2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3 角的平分线的性质 同步练习 （Word版含答案）

第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质（同步练习）
一、单选题
1．如图，已知在中，，，嘉淇通过尺规作图得到，交于点D，根据其作图痕迹，可得的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．98°
2．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，在中，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平分于,已知,则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，E，F分别为线段AD，AC上的动点，其中AB＝10，AC＝8，CD＝，则CE+EF的最小值为（　　）
A． B． C．10 D．80
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（　　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
7．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5.5
8．如图OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，D在OB上，PC=3，则PD的大小关系是（ ）
A．PD≥3 B．PD=3 C．PD≤3 D．不能确定
9．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c（b＜c＜a），BC的垂直平分线DG交∠BAC的角平分线AD于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列结论一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝3，BD＝2CD，则BC＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
11．已知∠AOB＝90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，那么∠EOF 的度数为_____________．
12．如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝3cm，点P在AB上，连接DP，则DP的最小值为_____cm．
13．如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为5，则的长为______________．
14．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为________．
15．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∠AOC=120°，则∠MON=___________.
三、解答题
16．探究：如图①，点A在直线MN上，点B在直线MN外，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥MN，交∠MAB的平分线AD于点C，连结BC，求证：BC⊥AD．
应用：如图②，点B在∠MAN内部，连结AB，过线段AB的中点P作PC∥AM，交∠MAB的平分线AD于点C；作PE∥AN，交∠NAB的平分线AF于点E，连结BC、BE．若∠MAN＝150°，则∠CBE的大小为______度．
17．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC、BD．
（1）用基本尺规作图：作∠ACB的角平分线CM，交DA的延长线于点E，交BD于F（保留画图的痕迹，不写作法）；
（2）若F是BD的中点，AD＝4，AC＝3，求BC的长．
18．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现在要建设一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请确定中转站p的位置．
要求：尺规作图，保留痕迹，标注字母，不写作法．
19．已知：如图，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，F、G分别是 OA、OB 上的点，且 PF=PG，DF=EG． 求证：OC 是∠AOB 的平分线．
20．四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F．
（1）求证：△CBE≌△CDF；
（2）若AB＝3，DF＝2，求AF的长．
参考答案：
1．B
【详解】
根据作图痕迹可知，是∠ABC的平分线，
∵，，
∴
∵是∠ABC的平分线，
∴
∴
故选：B．
2．C
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
3．C
【详解】
解：选项:在中，，
，故选项不符合题意;
选项:，
，
平分，平分，
，
故选项不符合题意;
选项:在中，
故选项符合题意;
选项:分别是和的平分线
到的距离相等，
是的外角平分线，
，
故选项不符合题意．
故选．
4．B
【详解】
作DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，DE=DG，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，∠DFC=∠BAC=30°，
∴∠ADF=∠CAD，
∴DF=AF=4m，
∴Rt△FDG中，DG=DF=2cm，
∴DE=2cm．
故选：B．
5．A
【详解】
如图，过点作，交于，过点作于点，过点作于点，作关于的对称点，连接，
AD平分∠CAB，
，
E，F分别为线段AD，AC上的动点，
当分别与点重合时，取得最小值，最小值为的长
又
的最小值为
故选A
6．B
【详解】
解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH=DE=2，
∵S△ABC=S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+×2×4=7，
∴AC=3．
故选：B．
7．A
【详解】
过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∵△ABD的面积为9，AB=6，
∴DE=＝3，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴DE=3，
∴DP≥3，
故选A．
8．A
【详解】
试题分析：过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据垂线段最短解答．
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PE=PC=3，
∵D在OB上，
∴PD≥PE，
∴PD≥3．
故选A．
考点：角平分线的性质；垂线段最短．
9．D
【详解】
如图，连接DB、DC．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°．
∵DG垂直平分线段BC，∴DB=DC．
在Rt△DEB和Rt△DFC中，∵，∴△DEB≌△DFC，∴BE=CF，同理△ADE≌△ADF，∴AE=AF，∴AB+AC=（AE+BE）+（AF﹣CF）=2AE，∴AE=（AB+AC）=（b+c）．
故选D．
10．C
【详解】
解：∵在△ADE和△ADC中，
∴△ADE≌△ADC，
∴CD=DE，
∵BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3DE=9．
故答案为9．
故选C
11．45°或135°
【详解】
解：①OC在∠AOB内部，
如图所示：
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COE＝∠AOC，∠COF＝∠BOC，
∴∠COE＋∠COF＝∠AOC＋∠BOC，
即∠EOF＝∠AOB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝45°；
②如图，
当OC在∠AOB外部时，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC，∠BOF＝∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝（360° 90°）÷2，
∴∠EOF＝135°，
综上所述：∠EOF＝45°或135°．
故答案为45°或135°．
12．3．
【详解】
作DP′⊥AB于P′，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DP′⊥AB
∴DP′＝DC＝3cm，
则DP的最小值为3cm，
故答案为3．
13．2
【详解】
过点作于，如图，
的面积为5，
，
而，
，
平分，，，
．
故答案为2．
14．6
【详解】
解：如图，过点E作ET⊥AB于T．
∵BC=14，BE=8，
∴EC=BCBE=6，
由作图可知，AE平分⊥CAB，
∵EC⊥AC，ET⊥AB，
∴ET=EC=6，
故答案为：6．
15．60°
【详解】
∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠AOM=∠BOM=∠AOB，∠BON=∠CON=∠BOC，
∴∠BOM+∠BON=∠AOB+∠BOC=∠AOC=×120°=60°，
即∠MON=60°.
故答案为60°．
16．探究：证明见解析；应用：150．
【详解】
解：探究：∵PC∥MN，
∴∠PCA=∠MAC．
∵AD为∠MAB的平分线，
∴∠MAC=∠PAC．
∴∠PCA=∠PAC，
∴PC=PA．
∵PA=PB，
∴PC=PB，
∴∠B=∠BCP．
∵∠B+∠BCP+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠BCA=90°，
∴BC⊥AD；
应用：∵∠MAB的平分线AD，∠NAB的平分线AF，∠MAN=150°，
∴∠BAC+∠BAE=75°，
由探究得：∠BAC+∠BAE+∠CBA+∠ABE=180°，
∴∠CBE=∠CBA+∠ABE=180°﹣75°=105°
故答案为：105．
17．（1）见解答；（2）7
【详解】
解：（1）如图，CM为所作；
以C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交AC，BC与G、N两点，分别以G、N为圆心，以大于GN的一半长为半径画弧，交于点H，连接CH并延长交DA的延长线于E.
（2）∵CM平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵AD∥BC，
∴∠AEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC＝3，
∵F是BD的中点，
∴BF＝AF，
在△BCF和△DEF中，
，
∴△BCF≌△DEF（AAS），
∴BC＝DE＝4+3＝7．
18．作图见解析部分．到三条公路的距离相等的点有四个．
【详解】
解：如图，满足条件的点P有四个，如图所示：
19．见解析
【详解】
证明：在 Rt△PFD 和 Rt△PGE 中， ，
∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），
∴PD=PE，
∵P 是 OC 上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴OC 是∠AOB 的平分线．
20．（1）详见解析；（2）5．
【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD
∴CE＝CF
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠EBC＝180°
∴∠EBC＝∠D．
在△CBE与△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（AAS）；
（2）在Rt△ACE与Rt△ACF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+DF＝AB+BE＝AE＝AF，
∵AB＝3，DF＝2，
∴AF＝3+2＝5．