2022-2023学年北师大版九年级数学上册 4.5相似三角形判定定理的证明 同步达标测试题(word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，等边△ABC的边长为6，P为BC上一点，BP＝2，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（　　）
A．2 B． C． D．1
3．如图，在△ABC中，BC＝3，点D为AC延长线上的一点，AC＝3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，若∠CBD＝∠A，则AB的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．4.2
4．如图，在 ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么S△BEF：S△BCF＝（　　）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D．过点D作DE∥BC交AB于点E，若AE：BE＝3：2，且△ADE的面积为3，则△BCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D、E在斜边AB边上，∠DCE＝45°，若AE BD＝8，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．4 C．4 D．3
7．如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在边DE上，AC与BD交于点O，连接CD，则下列与BO BD的值相等的是（　　）
A．OA OC B．AE AD C．AB2 D．AD2
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，E为AB的中点，CE交BD于点F，且∠ADB＝∠BCE，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB＝4，CD＝6，则OM﹣EF值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，a∥b∥c∥d∥e，每相邻两条直线之间的距离均相等．点A，B，C分别在直线a，c，e上，AC交b于点D，BC交d于点G，AB分别交c，d于点E，F．若四边形DEFG的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．8 B． C． D．12
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列结论：①；②；③；④；其中正确比例式有　 　（填序号）．
12．如图，四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFGH都是正方形，且点B、C、F、G在同一直线上，则∠1+∠2＝　 　°．
13．如图，已知P，D分别是等边△ABC的边BC，AC上的点，且∠APD＝60°，PB＝2，CD＝，则△ABC的边长为　 　．
14．如图，△ABC中，边BC＝12cm，高AD＝6cm，边长为x的正方形HEFG的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则边长x为　 　．
15．如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，BP⊥PE交BC的延长线于点E，若AB＝6，AP＝4，则CE的长为　 　．
16．如图是由五个边长都是1的正方形纸片拼接而成的，过点A1的直线分别与BC1、BE交于点M、N，若BM BN＝5，则＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝12，点P为BC中点，点Q为AC上一点．
（1）当PQ＝AQ时，求CQ的长；
（2）若∠APQ＝45°，求CQ的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
19．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG AE＝AB AG．
20．如图，在 ABCD中，点E、F分别是边AD和对角线AC上的点，连接EF，且∠AEF＝∠CAB．
（1）求证：△AEF∽△ACD；
（2）若AF＝2CF，AE＝4，DE＝5，求AC的长．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．
（1）求证：△PAB∽△PBC；
（2）求证：PA＝2PC；
（3）若PC＝1，求P到AB边距离．
22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G．
（1）求证：△AED∽△ABC．
（2）若AG平分∠BAC，求证：．
23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．
（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；
②求证：△EGC∽△CBD；
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是AB边上的中线，点E为线段CD上一点（不与点C、D重合），连接BE，作EF⊥BE与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF．
（1）求证：△CFG∽△EBG；
