2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 解答专项练习题 (word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
解答专项练习题（附答案）
1．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC．
2．如图所示，在四边形ABCD中，CA是∠BCD的角平分线，且AC2＝CD BC，求证：△ABC∽△DAC．
3．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，求证：△ADE∽△ACB．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
5．如图，AB AE＝AD AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△ADE．
6．如图，在△ABC中，D在AB上，DE∥BC交AC于点E，EF∥AB交BC于F，求证：△ADE∽△EFC．
7．如图，∠1＝∠B，CD＝CE．那么△ADC与△AEB相似吗？如果相似，请说明理由．
8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D、E、B、C在同一条直线上，且AB2＝BD CE，求证：△ABD∽△ECA．
9．如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．求证：△ABD∽△CED．
10．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE．
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．
（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．
11．平行四边形ABCD中，过A作AE⊥BC，垂足为E，连DE、F为线段DE上一点，且∠1＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
12．已知：如图，AD AB＝AE AC，那么△ADC∽△AEB相似吗？请说明理由．
13．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，则△ABC与△ADE相似吗？为什么？
14．如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F，连接AE．求证：△BAE∽△ACE．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD DE＝BE CD．求证：△BCD∽△BDE．
17．如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．
18．如图，在△ABC和△ACD中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使△ABC∽△CAD，并加以证明．
19．如图，DA⊥AB于A，EB⊥AB于B，C是AB上的动点，若∠DCE＝90°．
求证：△ACD∽△BEC．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
21．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝3，连接DE．
求证：△ABC∽△CED．
22．已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．
求证：
（1）∠AED＝∠BAC；
（2）△ABC∽△EAD．
参考答案
1．证明：∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
2．证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵AC2＝CD BC，
∴＝，
∴△ABC∽△DAC．
3．证明：∵AB＝9，BD＝7，AC＝6，CE＝3，
∴AD＝AB﹣BD＝9﹣7＝2，AE＝AC﹣CE＝6﹣3＝3，
∵，，
∴
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
4．证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵CE＝AC，
∴CE＝2，
∵CD＝5，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
5．证明：如图，∵AB AE＝AD AC，
∴＝．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
6．证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，
∴△ADE∽△EFC．
7．解：相似．
理由：∵CD＝CE，
∴∠3＝∠4，
∵∠4＝∠B+∠2，
∠3＝∠1+∠5，
且∠1＝∠B，
∴∠2＝∠5，
∴△ADC∽△BEA．
8．证明：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝BD CE，
∴＝，即＝，
∴△ABD∽△ECA．
9．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE，
又∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ABD∽△CED．
10．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
（2）△ABD∽△ACE．
证明：由（1）知△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴AB×AE＝AC×AD，
∴＝，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠DEC，∠C+∠B＝180°．
∵∠1＝∠B，∠1+∠AFD＝180°，
∴∠C＝∠AFD，
∴△ADF∽△DEC．
12．解：∵AD AB＝AE AC，
∴AD：AE＝AC：AB．
又∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△AEB（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
13．解：△ABC与△ADE相似．理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
又∵在△AHE和△DHC中，∠2＝∠3，∠AHE＝∠DHC
∴∠C＝∠E，
在△ABC和△ADE中
∵∠E＝∠C，
∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
14．证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠ADE﹣∠BAD，
∴∠CAE＝∠B，
∴△BAE∽△ACE．
15．证明：∵四边形ABCD是正方形，BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝AD，CP＝AD，
∴，
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，
∴△ADQ∽△QCP．
16．证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD DE＝BE CD，
∴，
∴△BCD∽△BDE．
17．解：∵AD＝AB，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠DEC＝∠B，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，
∴∠ADC＝∠AED，
∵∠DAE＝∠CAD，
∴△AED∽△ADC．
18．解：添加条件：AB∥CD（答案不唯一），
证明：∵AD⊥CD，AC⊥BC，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∴△ABC∽△CAD．
19．证明：∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠DAC＝∠CBE＝90°，
∴∠ADC+∠DCA＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ADC，
∴△ACD∽△BEC．
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，
∴∠DFC＝∠B，
∴△DCF∽△CEB．
21．证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝，
∵CE＝AC，
∴CE＝，
∵CD＝3，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
22．证明：（1）∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD．
∵∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠BAC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠AED＝∠BAC，
∴△ABC∽△EAD．