2022-2023学年北师大版八年级数学上册2.7二次根式 分类练习题(word版含答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.7二次根式》同步知识点分类练习题（附答案）
一．二次根式的定义
1．下列的式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．若是正整数，最小的正整数n是（　　）
A．6 B．3 C．48 D．2
3．在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．二次根式有意义的条件
4．已知，则4x+y的平方根为（　　）
A． B． C．2 D．±2
5．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1
6．若代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠﹣3
7．要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1 B．m≥﹣1 C．m＞﹣1且m≠1 D．m≥﹣1且m≠1
8．使代数式+有意义的整数x有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（　　）
A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣4
10．若|2021﹣m|+＝m，则m﹣20212＝　 　．
三．二次根式的性质与化简
11．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
12．已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）
A．0 B．3 C． D．9
13．下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
14．若2＜a＜3，则等于（　　）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1
15．若＝3﹣x，则x的取值范围是　 　．
16．已知：a＜0，化简＝　 　．
17．化简＝　 　．
18．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|．
19．阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn＝，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得＝m+n．
化简：．
∵5+2＝3+2+2＝（）2+（）2+2＝（+）2．
∴＝＝+．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）； （2）．
20．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　 　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
21．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
四．最简二次根式
22．下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
23．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．把下列二次根式化成最简二次根式
（1） （2） （3）
五．二次根式的乘除法
25．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
26．把根号外的因式移入根号内得（　　）
A． B． C． D．
27．如果，那么x的取值范围是（　　）
A．1≤x≤2 B．1＜x≤2 C．x≥2 D．x＞2
28．．
六．化简分母中的二次根式
29．已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（　　）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
30．实数的整数部分a＝　 　，小数部分b＝　 　．
31．已知x＝+，y＝﹣，求：
（1）+的值；
（2）2x2+6xy+2y2的值．
七．可以合并的二次根式
32．若4与可以合并，则m的值不可以是（　　）
A． B． C． D．
33．下列二次根式中，与可以合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
八．二次根式的加减法
34．有下列计算：
①（m2）3＝m6，
②，
③m6÷m2＝m3，
④，
⑤，
其中正确的运算有　 　．
35．化简：．
36．计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
九．二次根式的混合运算
37．计算：（2﹣）2022 （2+）2023﹣2﹣（）0．
38．计算：．
39．计算．
（1）；
（2）（2﹣1）﹣+6．
40．计算：．
41．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．
42．计算
（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）
（2）（﹣2）×﹣6．
43．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．
44．计算：×（﹣）+|﹣2|+（）﹣3．
45．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
46．计算：（2﹣）0+|2﹣|+（﹣1）2021﹣×．
47．计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0
48．计算：×﹣4××（1﹣）0；
49．计算：÷+（2﹣）0﹣（﹣1）2024+|﹣2|+（﹣）﹣2．
50．计算
（1）
（2）．
51．计算：
（1）
（2）．
52．计算：
十．二次根式的化简求值
53．设a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　 　．
54．已知1＜x＜2，，则的值是　 　．
55．先化简，再求值：（﹣） ，其中x＝．
56．先化简，再求值：，其中a＝+1．
57．已知a＝，求的值．
58．先化简，再求值：，其中．
59．先化简，再求值：，其中x＝﹣3﹣（π﹣3）0．
参考答案
一．二次根式的定义
1．解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；
B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；
C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；
D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；
故选：C．
2．解：＝4，由于是正整数，所以n的最小正整数值是3，
故选：B．
3．解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1＜0，无意义，故不符合题意；是三次根式，不符合题意；x+y是整式，不符合题意；
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），，共4个．
故选：C．
二．二次根式有意义的条件
4．解：由题意得：，
解得：x＝，
∴y＝1，
∴4x+y＝4×+1＝2，
∴2的平方根是．
故选：B．
5．解：∵代数式+有意义，
∴，
解得x≥0且x≠1．
故选：D．
6．解：∵代数式有意义，
∴3x﹣2≥0，|x|﹣3≠0，
解得：x≥且x≠3．
故选：C．
7．解：根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选：D．
8．解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x≤，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