（2）求∠EFB的度数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：∵DE∥BC，EF∥CD
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴，
∴
故选：C．
2．解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB＝6，BP＝2，
∴，
∴CD＝，
故选：B．
3．解：∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴，
∵BC＝3，AC＝3CD，
∴CH＝1．
∴BH＝4，
∵∠CBD＝∠A，∠ABC＝∠BHD，
∴△ABC∽△BHD，
∴，
∵△ABC∽△DHC，
∴，
∴AB＝3DH，
∴，
解得DH＝2，
∴AB＝3DH＝3×2＝6，
故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为矩形，E为AB中点，
∴AB∥CD，BE＝，
∴△BEF∽△DCF，
∴，
∵△BEF与△BCF等高，
∴S△BEF：S△BCF＝．
故选：A．
5．解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，
∴△BDE的面积＝2，
∴△ABD的面积为5，
∵DE∥CB，
∴＝＝，
∴△BCD的面积＝×5＝
∴△BCD的面积为，
故选：D．
6．解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵∠AEC＝∠B+∠ECB＝45°+∠ECB，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCD＝∠DCE+∠ECB＝45°+∠ECB，
∴∠AEC＝∠BCD，
又∵∠A＝∠B，
∴△AEC∽△BCD，
∴＝，
即AC BC＝AE BD，
∵AC＝BC，AE BD＝8，
∴AC2＝8，
∴AC＝BC＝2，
∴△ABC的面积＝ AC BC＝×2×＝4，
故选：C．
7．解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠BAC＝∠BDA＝60°，
∵∠ABO＝∠DBA，
∴△ABO∽△DBA，
∴，
∴BO BD＝AB2，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBC，
∵∠ADB＝∠BCE，
∴∠FBC＝∠FCB，
∴FB＝FC，
∵E为AB的中点，
∴BE＝AB＝1，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DCE，∠BEF＝∠DCE，
∴△BEF∽△DCF，
∴＝，
∴FC＝2EF，
∴FB＝2EF，
设EF＝x，则BF＝FC＝2x，
∴EC＝EF+CF＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCE，
∵∠BEF＝∠BEF，
∴△BEF∽△CEB，
∴，
∴BE2＝EF EC，
∴12＝x 3x，
∴或x＝﹣（舍去），
∴BF＝2x＝，
故选：B．
9．解：∵AB⊥BC、DC⊥BC，OM⊥BC，
∴OM∥AB∥CD，
∴△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴+＝＝1，
∴OM＝，
∵EF⊥BC，
∴EG∥AB∥CD，
∵点E是BD的中点，
∴BE＝DE，
∴BG＝CG，
∴CF＝AF，
∴EG＝CD＝3，FG＝AB＝2，
∴EF＝EG﹣FG＝1，
∴OM﹣EF＝，
故选：A．
10．解：由图象可得，点D，E，F，G分别为AC，AB，EB，BC的中点，
∴DG，DE，FG分别为△CAB，△ABC，△BEC的中位线，
∴S△CDG＝S△AED＝S△ABC，S△BFG＝S△BEC＝S△ABC，
∵四边形DEFG的面积为4，
∴S△ABC﹣S△CDG﹣S△AED﹣S△BFG＝S△ABC＝4，
∴S△ABC＝．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，BD＝EF，
∵EF∥AB，
∴；所以①正确；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
而DE＝BF，
∴＝；所以②正确；
∵EF＝BD，而AD≠BD，
∴不成立，所以③错误；
∵EF∥AB，
∴＝；
即＝所以④正确．
12．证明：设小正方形的边长为λ，
由勾股定理得：
AC2＝λ2+λ2＝2λ2，
∴AC＝λ；
同理可证：AF＝λ，AG＝λ；
∵＝＝，
即＝＝，
∴△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF；
∵∠ACB＝∠CAF+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故答案为：45．
13．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，
∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD；
∴＝，
∵PB＝2，CD＝，
∴＝，
∴AB＝6，
∴△ABC的边长为6．
故答案为：6．
14．解：∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得x＝4cm．
故答案为：4cm．
15．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝∠ECF＝90°，AB＝AD＝CD＝6，
∴DP＝AD﹣AP＝2．
∵BP⊥PE，
∴∠BPE＝90°，
∴∠APB+∠DPF＝90°．
