2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步达标测试题 （Word版含答案）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如果等腰三角形两边长是6 cm和12 cm，那么它的周长是（　　）
A．18 cm B．24 cm C．30 cm D．24或30 cm
2．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（　　）
A．50° B．80° C．50°或70° D．80°或40°
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＞BC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD，相交于点F，BE＝BC，∠ABE＝∠BCD，若CE＝5，则CF的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．若（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．12 C．9 D．9或12
5．如图，已知AE交CD于点O，AB∥CD，OC＝OE，∠A＝50°，则∠C的大小为（　　）
A．10° B．15° C．25° D．30°
6．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．∠1＝∠2 D．AD⊥BC
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF； ④BH＝CH．
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
10．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数是（　　）
A．108° B．100° C．90° D．80°
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　．
12．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是　 　．
13．如果等腰三角形的一个外角是100°，那么它的底角为　 　．
14．等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则该三角形的周长是　 　．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝40°，AD＝AE，则∠CDE的度数为 　 　．
16．等腰三角形的一个角是70°，则它的一腰上的高与底边的夹角是 　 　．
17．在等腰△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：m：4，则m的值是　 　．
18．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有　 　个．
19．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若AD为4cm，△ABC的周长为26cm，则△BCE的周长为　 　cm．
20．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
22．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BF＝BE．求证：△ABC是等腰三角形．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，D点在BC上，∠BAD＝30°，且∠ADC＝60°，BD＝3，求CD．
24．已知：如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E．
（1）求证：CE＝CB；
（2）如果连接BE，请写出BE与AC的关系并证明．
25．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，分别在边AB、AC上取点D、E，使DE∥BC，△ADE是等腰三角形吗？说明理由．
26．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．
（1）∠1＝∠2＝　 　°．
（2）∠1与∠3相等吗？为什么？
（3）试判断线段AB与BD，DH之间有何数量关系，并说明理由．
27．已知：如图，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：当12为腰，6为底时，12﹣6＜12＜12+6，能构成等腰三角形，周长为12+12+6＝30；
当6为腰，12为底时，6+6＝12，不能构成三角形．
故选：C．
2．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：
当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；
当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．
故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．
故选：C．
3．解：∵AB＝AC，BE＝BC，
∴∠ABC＝∠ACB．∠BEC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BEC，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠ECD，
∵∠CFE为△CBF的外角，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB，
∵∠ABE＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠CBF+∠FCB＝∠ABC，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE＝5，
故选：B．
4．解：∵（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝2，b＝5，
∴等腰三角形的三边长分别为2，2，5或2，5，5，
∵2+2＜5，2+5＞5，
∴边长分别为2，2，5的等腰三角形不存在，
∴以a、b为边长的等腰三角形的周长为2+5+5＝12，
故选：B．
5．解：∵AB∥CD，∠A＝50°，
∴∠DOE＝∠A＝50°，
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DOE＝25°，
故选：C．
6．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB DE＝AB DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC BF，
∴AC BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
7．解：∵△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，
∴∠B＝∠C（故A正确）
∠1＝∠2（故C正确）
AD⊥BC（故D正确）
无法得到AB＝2BD，（故B不正确）．
故选：B．
8．解：∵S△ABC＝12cm2，
∴阴影部分面积＝12÷2＝6cm2．
故选：C．
9．解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB，
∵∠AFC＝∠ABD+∠BCF，∠AGF＝∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC＝∠AGF，故②正确；
∵∠BAD+∠CAD＝∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACD，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件无法证明BH＝CH，故④错误，
故选：A．
10．解：∵∠A＝18°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠ACB＝18°，
根据三角形外角和外角性质得出∠BCD＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣108°）＝36°，
∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
∴∠ECD＝∠CED＝54°
∴∠CDE＝180°﹣54°×2＝72°，
∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝72°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝36°，
∴∠GEF＝180°﹣（∠CED+∠DEF）＝90°，
即∠GEF＝90°．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．
12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
13．解：∵等腰三角形的一个外角是100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°＝80°，
①80°角是顶角时，它的底角为：（180°﹣80°）＝50°，
②80°角是底角时，它的底角80°，
所以，它的底角是50°或80°．
故答案为：50°或80°．
14．解：∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，
∴有两种情况：①6为底，3为腰，而3+3＝6，那么应舍去；
②3为底，6为腰，那么6+6+3＝15；
∴该三角形的周长是6+6+3＝15．
故填15．
15．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝40°，∠ADC＝90°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠CAD）＝70°，
∴∠CDE＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20°．
16．解：如图：△ABC，AB＝AC，BD⊥AC
当底角为70°时，即∠ABC＝∠C＝70°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°；
当顶角为70°时，即∠A＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝55°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣55°＝35°，
综上，它的一腰上的高与底边的夹角是20°或35°．
故答案为20°或35°．
17．解：当∠A为顶角时，此时∠B和∠C为底角，
∴此时∠A：∠B：∠C＝1：4：4，
即：m＝4；
当∠A为底角时，此时∠C为顶角，
所以，∠A：∠B：∠C＝1：1：4，
即：m＝1，
故答案为1或4．
18．解：∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，∠A＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形．
故图中共3个等腰三角形．
故答案为：3．
19．解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BD＝AD＝4cm，AB＝8cm，
∵△ABC的周长为26cm，
∴AC+BC＝18cm，
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝18cm．
故填18．
20．解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．解：如图，AB＝AC，BD为腰AC上的中线，设AD＝DC＝x，BC＝y，
根据题意得或，
解得或，
当x＝4，y＝17时，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系，舍去；
当x＝7，y＝5时，等腰三角形的三边为14，14，5，
答：这个等腰三角形的底边长是5．
22．证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝180°﹣∠ABC＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴AB＝CB，
∴△ABC是等腰三角形．
23．证明：∵∠ADC＝60°，∠BAD＝30°，
∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°＝∠BAD，
∴BD＝AD＝3，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴CD＝2AD＝6．
24．（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴CE＝CB；
（2）AC垂直平分BE，
证明：由（1）知，CE＝CB，
∵CE⊥AE，CB⊥AB，
∴∠CEA＝∠CBA＝90°，
在Rt△CEA和Rt△CBA中，
，
∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL），
∴AE＝AB，CE＝CB，
∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BE．
25．解：△ADE是等腰三角形，
理由：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴△ADE是等腰三角形．
26．解：（1）∵AD为BC边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2＝ABD＝22.5°，
故答案为：22.5；
（2）∠1＝∠3，
理由是：∵AB＝BC，BE平分∠ABC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°＝∠ADB，
∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3；
（3）AB＝BD+DH，
理由是：∵在△BDH和△ADC中
，
∴△BDH≌△ADC（ASA），
∴DH＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DH，
∵AB＝BC，
∴AB＝BD+DH．
27．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵DE⊥BC于E，
∴∠FEB＝∠FEC＝90°，
∴∠B+∠EDB＝∠C+∠EFC＝90°，
∴∠EFC＝∠EDB（等角的余角相等），
∵∠EDB＝∠ADF（对顶角相等），
∴∠EFC＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形．