故选：B．
9．解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
∴m可以为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
10．解：∵|2021﹣m|+＝m，
∴m﹣2022≥0，
m≥2022，
由题意，得m﹣2021+＝m．
化简，得＝2021，
平方，得m﹣2018＝20212，
m﹣20212＝20122．
故答案为：2022．
三．二次根式的性质与化简
11．解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0，
则|a|+
＝﹣a﹣（a﹣b）
＝﹣2a+b．
故选：A．
12．解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式的值最小，为即3
故选：B．
13．解：①＝＝4，正确；
②＝（﹣1）2＝1×4＝4≠16，不正确；
③＝4符合二次根式的意义，正确；
④＝＝4≠﹣4，不正确．
①③正确．
故选：D．
14．解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
15．解：∵＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3，
故答案为：x≤3．
16．解：∵原式＝﹣＝﹣
又∵二次根式内的数为非负数
∴a﹣＝0
∴a＝1或﹣1
∵a＜0
∴a＝﹣1
∴原式＝0﹣2＝﹣2．
17．解：∵（）2有意义，
∴2x﹣3≥0，
∴x≥1.5，
∴2x﹣1≥3﹣1＝2，
∴
＝﹣2x+3
＝2x﹣1﹣2x+3
＝2，
故答案为2．
18．解：从数轴上a、b的位置关系可知：﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式＝|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b|
＝﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
＝b﹣3．
19．解：（1）∵4+2＝1+3+2＝12++2＝（1+）2，
∴＝＝1+；
（2）＝＝＝﹣．
20．解：（1）＝1＝1；故答案为：1；
（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；
（3）．
21．解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|﹣|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b+c﹣a﹣b＝4c．
四．最简二次根式
22．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．
故选：B．
23．解：＝3，＝，＝等都不是最简二次根式，
而，，是最简二次根式，
即最简二次根式有3个．
故选：C．
24．解：（1）＝；
（2）＝4；
（3）＝＝．
五．二次根式的乘除法
25．解：∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
①＝，被开方数应≥0，a，b不能做被开方数，（故①错误），
② ＝1， ＝＝＝1，（故②正确），
③÷＝﹣b，÷＝÷＝×＝﹣b，（故③正确）．
故选：B．
26．解：∵成立，
∴﹣＞0，即m＜0，
∴原式＝﹣＝﹣．
故选：D．
27．解：由题意可得，x﹣1≥0且x﹣2＞0，
解得x＞2．
故选：D．
28．解：原式＝3×（﹣）×2
＝﹣3××2×
＝﹣
＝﹣×10
＝﹣．
六．化简分母中的二次根式
29．解：分母有理化，可得a＝2+，b＝2﹣，
∴a﹣b＝（2+）﹣（2﹣）＝2，故A选项错误；
a+b＝（2+）+（2﹣）＝4，故B选项错误；
ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1，故C选项正确；
∵a2＝（2+）2＝4+4+3＝7+4，b2＝（2﹣）2＝4﹣4+3＝7﹣4，
∴a2≠b2，故D选项错误；
故选：C．
30．解：＝＝，
∵4＜7＜9，∴2＜＜3，
∴＜＜3，即实数的整数部分a＝2，
则小数部分为﹣2＝．
故答案为：2；．
31．解：（1）∵x＝+，y＝﹣，
∴x+y＝2，
xy＝1，
∴+
＝
＝
＝
＝10；
（2）∵x＝+，y＝﹣，
∴2x2+6xy+2y2
＝2x2+4xy+2y2+2xy
＝2（x+y）2+2xy
＝2（++﹣）2+2×（+）×（﹣）
＝24+2
＝26．
七．可以合并的二次根式
32．解：A、把代入根式分别化简：4＝4＝，＝＝，故选项不符合题意；
B、把代入根式化简：4＝4＝；＝＝，故选项不合题意；
C、把代入根式化简：4＝4＝1；＝，故选项不合题意；
D、把代入根式化简：4＝4＝，＝＝，故符合题意．
故选：D．
33．解：A、＝3，与不可以合并，故该选项不符合题意；
B、＝，与，可以合并，故该选项符合题意；
C、＝2，与不可以合并，故该选项不符合题意；
D、＝＝，与不可以合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
八．二次根式的加减法
34．解：∵（m2）3＝m6，∴①正确；
∵＝＝|2a﹣1|＝，∴②错误；
∵m6÷m2＝m4，∴③错误；
∵＝3×5÷＝15÷＝15，
∴④正确；
∵＝4﹣2+12＝14，
∴⑤正确．
∴正确的运算有：①④⑤．
故答案为：①④⑤．
35．解：原式＝2+3+×4﹣15×＝2+3+﹣5＝．
36．解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．
九．二次根式的混合运算
37．解：（2﹣）2022 （2+）2023﹣2﹣（）0
＝[（2﹣）（2+）]2022 （2+）﹣﹣1
＝2+﹣﹣1
＝1．
38．解：原式＝5﹣3﹣+
＝5﹣3﹣+2
＝2+．
39．解：（1）
＝1+2﹣2﹣2﹣2
＝﹣3；
（2）（2﹣1）﹣+6
＝12﹣1﹣2+2
＝11．
40．解：原式＝﹣+2
＝4﹣+2
＝4+．
41．解：原式＝5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
＝﹣7+3．
42．解：（1）原式＝12﹣4+1+3﹣4
＝12﹣4
（2）原式＝﹣2﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6．
43．解：原式＝3﹣1+2﹣1
＝1+2．
44．解：原式＝﹣+2+8
＝﹣3+2+8
＝8﹣．
45．解：原式＝﹣+2﹣﹣2
＝﹣2﹣
＝﹣3
46．解：原式＝1+﹣2﹣1﹣
＝﹣2．
47．解：原式＝+﹣1+1
＝3+﹣1+1
＝4．
48．解：2原式＝﹣4××1
＝2﹣
＝；
49．解：原式＝+1﹣1+2﹣+4
＝2+1﹣1+2﹣+4
＝8﹣．
50．解：（1）原式＝（2）2﹣（）2
＝20﹣3
＝17；
（2）原式＝2﹣﹣﹣
＝﹣．
51．解：（1）原式＝﹣2﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）原式＝2+2+1﹣
＝3+2﹣10
＝3﹣8．
52．解：，
＝，
＝．
十．二次根式的化简求值
53．解：∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，两式相加得，a﹣c＝4，
原式＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝
＝
＝
＝
＝
＝15．
54．解：∵（）2＝x﹣1﹣2+
＝x+﹣3，
又∵，
∴（）2＝4，
又∵1＜x＜2，
∴＜0，
∴＝﹣2．
故填：﹣2．
55．解：原式＝ ，
当x＝时，x+1＞0，
可知＝x+1，
故原式＝ ＝＝＝；
56．解：，
＝，
＝，
＝，
当时，原式＝＝．
57．解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，
则原式＝﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7．
58．解：
＝
＝
＝
＝；
当x＝﹣3时，原式＝＝．
59．解：，
＝÷，
＝×，
＝．
x＝﹣3﹣（π﹣3）0，
＝×4﹣﹣1，
＝2﹣﹣1，
＝﹣1．
把x＝﹣1代入得到：＝＝．即＝．