∵∠APB+∠ABP＝90°，
∴∠ABP＝∠DPF．
又∵∠A＝∠D，
∴△APB∽△DFP，
∴＝，即＝，
∴DF＝，
∴CF＝．
∵∠PFD＝∠EFC，∠D＝∠ECF，
∴△PFD∽△EFC，
∴＝，即＝，
∴CE＝7．
故答案为：7．
16．解：∵A1B1∥BN，
∴△A1B1M∽△NBM，
又A1B1＝BB1＝1，
∴NB：A1B1＝MB：MB1，
即 NB：1＝MB：（MB﹣1），
整理，得MB+NB＝MB NB，
∵BM BN＝5，
∴MB+NB＝5，
∴，
∵MB＜NB，
∴MB＝，NB＝，
∴＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：（1）∵P为BC的中点且BC＝12，
∴CP＝BP＝BC＝6．
设PQ＝AQ＝x，
则CQ＝AC﹣AQ＝12﹣x，又∠C＝90°，
∴在Rt△CPQ中，有CQ2+CP2＝PQ2，
即（12﹣x）2+62＝x2，
解得x＝．
∴CQ＝12﹣x＝，
∴CQ的长为．
（2）如图，过点Q作QD⊥AP于点D，
在Rt△ACP中，AC＝12，CP＝6，
∴AP＝＝6．
设CQ＝x，则AQ＝AC﹣CQ＝12﹣x，
而在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝＝，
∵∠APQ＝45°，
∴在Rt△PDQ中，QD＝PQ sin45°＝×＝，
又S△APQ＝AQ CP＝AP QD，
即×（12﹣x）×6＝×6×，
解得x1＝2，x2＝﹣18（舍去）．
∴CQ的长度为2．
18．解：（1）∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB
∵∠APC＝∠ABC+∠BAP
∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP
且∠APD＝∠B
∴∠DPC＝∠BAP且∠ABC＝∠ACB
∴△BAP∽△CPD
（2）∵△ABP∽△PCD
∴即
∵PD∥AB
∴即
∴
∴
∴BP＝
19．证明：（1）∵AF2＝FG FE．
∴，且∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴，且∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∵AE∥BC，
∴
∴，
∴，
∴DG AE＝AB AG．
20．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠CAB＝∠ACD，
∵∠AEF＝∠CAB，
∴∠AEF＝∠ACD，
∵∠EAF＝∠CAD，
∴△AEF∽△ACD；
（2）解：AF＝2CF，设CF＝x，AF＝2x，
由△AEF∽△ACD得，
，
∴AF×AC＝AE×AD，即2x 3x＝4 （4+5），
解得x＝，
∴AC＝3x＝3．
21．证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC，
∵∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°，
∴∠PBC＝∠PAB，
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴，
∴PB＝PC，PA＝PB，
∴PA＝2PC；
（3）解：如图，过点P作PH⊥AB于H，
∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°，
∴∠APC＝∠BHP＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝45°＝∠PAB+∠PAC，
∵∠APB＝135°，
∴∠PAB+∠PBA＝45°，
∴∠PAC＝∠PBA，
∴Rt△ACP∽Rt△BPH，
∴，即，
∵PA＝2PC，PC＝1，
∴PA＝2，AC＝，
∵△PAB∽△PBC，
∴，
∴BP＝，
∴PH＝．
∴P到AB边距离为．
22．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠EAD，
∴△AED∽△ABC；
（2）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠GAC，
∵△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACG，
∴．
23．（1）①证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACD；
②证明：∵EG∥CD，
∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，
∵∠ABC＝∠ACD，
∴∠ABC＝∠G，
∴△EGC∽△CBD；
（2）解：在△AEB和△AEG中，
，
∴△AEB≌△AEG（AAS），
∴AG＝AB．
∠ABC＝∠G，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，
∴AG＝8．
∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AB：AC＝AC：AD，
∴AC2＝AB AD＝8×2＝16，
∴AC＝4（舍负），
∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．
24．（1）证明：∵∠ACB＝90°，EF⊥BE，
∴∠FCG＝∠BEG＝90°，
又∵∠CGF＝∠EGB，
∴△CFG∽△EBG；
（2）解：由（1）得△CFG∽△EBG，
∴，
∴＝，
又∵∠CGE＝∠FGB，
∴△CGE∽△FGB，
∴∠EFB＝∠ECG＝∠ACB＝45°．