m以内时，灯就会自动点亮．请问：如果一个身高1.5m的人走到离门多远的地方，该灯刚好点亮？
20．自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化．如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m．
（1）如图，连接AC，试求AC的长；
（2）安宁市委、市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱．
参考答案
1．解：（1）∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，
∴DE＝CD＝6，
∴AE＝8；
（2）设BC＝x，则BE＝x，AB＝8+x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即162+x2＝（8+x）2，
解得x＝12，
即BC＝12，
∴S＝96．
2．解：（1）∠B不可能是α或β，
当∠A＝α时，∠C＝β＝50°，α+2β＝90°，不成立；
故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，则β＝20°，
故答案为：20°；
（2）①如图1，设∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，
则α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②如图2，过点D作DM⊥BC于点M，
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，
∴AD＝DM．
在Rt△ACD和Rt△MCD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．
∴AC＝CM＝4．
∵AB＝3，AC＝4，
∴BC＝5．
∴BM＝1．
设AD＝DM＝x，
∵DM2+BM2＝DB2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，
∴x＝，
∴BD＝AB﹣AD＝3﹣＝．
3．解：∵∠ACD＝90°，
∴AC2+DC2＝AD2，
由勾股定理得AC＝5m，
∴DC＝12m，
这块草坪的面积＝SRt△ABC+SRt△ACD＝AB BC+AC DC＝（3×4+5×12）＝36m2．
故需要的费用为36×100＝3600元．
答：铺满这块空地共需花费3600元．
4．解：（1）如图1，PA＝PB，
在Rt△ACB中，AC=8
设AP＝t，则PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，依勾股定理得：（8﹣t）2+62＝t2，
解得，
即此时t的值为；
（2）分两种情况：
①点P在BC上时，如图2所示：过点P作PE⊥AB，
则PC＝t﹣8，PB＝14﹣t，
∵AP平分∠BAC
且PC⊥AC
∴PE＝PC
在△ACP与△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（AAS），
∴AE＝AC＝8，
∴BE＝2，
在Rt△PEB中，依勾股定理得：PE2+EB2＝PB2
即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2
解得：；
②点P又回到A点时，
∵AC+BC+AB＝8+6+10＝24，
∴t＝24；
综上所述，点P在∠BAC的平分线上时，t的值为秒或24秒．
5．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝12，BC＝16，
∴AC＝20，
∵CD＝21，AD＝29，
∵AC2+CD2＝202+212＝841，
AD2＝841，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝＝×29＝．
6．解：（1），所以y与x的关系式为y＝2x；
（2）当时，y＝5，
所以点P运动到BC的中点时，△APC的面积为5cm2；
（3）当y＝8时，2x＝8，解得x＝4，
所以当△APC的面积为8cm2时，CP的长为4cm．
7．证明：如图，连接BC，
∵Rt△ABE≌Rt△DEC，
∴∠AEB＝∠DCE，BE＝EC＝c，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△CDE+SRt△BEC，
∴，
即
∴，
∴a2+b2＝c2．
8．（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
9．（1）证明：∵D是边BC的中点，E是边AC的中点，CD＝8，CE＝6，
∴AC＝2CE＝12，BC＝2CD＝16，
∵AB＝20，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵E是边AC的中点，AE＝6，
∴AC＝2AE＝12．
在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，AC＝12，AD＝13，
∴CD＝5，
∴BC＝2CD＝10，
∴△ABC的面积＝AC BC＝×12×10＝60．
10．解：△ABC是直角三角形，
理由：由图可得，
∵AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
11．（1）证明：∵CB＝6.5千米，CD＝6千米，BD＝2.5千米，
62+2.52＝6.52，
∴CD2+BD2＝CB2，
∴△CDB为直角三角形，
∴CD⊥AB；
（2）解：设AC＝x千米，则AD＝（x﹣2.5）千米．
∵CD⊥AB，∠ADC＝90°，
∴CD2+AD2＝AC2，即62+（x﹣2.5）2＝x2，
解得：x＝8.45．
答：原来的路线AC的长为8.45千米．
12．解：（1）在△ABC中，BC＝8，AC＝6，AB＝10，
∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝40°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝50°，
∵点D是AB的中点，
∴CD＝DA＝AB，
∴∠A＝∠DCA＝50°，
∴∠DCA的度数为50°；
（2）如图：当CE⊥AB时，线段CE最小，
∵△ABC的面积＝AB CE＝AC BC，
∴AB CE＝AC BC，
∴10CE＝6×8，
∴CE＝4.8，
∴线段CE的最小值为4.8．
13．解：（1）观察上表，用含n（n＞1，且n为整数）的代数式表示a，b，c，则a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
故答案为：n2﹣1，2n，n2+1；
（2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形，
证明：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴a2＝（n2﹣1）2＝n4﹣2n2+1，
b2＝（2n）2＝4n2，
c2＝（ n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
14．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝6（m），
∴BD＝CD﹣BC＝0.5（m），
∴大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5米．
15．（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD＝90°，∠CEB＝90°（垂线的意义）
CE＝CF（角平分线的性质）
∵BC＝CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF＝EB，设DF＝EB＝X
∵∠CFD＝90°，∠CEB＝90°，
CE＝CF，AC＝AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF＝AE
即：AD+DF＝AB﹣BE
∵AB＝21，AD＝9，DF＝EB＝x
∴9+x＝21﹣x解得，x＝6
在Rt△DCF中，∵DF＝6，CD＝10
∴CF＝8
∴Rt△AFC中，AC2＝CF2+AF2＝82+（9+6）2＝289
∴AC＝17
答：AC的长为17．
16．解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2＝CB2，
∴x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得x＝8，
∴BA＝BG+GA＝8+1＝9（米），
答：AB的长度长为9米．
17．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：
（x+2）2＝x2+62，
解得：x＝8．
答：旗杆的高度为8米．
18．解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6米，
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9，
∴DM＝6，
∴BM＝10，
∴BC﹣BM＝7，
∴他应该往回收线7米．
9．解：AE＝AB﹣BE＝4.5﹣1.5＝3（m），AD＝5m．
由勾股定理，得DE2＝AD2﹣AE2＝52﹣32＝16，
所以DE＝4（m）．
因此，当人走到离门4m的地方，该灯刚好点亮．
20．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，
∴AC＝25（m），
答：AC的长为25m；
（2）∵AC2＝625，CD2＝49，AD2＝576，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，
∴“口袋公园”的面积＝S△ABC+S△ACD＝AB×BC+×AD×CD＝+24×7＝234（m2），
234×2000＝468000（元），
答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元钱．